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Mengen von Funktionen: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 22:55 Fr 17.11.2017
Autor: TrickyDinkle

Aufgabe
Es seien [mm]A, B, C[/mm] Mengen sowie [mm]a \in A, b \in B, c \in C[/mm] sowie Funktionen [mm]f: A \to B[/mm] und [mm]g: B \to C[/mm] mit [mm]f(a) = b, g(b) = c[/mm]. Wir schreiben dies auch in der Form

[mm](A, a) \xrightarrow{\text{f}} (B, b) \xrightarrow{\text{g}} (C, c).[/mm]

Weiter bezeichne mit Fun((U, u), (V, v)) = [mm]\{f: U \to V | f(u) = v\}[/mm] die Menge an Funktionen zwischen zwei Mengen U und V welche einen festen Punkt erhalten. Es liege obige Situation vor sowie [mm]f(A) = g^-(c)[/mm]. Weiter sei [mm]D[/mm] eine beliebige nichtleere Menge mit [mm]d \in D[/mm]. Gilt dann für die Funktion [mm]\overline{g}[/mm]: Fun((C, c), (D, d)) [mm]\to[/mm] Fun((B, b), (D, d)) mit [mm]\overline{g}(\varphi) := g \circ \varphi[/mm] und [mm]\overline{f}[/mm]: Fun((B, b), (D, d)) [mm]\to[/mm] Fun((A, a), (D, d)) mit [mm]\overline{f}(\psi) := f \circ \psi[/mm], sowie der konstanten Funktion [mm]\pi: A \to D[/mm] mit [mm]\pi(a) = d[/mm] für alle [mm]a \in A[/mm], dass

[mm]\overline{g}(Fun((C, c), (D, d))) = \overline{f}^-(\pi)[/mm]

was äquivalent zu

[mm]\exists\varphi \in Fun((C, c), (D, d)): \psi = g \circ \varphi \Leftrightarrow f \circ \psi = \pi[/mm]

für alle [mm]\psi \in[/mm] Fun((B, b), (D, d)) ist? Zeigen Sie dies oder liefern sie ein Gegenbeispiel!

Ja, eine gigantische Textwand, die ich selbst nachdem ich sie hier eingetippt habe immer noch nicht besser verstehe als nach den 20x die ich sie mir schon durchgelesen habe.

Zuerst einmal die reinen Verständnisfragen, bevor ich mir überhaupt vorstellen kann, wie man etwas beweisen oder widerlegen soll.

Ich verstehe nicht wirklich, was mit "welche einen festen Punkt erhalten" gemeint ist. Was bedeutet das?

"Menge an Funktionen zwischen zwei Mengen U und V" ist mir zwar für sich allein gestellt klar, aber wenn ich mir [mm]\overline{g}[/mm] anschauen wäre das ja irgendwas nach dem Motto [mm](\{C \to D\}) \to (\{B \to D\})[/mm], was ich dann auch nicht mehr verstehe.

Wahrscheinlich der gleich Zusammenhang: Was bedeutet [mm]\overline{g}(\varphi) := g \circ \varphi[/mm]? Relationenprodukt?

Und falls jemand hier nur eine komplizierte Umschreibung für etwas ganz einfaches sieht: Ich würde mich dann wirklich über einen guten Tipp freuen. ( das ist 1. Semester und wir haben erst etwa 15 Minuten über Fuktionen gehört)


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Mengen von Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:01 Sa 18.11.2017
Autor: angela.h.b.


> Es seien [mm]A, B, C[/mm] Mengen sowie [mm]a \in A, b \in B, c \in C[/mm]
> sowie Funktionen [mm]f: A \to B[/mm] und [mm]g: B \to C[/mm] mit [mm]f(a) = b, g(b) = c[/mm].
> Wir schreiben dies auch in der Form
>  
> [mm](A, a) \xrightarrow{\text{f}} (B, b) \xrightarrow{\text{g}} (C, c).[/mm]
>  
> Weiter bezeichne mit Fun((U, u), (V, v)) = [mm]\{f: U \to V | f(u) = v\}[/mm]
> die Menge an Funktionen zwischen zwei Mengen U und V welche
> einen festen Punkt erhalten. Es liege obige Situation vor
> sowie [mm]f(A) = g^-(c)[/mm].

Moin,

das soll bestimmt [mm] g^{-}(C) [/mm] heißen.


