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Forum "Analysis-Sonstiges" - Faktorisieren, wenn x=0
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Faktorisieren, wenn x=0: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:12 So 13.11.2016
Autor: sinnlos123

Sei [mm] $x\in [/mm] R$ und im speziellen x=0.

Ist faktorisieren dann immernoch in Ordnung?

Zum Beispiel:

0*1+0*(-2)=0*(1-2)

        
Bezug
Faktorisieren, wenn x=0: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:00 Mo 14.11.2016
Autor: M.Rex

Hallo

> Sei [mm]x\in R[/mm] und im speziellen x=0.

>

> Ist faktorisieren dann immernoch in Ordnung?

>

> Zum Beispiel:

>

> 0*1+0*(-2)=0*(1-2)

Da spricht meiner Meinung nach nichts gegen.

Marius

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Bezug
Faktorisieren, wenn x=0: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:26 Mo 14.11.2016
Autor: sinnlos123

Mmmh, vielleicht überlege ich das jetzt auch zu stark, aber warum ist dann:

[mm] a+b=x(\frac{a+b}{x}) [/mm]

mit Vorsicht zu genießen, wenn man nicht weiß ob x=0 ist oder nicht?

Ohne Angabe ob a,b durch x teilbar sind oder nicht!

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Bezug
Faktorisieren, wenn x=0: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:43 Mo 14.11.2016
Autor: M.Rex

Hallo

Es gilt doch (für [mm] $x\ne0$) [/mm]

[mm] c=\underbrace{\frac{x}{x}}_{=1}\cdot c=x\cdot\frac{c}{x} [/mm]

Marius

 

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Bezug
Faktorisieren, wenn x=0: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:48 Mo 14.11.2016
Autor: sinnlos123

Hi, Marius!

ja.. aber NUR wenn [mm] x\not=0, [/mm] weil sonst 0/0 da steht, was nicht definiert ist.

Die Frage stellt sich halt insbesondere wenn man mit l'hopital arbeitet oder nicht?

wenn man nun nicht weiß, ob x ungleich 0 ist, warum darf man dann totzdem faktorisieren? sorry wenns blöd klingt xd

LG
Jan

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Faktorisieren, wenn x=0: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:51 Mo 14.11.2016
Autor: tobit09

Hallo Jan!


> ja.. aber NUR wenn [mm]x\not=0,[/mm] weil sonst 0/0 da steht, was
> nicht definiert ist.

Genau. Durch eine reelle Zahl x dividieren kannst du nur für [mm] $x\not=0$. [/mm]

(Die Umformung aus deinem Ausgangspost war hingegen in der Tat unproblematisch: Sie ergibt sich aus dem Distributivgesetz.)


> Die Frage stellt sich halt insbesondere wenn man mit
> l'hopital arbeitet oder nicht?

Da bräuchte ich etwas mehr Kontext. :-)

Für die Frage nach der Existenz und ggf. Wert eines Grenzwertes [mm] $\lim_{x\to a}f(x)$ [/mm] für [mm] $a\in\IR\setminus\{0\}$ [/mm] spielt es keine Rolle, ob 0 zum Definitionsbereich von f gehört oder nicht.
Du kannst daher genauso gut [mm] $\lim_{x\to a}\frac{x}{x}\cdot [/mm] f(x)$ untersuchen.

Auch wenn es um einen Grenzwert [mm] $\lim_{\substack{x\to 0\\x\not=0}}f(x)$ [/mm] geht, spielt die Frage, ob 0 im Definitionsbereich von f liegt, keine Rolle und du kannst genauso gut [mm] $\lim_{\substack{x\to 0\\x\not=0}}\frac{x}{x}f(x)$ [/mm] untersuchen.


> wenn man nun nicht weiß, ob x ungleich 0 ist, warum darf
> man dann totzdem faktorisieren?

