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Multinomialkoeffizient: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:31 Mo 04.12.2017
Autor: X3nion

Hallo zusammen!

Ich habe eine Frage zum Multinomialkoeffizient.

In einem Beweis kommt folgendes vor:

(*) [mm] \frac{d^{k} g}{dt^{k}}(t) [/mm] = [mm] \summe_{i_{1},...,i_{k}=1}^{n} D_{i_{k}}...D_{i_{1}} [/mm] f(x + $ [mm] t\xi)\xi_{i_{1}}...\xi_{i_{k}}. [/mm]


Die Gleichheit (*) wurde durch vollständige Induktion bewiesen.

Nun steht weiter, dass - wenn unter den Indizes [mm] (i_{1}, [/mm] ..., [mm] i_{k}) [/mm] der Index 1 genau [mm] \alpha_{1}-mal, [/mm] der Index 2 genau [mm] \alpha_{2}-mal, [/mm] ..., der Index k genau [mm] \alpha_{k}-mal [/mm] vorkommt, aus dem Corollar vom Satz von Schwarz über die Reihenfolge der Differentiation folgt, dass

[mm] D_{i_{k}}...D_{i_{1}} [/mm] f(x + [mm] t\xi) \xi_{i_{1}}...\xi_{i_{k}} [/mm] = [mm] D_{1}^{\alpha_{1}}...D_{n}^{\alpha_{n}} [/mm] f(x + [mm] t\xi) \xi_{1}^{\alpha_{1}}...\xi_{n}^{\alpha_{n}} [/mm]


Zwischenfrage
Was bedeutet es, dass unter den Indizes  [mm] (i_{1}, [/mm] ..., [mm] i_{k}) [/mm] der Index 1 genau [mm] \alpha_{1}-mal, [/mm] der Index 2 genau [mm] \alpha_{2}-mal, [/mm] ..., der Index k genau [mm] \alpha_{k}-mal [/mm] vorkommt? Kann mir das jemand vielleicht an einem Beispiel erläutern?

----

Weiter steht es im Text: Da es aber genau [mm] \frac{k!}{\alpha_{1}! \alpha_{2}!...\alpha_{n}!} [/mm] k-tupel [mm] (i_{1}, [/mm] ..., [mm] i_{k}) [/mm] von Zahlen 1 [mm] \le i_{K} \le [/mm] n gibt, bei denen der Index v genau [mm] \alpha_{v} [/mm] vorkommt (v = 1, ..., n, [mm] \alpha_{1} [/mm] + [mm] \alpha_{2} [/mm] 6 ... + [mm] \alpha_{n} [/mm] = k), ....


Frage 2
Wieso gibt es genau [mm] \frac{k!}{\alpha_{1}! \alpha_{2}!...\alpha_{n}!} [/mm] k-tupel [mm] (i_{1}, [/mm] ..., [mm] i_{k})? [/mm]
Kann mir das jemand erklären?


Ich wäre euch wie immer sehr dankbar!

Viele Grüße,
X3nion

        
Bezug
Multinomialkoeffizient: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:20 Do 07.12.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                
Bezug
Multinomialkoeffizient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:18 Do 07.12.2017
Autor: X3nion

Guten Morgen,
hoffentlich kann mir diesmal jemand helfen :-)

Ich habe eine Frage zum Multinomialkoeffizient.

In einem Beweis kommt folgendes vor:

(*) [mm] \frac{d^{k} g}{dt^{k}}(t) [/mm] = [mm] \summe_{i_{1},...,i_{k}=1}^{n} D_{i_{k}}...D_{i_{1}} [/mm] f(x + [mm] t\xi)\xi_{i_{1}}...\xi_{i_{k}}. [/mm]


Die Gleichheit (*) wurde durch vollständige Induktion bewiesen.

Nun steht weiter, dass - wenn unter den Indizes [mm] (i_{1}, [/mm] ..., [mm] i_{k}) [/mm] der Index 1 genau [mm] \alpha_{1}-mal, [/mm] der Index 2 genau [mm] \alpha_{2}-mal, [/mm] ..., der Index k genau [mm] \alpha_{k}-mal [/mm] vorkommt, aus dem vom Satz von Schwarz über die Reihenfolge der Differentiation folgt, dass

[mm] D_{i_{k}}...D_{i_{1}} [/mm] f(x + [mm] t\xi) \xi_{i_{1}}...\xi_{i_{k}} [/mm] = [mm] D_{1}^{\alpha_{1}}...D_{n}^{\alpha_{n}} [/mm] f(x + [mm] t\xi) \xi_{1}^{\alpha_{1}}...\xi_{n}^{\alpha_{n}} [/mm]


Zwischenfrage
Was bedeutet es, dass unter den Indizes  [mm] (i_{1}, [/mm] ..., [mm] i_{k}) [/mm] der Index 1 genau [mm] \alpha_{1}-mal, [/mm] der Index 2 genau [mm] \alpha_{2}-mal, [/mm] ..., der Index k genau [mm] \alpha_{k}-mal [/mm] vorkommt? Kann mir das jemand vielleicht an einem Beispiel erläutern?