>  Weiter sei [mm]D[/mm] eine beliebige nichtleere
> Menge mit [mm]d \in D[/mm]. Gilt dann für die Funktion
> [mm]\overline{g}[/mm]: Fun((C, c), (D, d)) [mm]\to[/mm] Fun((B, b), (D, d))
> mit [mm]\overline{g}(\varphi) := g \circ \varphi[/mm] und
> [mm]\overline{f}[/mm]: Fun((B, b), (D, d)) [mm]\to[/mm] Fun((A, a), (D, d))
> mit [mm]\overline{f}(\psi) := f \circ \psi[/mm], sowie der
> konstanten Funktion [mm]\pi: A \to D[/mm] mit [mm]\pi(a) = d[/mm] für alle [mm]a \in A[/mm],
> dass
>  
> [mm]\overline{g}(Fun((C, c), (D, d))) = \overline{f}^-(\pi)[/mm]
>  
> was äquivalent zu
>  
> [mm]\exists\varphi \in Fun((C, c), (D, d)): \psi = g \circ \varphi \Leftrightarrow f \circ \psi = \pi[/mm]
>  
> für alle [mm]\psi \in[/mm] Fun((B, b), (D, d)) ist? Zeigen Sie dies
> oder liefern sie ein Gegenbeispiel!
>  Ja, eine gigantische Textwand, die ich selbst nachdem ich
> sie hier eingetippt habe immer noch nicht besser verstehe
> als nach den 20x die ich sie mir schon durchgelesen habe.
>  
> Zuerst einmal die reinen Verständnisfragen, bevor ich mir
> überhaupt vorstellen kann, wie man etwas beweisen oder
> widerlegen soll.

Das ist der richtige Ansatz.
Erstmal muß man sich durch den Text frickeln, und gucken, was gemeint ist und wie das Spielzeug aussieht,mit dem man sich beschäftigen soll.

>  
> Ich verstehe nicht wirklich, was mit "welche einen festen
> Punkt erhalten" gemeint ist. Was bedeutet das?

Für zwei feste Elemente [mm] u\in [/mm] U und [mm] v\in [/mm] V wird eine Menge von Funktionen definiert: Fun((U, u), (V, v)) = [mm]\{f: U \to V | f(u) = v\}[/mm] .
In dieser Menge sind halt alle die Funktionen von U nach V drin, die das Element u auf das Element v abbilden. Anden anderen Stellen können die Funktionen machen, was sie wollen.
Fun((U, u), (V, v)) ist also eine bestimmte Teilmenge der Funktionen, die von U nach V abbilden.

> "Menge an Funktionen zwischen zwei Mengen U und V" ist mir
> zwar für sich allein gestellt klar,



> aber wenn ich mir
> [mm]\overline{g}[/mm] anschauen wäre das ja irgendwas nach dem
> Motto [mm](\{C \to D\}) \to (\{B \to D\})[/mm], was ich dann auch
> nicht mehr verstehe.

[mm] \overline{g} [/mm] ist eine Abbildung, welche jeder Funktion aus  Fun((C, c), (D, d)), eine Funktion aus Fun((B,b),(D,d)) zuordnet.
[mm] \overline{g} [/mm] wirkt also auf Funktionen.
Und hier wird nun erklärt, wie [mm] \overline{g} [/mm] das macht:

> Wahrscheinlich der gleich Zusammenhang: Was bedeutet
> [mm]\overline{g}(\varphi) := g \circ \varphi[/mm]?

Wenn [mm] \varphi [/mm] eine Funktion von ( C,c) nach (D,d)  ist, also [mm] \varphi\in [/mm] Fun((C, c), (D, d)), dann ist
[mm] \overline{g}(\varphi) [/mm] := g [mm] \circ \varphi, [/mm]
das heißt: für alle [mm] x\in [/mm] C gilt  [mm] (\overline{g}(\varphi) [/mm] )(x)=( g [mm] \circ \varphi)(x)=g(\varphi(x)). [/mm]

[mm] \overline{g} [/mm] macht also, daß jede Funktion [mm] \varphi [/mm] aus der entsprechenden Menge auf ihre Verkettung mit g abgebildet wird.