Was möchtest du denn genau tun? :-)


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                                                
Bezug
Faktorisieren, wenn x=0: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:57 Mo 14.11.2016
Autor: sinnlos123

Hi Tobias,

es geht sich letzend Endes um: sei [mm] x,y\in [/mm] K (wie Körper)

We know that: [mm] $0=x\cdot 0=x\cdot [/mm] (y-y)=xy+x(-y)$.
Furthermore we know that: $xy+(-xy)=0$.
Now smash'em together and we get
$xy+x(-y)=xy+(-xy)$ $|-xy$
$x(-y)=(-xy)$

(ich denke du kannst englisch)

Ein anderer Beweis geht anders, nämlich anstatt 0 zu erweitern, faktorisiert man. Dadurch kommt dann halt merkwürdiges zustande.

Bezug
                                                        
Bezug
Faktorisieren, wenn x=0: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:04 Mo 14.11.2016
Autor: tobit09


> es geht sich letzend Endes um: sei [mm]x,y\in[/mm] K (wie Körper)
>  
> We know that: [mm]0=x\cdot 0=x\cdot (y-y)=xy+x(-y)[/mm].
>  
> Furthermore we know that: [mm]xy+(-xy)=0[/mm].
>  Now smash'em together and we get
> [mm]xy+x(-y)=xy+(-xy)[/mm] [mm]|-xy[/mm]
>  [mm]x(-y)=(-xy)[/mm]

Hier wird doch nirgendwo durch x dividiert, oder übersehe ich etwas?


> Ein anderer Beweis geht anders, nämlich anstatt 0 zu
> erweitern, faktorisiert man. Dadurch kommt dann halt
> merkwürdiges zustande.

Magst du diesen anderen Beweis posten?
Ohne ihn zu sehen, ist es schwierig, darüber zu sprechen.

Bezug
                                                                
Bezug
Faktorisieren, wenn x=0: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:12 Mo 14.11.2016
Autor: sinnlos123

Hi Tobias,

ja das wurde tatsächlich nicht ganz klar,
$ [mm] 0=x\cdot 0=x\cdot [/mm] (y-y)=xy+x(-y) $

ist genau das gleiche wie:

$ [mm] xy+x(-y)=x\cdot (y-y)=x\cdot [/mm] 0=0$

Nur das es beim 2. halt genau auf's faktorisieren hinausläuft.

Mir ist es einfach nicht ganz klar warum dies in Ordnung ist.

Das 2. war halt mein erster Versuch, wo ich nicht ganz sicher war, allerdings bestätigt ja das 1. das alles ok ist.

Oder folgt das aus dem Distributivgesetz:

$ab+ac=a(b+c)$

?

Bezug
                                                                        
Bezug
Faktorisieren, wenn x=0: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:20 Mo 14.11.2016
Autor: tobit09


> ja das wurde tatsächlich nicht ganz klar,
>  [mm]0=x\cdot 0=x\cdot (y-y)=xy+x(-y)[/mm]
>  
> ist genau das gleiche wie:
>  
> [mm]xy+x(-y)=x\cdot (y-y)=x\cdot 0=0[/mm]

Ja.


> Nur das es beim 2. halt genau auf's faktorisieren
> hinausläuft.
>  
> Mir ist es einfach nicht ganz klar warum dies in Ordnung
> ist.

An welchem der drei Gleichheitszeichen hast du Zweifel?


> Das 2. war halt mein erster Versuch, wo ich nicht ganz
> sicher war, allerdings bestätigt ja das 1. das alles ok
> ist.
>  
> Oder folgt das aus dem Distributivgesetz:
>  
> [mm]ab+ac=a(b+c)[/mm]
>  
> ?

[mm] $xy+x(-y)=x\cdot [/mm] (y-y)$ ist in der Tat eine Anwendung des Distributivgesetzes, nach dem $xy+x(-y)=x(y+(-y))$ gilt. Und $y-y$ ist nur eine Kurzschreibweise für $y+(-y)$.

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