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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Matrizen und Kreuzprodukt
Matrizen und Kreuzprodukt < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Matrizen und Kreuzprodukt: Ausklammern von Matrizen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:32 Di 05.07.2016
Autor: Ralfos

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo!

Kann mir vllt. jemand meine Frage beantworten?
Es sei M eine Matrix. a,b seien Vektoren.
Nun habe ich folgendes Kreuzprodukt:
(M*a)x(M*b)
Lässt sich hier M ausklammern?
Also: (M*a)x(M*b)=M*(axb) ?


Freundliche Grüße
Ralfos

        
Bezug
Matrizen und Kreuzprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:15 Di 05.07.2016
Autor: HJKweseleit


> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Hallo!
>  
> Kann mir vllt. jemand meine Frage beantworten?
>  Es sei M eine Matrix. a,b seien Vektoren.
>  Nun habe ich folgendes Kreuzprodukt:
>  (M*a)x(M*b)
>  Lässt sich hier M ausklammern?
>  Also: (M*a)x(M*b)=M*(axb) ?
>  

Nein.

Wähle

[mm] a=\vektor{1 \\ 0 \\ 0} b=\vektor{0 \\ 1 \\ 0} \Rightarrow [/mm] c=axb = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] .

Wähle [mm] A=\pmat{ 0 & 1 & 0 \\1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]

Dann ist [mm] A*a=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}, A*b=\vektor{1 \\ 1 \\ 0}, A*c=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}, [/mm]

aber [mm] (A*a)x(A*b)=\vektor{0 \\ 0 \\ -1}\ne\vektor{0 \\ 0 \\ 0}. [/mm]

Bezug
                
Bezug
Matrizen und Kreuzprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:34 Di 05.07.2016
Autor: Ralfos

Danke für die schnelle Antwort!
Gilt diese Umformung vllt. nur wenn ich orthogonale Matrizen habe?

Bezug
                        
Bezug
Matrizen und Kreuzprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:55 Di 05.07.2016
Autor: hippias

Auch mit orthogonalen Matrizen gilt dies nicht. Ein Gegenbeispiel kannst Du Dir selber überlegen, indem Du z.B. $a$ und $b$ des vorherigen Beispiels übernimmst, aber $M$ anders wählst.

Richtig wird es aber für Drehungen.

Bezug
                                
Bezug
Matrizen und Kreuzprodukt: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:04 Di 05.07.2016
Autor: Ralfos

Danke!
Es muss also eine orthogonale Matrix mit Determinante 1  sein?


Bezug
                                        
Bezug
Matrizen und Kreuzprodukt: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Do 07.07.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                        
Bezug
Matrizen und Kreuzprodukt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:43 Fr 08.07.2016
Autor: M.Rex

Hallo

> Danke!
> Es muss also eine orthogonale Matrix mit Determinante 1
> sein?

>

Wie kommst du darauf, dass das gelten sollte/müsste? Hast du ein Beispiel, wo das funktioniert?

Marius

Bezug
                                        
Bezug
Matrizen und Kreuzprodukt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:46 Fr 08.07.2016
Autor: fred97


> Danke!
>  Es muss also eine orthogonale Matrix mit Determinante 1  
> sein?

Nein. Nimm mal

[mm] M=\pmat{ \bruch{1}{2} & 0 & \bruch{\wurzel{3}}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ \bruch{-\wurzel{3}}{2} & 0 & \bruch{1}{2}} [/mm]

FRED


>  


Bezug
                                                
Bezug
Matrizen und Kreuzprodukt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:41 Fr 08.07.2016
Autor: HJKweseleit

Hallo Fred,

deine Matrix ist doch aber orthogonal mit det=1.

Bezug
                                                        
Bezug
Matrizen und Kreuzprodukt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:10 Fr 08.07.2016
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> deine Matrix ist doch aber orthogonal mit det=1.

ja, aber für diese Matrix gilt nicht

M (axb)= (Ma)x (Mb)

fred


Bezug
                                                                
Bezug
Matrizen und Kreuzprodukt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:27 Fr 08.07.2016
Autor: HJKweseleit

Hallo Fred,

ich kann kein a und b finden, für das die Gleichung nicht gilt.

Beispiele:

[mm] a=\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm]

[mm] b=\vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] c=a [mm] \times [/mm] b = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm]

[mm] M*a=\vektor{1/2 \\ 0 \\ -\wurzel{3}/2} [/mm]

[mm] M*b=\vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm]

[mm] M*c=\vektor{\wurzel{3}/2 \\ 0 \\ 1/2} [/mm]

sowie Ma [mm] \times [/mm] Mb = [mm] \vektor{\wurzel{3}/2 \\ 0 \\ 1/2}. [/mm]


Ebenso mit

[mm] a=\vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm]

[mm] b=\vektor{3\\ 2 \\ 1} [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] c=a [mm] \times [/mm] b = [mm] \vektor{-4 \\ 8 \\ -4} [/mm]

[mm] M*a=\vektor{1/2+3*\wurzel{3}/2 \\ 2 \\3/2 -\wurzel{3}/2} [/mm]

[mm] M*b=\vektor{3/2 +\wurzel{3}/2 \\ 2 \\ 1/2-3*\wurzel{3}/2} [/mm]

[mm] M*c=\vektor{-2*\wurzel{3}-2 \\ 8 \\ 2*\wurzel{3}-2 } [/mm]

sowie Ma [mm] \times [/mm] Mb = [mm] \vektor{-2*\wurzel{3}-2 \\ 8 \\ 2*\wurzel{3}-2 }. [/mm]


Bezug
                                                
Bezug
Matrizen und Kreuzprodukt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:23 Sa 09.07.2016
Autor: hippias

Es ist doch so: Sei $c= [mm] a\times [/mm] b$ und $A$ orthogonal mit [mm] $\det [/mm] A=1$. Sei $d= [mm] Aa\times [/mm] Ab$. Es ist $Ac$ orthogonal zu $Aa$ und $Ab$, also existiert [mm] $\lambda$ [/mm] mit $Ac= [mm] \lambda [/mm] d$. Ferner ist $|Ac|= |c|= [mm] |a||b|\sin(\angle [/mm] a,b)= [mm] |Aa||Ab|\sin(\angle [/mm] Aa,Ab)= |d|$. Somit ist [mm] $\lambda=\pm [/mm] 1$. Wegen [mm] $\det [/mm] A=1$ werden Rechtssysteme auf Rechtssysteme abgebildet: [mm] $\lambda=+1$. [/mm]

Bezug
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