matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenMaßtheorieÄquivalenzaussagen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Maßtheorie" - Äquivalenzaussagen
Äquivalenzaussagen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Maßtheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Äquivalenzaussagen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:21 So 23.11.2014
Autor: questionpeter

Aufgabe
Sei [mm] (X,\mu) [/mm] Maßraum und [mm] \nu,\rho [/mm] reelle Maße auf [mm] \mathcal{A} [/mm]
a) Für A [mm] \in \mathcal{A} [/mm] sind folgende Aussagen äquivalent:

(i) A ist [mm] \nu-Nullmenge. [/mm]
(ii) A ist eine [mm] \nu^{+}- [/mm] und eine [mm] \nu^{-}-Nullmenge. [/mm]
(iii) A ist eine [mm] |\nu|-Nullmenge. [/mm]

b) Folgende Aussagen sind äquivalent:
(i) [mm] \nu \perp \rho; [/mm]
(ii) [mm] \nu^{+} \perp \rho [/mm] und [mm] \nu^{-} \perp \rho, [/mm]
(iii) [mm] |\nu| \perp \rho; [/mm]
(iv) [mm] |\nu| \perp |\rho| [/mm]

hallo,
sitze gerade vor diese aufgabe und weiiß nicht so richtig wie ich anfangen soll. ich hoffe ihr könnt mir dabei helfen.

also Nullmenge ist so def. dass eine Teilmenge A [mm] \in \mathcal{A} [/mm] das maß null hat.
und es gilt [mm] \nu =\nu_{+}-\nu_{-} [/mm]  und  [mm] |\nu|=\nu_{+}+\nu_{-}. [/mm] inde vorlesung habe ich einen folg. Satz gefunden  names  "Hahns Zerlegungssatz" das folg def ist:

Sei [mm] \nu: \mathcal{A}\rightarrow \IR [/mm] reelwertiges Maß. [mm] \exists [/mm] disjunkte messbare Mengen [mm] X_{-}, X_{+} \subset [/mm] X mit
  [mm] x=X_{-} \cup X_{+}, [/mm] s.d. [mm] \nu(A\cap X_{+})\le [/mm] 0 und [mm] -\nu(A\cap X_{-}). [/mm]
Dann sind [mm] \nu_{+} [/mm] und [mm] \nu_{-} [/mm] positive Maße.

Sei [mm] f=1_{X_{+}}-1_{X_{-}}. [/mm] Dann folgt
[mm] \nu(A)=\integral_{A}fd|\nu| [/mm] wobei [mm] |\nu| [/mm]  wie oben def. ist.
falls ich mit diesen Satz es zeigen soll. Wie fange ich am besten anfangen
könnt ihr es mir anhand aussage (i) [mm] \Rightarrow [/mm] (ii) zeigen evtl.

dankeschön im voraus

questionpeter

        
Bezug
Äquivalenzaussagen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:39 So 23.11.2014
Autor: fred97

Ich versteh Dein Pronlem nicht. Du sollst zeigen:

[mm] \mu(A) [/mm] =0    [mm] \gdw [/mm]   (   [mm] \nu_+(A) [/mm] =0   und [mm] \nu_-(A)=0 [/mm] )   [mm] \gdw |\nu|(A)=0. [/mm]



Das kriegst Du doch locker mit den Def. von [mm] \nu_+, \nu_- [/mm]  und [mm] |\nu| [/mm] hin.

FRED

Bezug
                
Bezug
Äquivalenzaussagen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:38 So 23.11.2014
Autor: questionpeter

danke nochmals.war wirklich sehr einfach
aber jetzt zu teil b) wie  mache ich es dort jetzt.
wenn ich zwei Teilmenge definiere z.B A,B [mm] \in [/mm] mathcal{A} dann sei A [mm] \nu-Nullmenge [/mm] und B [mm] \rho-Nullmenge [/mm] und [mm] \nu \perp \rho. [/mm]

aber wie kann ich daraus folg. dass [mm] \nu_+\perp \rho [/mm] und [mm] \nu_{-}\perp\rho? [/mm]

sorry dass ich evtl. mich doof anstelle, aber machmal sieht man vor lauter vielen bäumen nichts.

Bezug
                        
Bezug
Äquivalenzaussagen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:58 Mo 24.11.2014
Autor: fred97


> danke nochmals.war wirklich sehr einfach
>  aber jetzt zu teil b) wie  mache ich es dort jetzt.
>  wenn ich zwei Teilmenge definiere z.B A,B [mm]\in[/mm] mathcal{A}
> dann sei A [mm]\nu-Nullmenge[/mm] und B [mm]\rho-Nullmenge[/mm] und [mm]\nu \perp \rho.[/mm]
>  
> aber wie kann ich daraus folg. dass [mm]\nu_+\perp \rho[/mm] und
> [mm]\nu_{-}\perp\rho?[/mm]
>  
> sorry dass ich evtl. mich doof anstelle, aber machmal sieht
> man vor lauter vielen bäumen nichts.


Es gelte  [mm]\nu \perp \rho.[/mm]

Das bedeutet: es ex. B [mm] \in \mathcal{A} [/mm]  mit [mm] \nu(B)=0 [/mm] und [mm] \rho(X \setminus [/mm] B)=0

Aus a) folgt doch dann sofort: $ [mm] \nu_+\perp \rho [/mm] $ und $ [mm] \nu_{-}\perp\rho [/mm] $  und [mm] $|\nu| \perp \rho$ [/mm]


FRED


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Maßtheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]