---- Und jetzt wollte ich Dir so richtig schön vorrechen, daß [mm] \overline{g}(\varphi) [/mm] eine Funktion ist, die das Element b auf das Element d abbildet,  und kriege dabei ein Riesenproblem:

[mm] \varphi [/mm] bildet ab von der Menge C in die Menge  D. g bildet ab von B nach C.
[mm] g\circ \varphi [/mm] funktioniert also gar nicht!!!
Funktionieren würde [mm] \varphi\circ [/mm] g: g von B nach C, [mm] \varphi [/mm] dann von C nach D.

Ich glaube, Du mußt bei den Chefs nachfragen, ob es vllt heißen sollte:

[mm] \overline{g}(\varphi):=\varphi\circ [/mm] g.

So, wie es in der Aufgabenstellung steht, kann es nicht richtig sein.

Und [mm] \overline{f} [/mm] funktioniert in meinen Augen vorne und hinten nicht.
Es sei denn, ich habe nun auch einen Drehwurm von der Aufgabe,
oder es gibt noch irgendwelche Striche für Umkehrungen oder so, die Du beim Tippen unterschlagen hast.

LG Angela




> Relationenprodukt?
>  
> Und falls jemand hier nur eine komplizierte Umschreibung
> für etwas ganz einfaches sieht: Ich würde mich dann
> wirklich über einen guten Tipp freuen. ( das ist 1.
> Semester und wir haben erst etwa 15 Minuten über Fuktionen
> gehört)
>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Mengen von Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:04 So 19.11.2017
Autor: TrickyDinkle

Ich denke ich habe keine Fehler beim Abtippen gemacht. Ich wollte eigentlich ein Bild vom Aufgabenblatt hochladen, aber da es nur für Studenten herunterladbar ist, die angemeldet sind, denke ich mal da gibt es Probleme mit der Veröffentlichung.

[mm]g^-(c)[/mm] steht da definitiv mit einem Kleinbuchstaben.
[mm]\overline{g}(\varphi) := g \circ \varphi[/mm] ist auch in der Reihenfolge wie es auf dem Blatt steht
Und [mm]\overline{f}[/mm] ist auch so wie es angegeben wurde.

Das Aufgabenblatt wurde 2x geupdatet, allerdings bei anderen Aufgaben. An dieser hier hat sich nichts geändert.

Also wenn das wirklich vorne und hinten nicht passt, zählt das dann als "Gegenbeispiel"?

Bezug
                        
Bezug
Mengen von Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:46 So 19.11.2017
Autor: angela.h.b.


> Ich denke ich habe keine Fehler beim Abtippen gemacht. Ich
> wollte eigentlich ein Bild vom Aufgabenblatt hochladen,
> aber da es nur für Studenten herunterladbar ist, die
> angemeldet sind, denke ich mal da gibt es Probleme mit der
> Veröffentlichung.
>  
> [mm]g^-(c)[/mm] steht da definitiv mit einem Kleinbuchstaben.

Okay, das kann sein - es gibt sogar Indizien dafür, daß "klein c" gemeint ist.
Das ist dann das Urbild der Menge [mm] \{c\}, [/mm] also die Menge, in der all das drin ist, was auf c abgebildet wird. Ist recht üblich, die Mengenklammern wegzulassen.

>  [mm]\overline{g}(\varphi) := g \circ \varphi[/mm] ist auch in der
> Reihenfolge wie es auf dem Blatt steht

Hmmm.
Schau nach, wie Ihr "Verkettung von Funktionen" definiert habt.
[mm] (f\cirg [/mm] g)(x):=f(g(x)) - oder ist das bei Euch irgendwie andersrum?
Ich frage nur, weil ich in grauer Vorzeit mal eine Vorlesung hatte, in der alles "andersrum" war als bei anderen, weil der Prof es logischer fand...


>  Und [mm]\overline{f}[/mm] ist auch so wie es angegeben wurde.
>  
> Das Aufgabenblatt wurde 2x geupdatet, allerdings bei
> anderen Aufgaben. An dieser hier hat sich nichts
> geändert.

Vielleicht ist sind alle ohnmächtig geworden, bevor ihnen etwas auffallen konnte.

>  
> Also wenn das wirklich vorne und hinten nicht passt, zählt
> das dann als "Gegenbeispiel"?

Ich bin mir ziemlich sicher, daß nicht absichtlich Fehlerhaftes eingebaut wurde - ich würde mal bei den Chefs anrufen und nachfragen, ob bei der Def. von [mm] \overline{g} [/mm] und [mm] \overline{f} [/mm] vielleicht ein Fehler drin steckt.

LG Angela


Bezug
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