----

Weiter steht es im Text: Da es aber genau [mm] \frac{k!}{\alpha_{1}! \alpha_{2}!...\alpha_{n}!} [/mm] k-tupel [mm] (i_{1}, [/mm] ..., [mm] i_{k}) [/mm] von Zahlen 1 [mm] \le i_{K} \le [/mm] n gibt, bei denen der Index v genau [mm] \alpha_{v} [/mm] vorkommt (v = 1, ..., n, [mm] \alpha_{1} [/mm] + [mm] \alpha_{2} [/mm] 6 ... + [mm] \alpha_{n} [/mm] = k), ....


Frage 2
Wieso gibt es genau [mm] \frac{k!}{\alpha_{1}! \alpha_{2}!...\alpha_{n}!} [/mm] k-tupel [mm] (i_{1}, [/mm] ..., [mm] i_{k})? [/mm]
Kann mir das jemand erklären?


Ich wäre euch wie immer sehr dankbar!

Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                        
Bezug
Multinomialkoeffizient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:51 Sa 09.12.2017
Autor: donquijote


> Guten Morgen,
>  hoffentlich kann mir diesmal jemand helfen :-)
>  
> Ich habe eine Frage zum Multinomialkoeffizient.
>
> In einem Beweis kommt folgendes vor:
>
> (*) [mm]\frac{d^{k} g}{dt^{k}}(t)[/mm] =
> [mm]\summe_{i_{1},...,i_{k}=1}^{n} D_{i_{k}}...D_{i_{1}}[/mm] f(x +
> [mm]t\xi)\xi_{i_{1}}...\xi_{i_{k}}.[/mm]
>
>
> Die Gleichheit (*) wurde durch vollständige Induktion
> bewiesen.
>
> Nun steht weiter, dass - wenn unter den Indizes [mm](i_{1},[/mm]
> ..., [mm]i_{k})[/mm] der Index 1 genau [mm]\alpha_{1}-mal,[/mm] der Index 2
> genau [mm]\alpha_{2}-mal,[/mm] ..., der Index k genau [mm]\alpha_{k}-mal[/mm]
> vorkommt, aus dem vom Satz von Schwarz über die
> Reihenfolge der Differentiation folgt, dass
>
> [mm]D_{i_{k}}...D_{i_{1}}[/mm] f(x + [mm]t\xi) \xi_{i_{1}}...\xi_{i_{k}}[/mm]
> = [mm]D_{1}^{\alpha_{1}}...D_{n}^{\alpha_{n}}[/mm] f(x + [mm]t\xi) \xi_{1}^{\alpha_{1}}...\xi_{n}^{\alpha_{n}}[/mm]
>
>
> Zwischenfrage
> Was bedeutet es, dass unter den Indizes  [mm](i_{1},[/mm] ...,
> [mm]i_{k})[/mm] der Index 1 genau [mm]\alpha_{1}-mal,[/mm] der Index 2 genau
> [mm]\alpha_{2}-mal,[/mm] ..., der Index k genau [mm]\alpha_{k}-mal[/mm]
> vorkommt? Kann mir das jemand vielleicht an einem Beispiel
> erläutern?

Hallo,
wenn du z.B. bei 5 Variablen die Ableitung [mm]D_2D_3D_1D_1D_3D_1f[/mm] betrachtest, dann ist [mm]\alpha_1=3,\alpha_2=1,\alpha_3=2,\alpha_4=\alpha_5=0[/mm].

>
> ----
>
> Weiter steht es im Text: Da es aber genau
> [mm]\frac{k!}{\alpha_{1}! \alpha_{2}!...\alpha_{n}!}[/mm] k-tupel
> [mm](i_{1},[/mm] ..., [mm]i_{k})[/mm] von Zahlen 1 [mm]\le i_{K} \le[/mm] n gibt, bei
> denen der Index v genau [mm]\alpha_{v}[/mm] vorkommt (v = 1, ..., n,
> [mm]\alpha_{1}[/mm] + [mm]\alpha_{2}[/mm] 6 ... + [mm]\alpha_{n}[/mm] = k), ....
>
>
> Frage 2
> Wieso gibt es genau [mm]\frac{k!}{\alpha_{1}! \alpha_{2}!...\alpha_{n}!}[/mm]
> k-tupel [mm](i_{1},[/mm] ..., [mm]i_{k})?[/mm]
> Kann mir das jemand erklären?

Es handelt sich um Permutationen mit Wiederholung, siehe z.B.
https://de.wikipedia.org/wiki/Permutation#Permutation_mit_Wiederholung

>
>
> Ich wäre euch wie immer sehr dankbar!
>
> Viele Grüße,
>  X3nion


Bezug
                                
Bezug
Multinomialkoeffizient: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:57 Sa 09.12.2017
Autor: X3nion

Guten Abend donquijote und vielen Dank für deinen Beitrag, es ist mir nun klar geworden!

Viele Grüße,
X3nion

Bezug
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