matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGruppe, Ring, Körperirreduzibele Polynome
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Gruppe, Ring, Körper" - irreduzibele Polynome
irreduzibele Polynome < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

irreduzibele Polynome: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:05 Di 06.12.2016
Autor: nightsusi

Aufgabe
Zeigen Sie, dass die folgenden Polynome irreduzibel sind.
a) [mm] X^4+3X^3+X^2-2X+1 \in \IQ[X] [/mm]
b) Seien [mm] a_1,...,a_n [/mm] paarweise verschiedene positive ganze Zahlen,
    [mm] p(X)=\produkt_{i=1}^{n}(X-a_i)^2+1\in\IQ[X] [/mm]

Moin zusammen, wäre lieb von Euch wenn wir mir bei obiger Aufgabe weiterhelfen könnt.

zu a)
wenn  [mm] X^4+3X^3+X^2-2X+1 \in \IQ[X] [/mm] reduzibel wäre, dann müsste ich es in Polynome vom Grad < 4 zerlegen können.
Dazu gibts zum einen folgende Möglichkeiten:
4=1+3=1+1+1+2=1+1+1+1
Das Polynom vom Grad 1 ist ja im Prinzip eine Nullstellle von  [mm] X^4+3X^3+X^2-2X+1 \in \IQ[X] [/mm] um diese Fälle auszuschließen muss ich zeigen, dass  [mm] X^4+3X^3+X^2-2X+1 \in \IQ[X] [/mm] keine Nullstellen besitzt. Aber wie kann ich das machen? Wäre lieb wenn ihr mir da einen Tipp geben könntet.

Zum anderen bleibt dann noch der Fall 4=2+2, also dass  [mm] X^4+3X^3+X^2-2X+1 \in \IQ[X] [/mm] in [mm] (X^2+aX+b)*(X^2+cX+d)=X^4+(a+c)X^3+(b+ac+d)X^2+(ad+bc)X+bd [/mm] mit a,b,c,d [mm] \in \IQ [/mm] zerfällt. Hier hab ich über einen Koeffizientenvergleich und der Nichtlösbarkeit des entstehenden Gleichungssystems gezeigt, dass ich auch diesen Fall der Zerlegung auschließen kann.

zu b)
Kann ich hier einfach sagen: [mm] \produkt_{i=1}^{n}(X-a_i)^2+1\in\IQ[X] [/mm] hat keine Nullstellen weil [mm] \produkt_{i=1}^{n}(X-a_i)^2=-1 [/mm] nicht möglich ist, da auf der linken Seite nur Quadrate, also pos. Werte stehen?
Aber wie mach ich das mit den anderen möglichen Zerlegungen wie zB. 4=2+2?

DANKE für Eure Hilfe schon mal im Voraus und einen schönen Nikolaustag



        
Bezug
irreduzibele Polynome: Aufgabenteil b)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:50 Di 06.12.2016
Autor: M.Rex

Hallo

> Zeigen Sie, dass die folgenden Polynome irreduzibel sind.

>

> b) Seien [mm]a_1,...,a_n[/mm]
> paarweise verschiedene positive ganze Zahlen,
> [mm]p(X)=\produkt_{i=1}^{n}(X-a_i)^2+1\in\IQ[X][/mm]
> Moin zusammen, wäre lieb von Euch wenn wir mir bei obiger
> Aufgabe weiterhelfen könnt.

>

> [...]

> zu b)
> Kann ich hier einfach sagen:
> [mm]\produkt_{i=1}^{n}(X-a_i)^2+1\in\IQ[X][/mm] hat keine
> Nullstellen weil [mm]\produkt_{i=1}^{n}(X-a_i)^2=-1[/mm] nicht
> möglich ist, da auf der linken Seite nur Quadrate, also
> pos. Werte stehen?

Das ist als Begründung denke ich ausreichend.

Marius

Bezug
        
Bezug
irreduzibele Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:52 Mi 07.12.2016
Autor: hippias

Bedenke, dass [mm] $f\in \IZ[/mm] [t]$ genau dann irreduzibel in [mm] $\IZ[/mm] [t]$ ist, wenn $f$ irreduzibel in [mm] $\IQ[/mm] [t]$ ist.

zu a) Wenn Du zeigen möchtest, dass das Polynom keine rationalen Nullstellen hat, dann genügt es zu zeigen, dass es keine ganzen Nullstellen hat.

zu b) Nimm mal an, Du hättest zwei echte Teiler in [mm] $\IZ[/mm] [t]$: $p= gh$. Was kannst Du dann über [mm] $g(a_{i})$ [/mm] und [mm] $h(a_{i})$ [/mm] sagen? Was ist mit [mm] $p(a_{i})$ [/mm] und [mm] $\left(g(a_{i})\right)^{2}$ [/mm] und [mm] $\left(h(a_{i})\right)^{2}$? [/mm]
  

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 6h 53m 2. Fulla
S8-10/Bruchgleichung lösen
Status vor 7h 37m 4. leduart
DiffGlGew/Anfangswertaufgabe lösen
Status vor 14h 05m 5. matux MR Agent
DiffGlGew/Anfangswertaufgabe lösen
Status vor 14h 29m 5. mathelernender
ZahlTheo/Dedekindsche Psi-Funktion
Status vor 17h 26m 2. Diophant
ZahlTheo/chin. Restsatz
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]