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Forum "Ganzrationale Funktionen" - Ganzrationale Funktionen
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Ganzrationale Funktionen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:58 Di 22.11.2016
Autor: Broilerich

Hallo liebe Boardmitglieder

folgendes Problem:
geg.: [mm] f(x)16x^4-12x^2+25x^2-3x+5 [/mm]
      [mm] g(x)84x^4+281x^2-3x+5 [/mm]
ges.: schnittpunkte berechnen.

Meine erste intention war es die 2 funktionen gleichzusetzen und zu kürzen. war dies richtig?

dabei kam ich auf folg. Ergebnis.

[mm] 0=68x^4+256x^2+12x^3 [/mm]

wie komme ich nun weiter? substitution kommt ja wegen [mm] x^3 [/mm] nicht in fraqe :(?
danke im voraus für die antworten.

        
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Ganzrationale Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:02 Di 22.11.2016
Autor: sinnlos123

nun, du kannst zunächst x faktorisieren. sogar 2 mal.

Das sagt uns, dass 0 auf jedenfall eine Nullstelle ist.

Der rest ist eher einfach.

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Ganzrationale Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:19 Di 22.11.2016
Autor: Broilerich

herzlichen dank für die schnelle antwort :D  würde den die lösung aussehen, damit ich dan vergleichen kann ob meine stimmt? :D  werd mich gleich mal ranmachen


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Ganzrationale Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:37 Di 22.11.2016
Autor: sinnlos123

[mm] 0=(68x^2+12x+256)(x)(x) [/mm]
[mm] 0=68x^2+12x+256 [/mm] erstmal durch 68 teilen
[mm] 0=x^2+\frac{3x}{17}+\frac{64}{3} [/mm]

Nun kann man quadratische Ergänzung benutzen oder die p-q-Formel.

Wenn man das Glück hat Taschenrechner benutzen zu dürfen:

Kommt da [mm] \approx-0.01+1.9i [/mm] oder -0.01-1.9i raus

Das heißt in den reellen Zahlen gibt es außer 0 keine Schnittpunkte.

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Ganzrationale Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:55 Di 22.11.2016
Autor: Broilerich

achso :D jetzt macht es für mich sinn :D  nur ganz verstehen warum die ausgeklammerten beiden x-en (-//-)(x)(x) einfach am ende verschwunden sind :D^^kann ich die immer einfach wegnehmen ? :D

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Ganzrationale Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:06 Di 22.11.2016
Autor: sinnlos123

ein Produkt ist 0, wenn einer der Faktoren 0 ist. (wenn du magst, kannst du das sogar beweisen)

x wäre ein Faktor

$ [mm] x^2+\frac{3x}{17}+\frac{64}{3} [/mm] $ wäre der andere

Uns kümmert also wann $ [mm] x^2+\frac{3x}{17}+\frac{64}{3} [/mm] $ null ergibt.

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Ganzrationale Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:33 Di 22.11.2016
Autor: Broilerich

Ahh! ok  :D das habe ich soweit verstanden :D  da dank ich recht herzlichen  für die erklärungen :D

Nun habe ich gerade eine ähnliche rechnung, allerdings habe ich da nach dem Umstellen auf [mm] 0=2x^4+2x^3-36x^2-32x+64 [/mm] <-- diese 64 ohne x und somit fällt hier das ausklammern ja weg :( .


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Ganzrationale Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:59 Di 22.11.2016
Autor: sinnlos123

ich würde ein Pendant zu quadratischer Ergänzung suchen.

Namentlich http://www.sosmath.com/algebra/factor/fac12/fac12.html

Damit habe ich allerdings keine Erfahrung ;-)

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Ganzrationale Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:09 Di 22.11.2016
Autor: Broilerich

Ok super danke für den tipp, hoffe ich bekomme das da gebacken ^^ ist dies den ein schweres thema?:D

herzlichen dank für ihre erklärungen :D  sie haben mir sehr geholfen!!

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Ganzrationale Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:15 Di 22.11.2016
Autor: sinnlos123

es sieht für mich auf jedenfall schwerer aus als "glückliches ausprobieren"

gern geschehen :-)

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Ganzrationale Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:18 Di 22.11.2016
Autor: chrisno

Zum Ausprobieren rate ich hier. Schon der erste Versuch ist ein Treffer.

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Ganzrationale Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:48 Di 22.11.2016
Autor: Broilerich

Oh herzlichen dank :D den tipp werde ich beherzigen :D mir waren gerade die Augen zu gefallen. Werds gleich morgen früh mal ausprobieren, meine auffassungsgabe scheint für dies nicht mehr groß genug ;)  wenn ich das Ergebnis habe, oder  innerhalb der rechnung ein problem auftritt melde ich mich bestimmt gern wieder zu wort :D;)^^   nochmals herzlichen dank! :D wünsche eine angenehme Nacht Jetzt gibt es erstmal ne Mütze schlaf :D

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Ganzrationale Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:44 Mi 23.11.2016
Autor: M.Rex

Hallo

> Ahh! ok :D das habe ich soweit verstanden :D da dank ich
> recht herzlichen für die erklärungen :D

>

> Nun habe ich gerade eine ähnliche rechnung, allerdings
> habe ich da nach dem Umstellen auf [mm]0=2x^4+2x^3-36x^2-32x+64[/mm]
> <-- diese 64 ohne x und somit fällt hier das ausklammern
> ja weg :( .

>


Wenn du hier faktorisierst, bekommst du
[mm] 2x^4+2x^3-36x^2-32x+64=2(x-1)(x+2)(x-4)(x+4) [/mm]

Marius

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Bezug
Ganzrationale Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:18 Mi 23.11.2016
Autor: sinnlos123

Hi Marius,

war das glückliches raten?

Ich erkenne folgendes Muster:

du spaltest das polynom in 4 verschiedene und faktorisierst erstmal die 2 raus.

und danach frimelst du rum, so dass als Konstante 32 raus kommt, d.h.

die zahlen in den Klammern müssen 32 ergeben multipliziert.
und es sind insgesamt 4 klammern, weil [mm] x^4. [/mm]
wie geht's weiter?

Bezug
                                                                        
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Ganzrationale Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:29 Do 24.11.2016
Autor: fred97


> Hi Marius,
>  
> war das glückliches raten?

Nein. Man probiert einige Teiler von 64 als Nullstellen zu entlarven. Das geht hier ganz gut.

FRED

>  
> Ich erkenne folgendes Muster:
>  
> du spaltest das polynom in 4 verschiedene und faktorisierst
> erstmal die 2 raus.
>  
> und danach frimelst du rum, so dass als Konstante 32 raus
> kommt, d.h.
>  
> die zahlen in den Klammern müssen 32 ergeben
> multipliziert.
>  und es sind insgesamt 4 klammern, weil [mm]x^4.[/mm]
>  wie geht's weiter?


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Ganzrationale Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:40 Sa 26.11.2016
Autor: M.Rex

Hallo

> Hi Marius,

>

> war das glückliches raten?

>

> Ich erkenne folgendes Muster:

>

> du spaltest das polynom in 4 verschiedene und faktorisierst
> erstmal die 2 raus.

>

> und danach frimelst du rum, so dass als Konstante 32 raus
> kommt, d.h.

>

> die zahlen in den Klammern müssen 32 ergeben
> multipliziert.
> und es sind insgesamt 4 klammern, weil [mm]x^4.[/mm]
> wie geht's weiter?

Ich würde ersteinmal die 2 ausklammern.

[mm] 2x^4+2x^3-36x^2-32x+64=2(x^4+x^3-18x^2-16x+32) [/mm]

Wenn es ganzzahlige Linearfaktoren geben sollte, müssen diese dann Teiler der 32 am Ende sein. Daher kommen als Möglichkeiten nur [mm] \pm1, \pm2, \pm4,\pm8, pm\16 [/mm] und [mm] \pm32 [/mm] in Frage. Daher probiere nun jeweils eine Polynomdivison mit diesen Zahlen, bis du dann zuende faktorisiert hast.

Die 1 funktioniert direkt, für x=1 [mm] gilt x^4+x^3-18x^2-16x+32=0 [/mm] daher mache die Polynomdivision
[mm] (x^4+x^3-18x^2-16x+32):(x-1)=x^3+2x^2-16x-32 [/mm]

Bei [mm] x^3+2x^2-16x-32=0 [/mm] funktioniert die -2, daher dann
[mm] (x^4+x^3-18x^2-16x+32):(x+2)=x^2-16 [/mm]

Und das [mm] x^{2}+16=(x+4)(x-4) [/mm] ist, sollte nun offensichtlich sein.

Daher hast du nun alle Linearfaktoren gefunden, und bekommst dann die genannte Faktorisierung.

Marius

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