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Teilen auf Integr.bereich: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:07 Fr 10.10.2014
Autor: geigenzaehler

Aufgabe
R: Integritaetsbereich
r,r',s,s' [mm] \in [/mm] R,
u [mm] \in R^{\times} [/mm]
r|s:= "r teilt s" ...

r|s und s|r <=> r=us

Beweis?


r|s , d h  (1) rr'=s
s|r, d h (2) ss'=r

1 in 2:
rr's'=r

und hieraus soll folgen

rr's'-r=0

Dass das folgt, ist klar. Nur warum ist es von Interesse zu schauen, wie das 0 wird?
Es muss irgendwas mit dem Inversen u (bzgl. MAL oder PLUS?) zu tun haben...

Da wir auf einem Integr.ber. sind, gilt ab=0 gdw mindestenes ein Faktor =0.

Kann mir es bis hier jmd erläutern?

EDIT:
Letztlich sagt doch die Aufgabe:

r teilt s und gleichzeitig teilt s r
gdw r=s.
Schon alleine daraus folgt, dass u=1 sein muss.

u ist also das Neutralelement bzgl. Multiplikation.
Das Neutralelement bzgl. Multiplikation ist 1. Um 1 zu erhalten in der Multiplikation mit u, also uu'=1, muss u inv.bar sein, sonst gibt es ja u' nicht.

Stimmr das?

Komisch nur, dass u' hier gar nicht gefragt ist. (Wenngleich es zu u=1 offensichtlich ist)


        
Bezug
Teilen auf Integr.bereich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:54 Fr 10.10.2014
Autor: UniversellesObjekt

Vermutlich soll $ u $ eine Einheit sein.

Schreibe $ r=a*s $ und $ s=b*r $. Dann gilt $ r=a*b*r $, also $ r (ab-1)=0$, also $ ab =1$, also sind $ a, b $ inverse Einheiten.

Welche Stelle hiervon ist jetzt unklar?

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                
Bezug
Teilen auf Integr.bereich: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:02 Fr 10.10.2014
Autor: tobit09

Hallo UniversellesObjekt!


> Schreibe [mm]r=a*s[/mm] und [mm]s=b*r [/mm]. Dann gilt [mm]r=a*b*r [/mm], also [mm]r (ab-1)=0[/mm],
> also [mm]ab =1[/mm], also sind [mm]a, b[/mm] inverse Einheiten.

Statt ab=1 kann auch r=0 gelten.
(Dieser Fall kann gesondert betrachtet werden.)


Viele Grüße
Tobias

Bezug
        
Bezug
Teilen auf Integr.bereich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:32 Fr 10.10.2014
Autor: tobit09

Hallo geigenzaehler!


> R: Integritaetsbereich
>  r,r',s,s' [mm]\in[/mm] R,
>  u [mm]\in R^{\times}[/mm]
>  r|s:= "r teilt s" ...
>  
> r|s und s|r <=> r=us

Ich übersetze mal, was wohl gemeint ist:

Sei $R$ ein Integritätsbereich.
Seien [mm] $r,s\in [/mm] R$.
Dann gilt $r|s$ und $s|r$ genau dann, wenn ein [mm] $u\in R^\times$ [/mm] existiert mit $r=us$.


> Beweis?

Offenbar möchtest du nun die Hin-Richtung der genau-dann-wenn-Aussage beweisen.

> r|s , d h  (1) rr'=s

Du meinst: Wegen $r|s$ existiert ein [mm] $r'\in [/mm] R$ mit $rr'=s$.

>  s|r, d h (2) ss'=r

Du meinst: Wegen $s|r$ existiert ein [mm] $s'\in [/mm] R$ mit $ss'=r$.

> 1 in 2:

Du meinst: Durch Einsetzen von (1) in (2) folgt...

>  rr's'=r

[ok]

>  
> und hieraus soll folgen
>  
> rr's'-r=0

[ok]

> Dass das folgt, ist klar. Nur warum ist es von Interesse zu
> schauen, wie das 0 wird?

Wir wollen Folgendes ins Spiel bringen:

> Da wir auf einem Integr.ber. sind, gilt ab=0 gdw
> mindestenes ein Faktor =0.

Um diese Eigenschaft zu nutzen, müssen wir das Nullelement von $R$ in der Form $0=ab$ darstellen.

Tatsächlich haben wir nun (ausklammern):

     $0=rr's'-r=r(r's'-1)$.

Also $r=0$ oder $r's'-1=0$.

1. Fall: $r=0$.
Dann denke mal an $u:=1$.

2. Fall: $r's'-1=0$.
Dann denke mal an $u:=s'$.

>  Es muss irgendwas mit dem Inversen u (bzgl. MAL oder
> PLUS?) zu tun haben...

Wir suchen ein [mm] $u\in R^\times$ [/mm] mit $r=us$.

[mm] $u\in R^\times$ [/mm] bedeutet, dass das Ringelement [mm] $u\in [/mm] R$ ein MULTIPLIKATIV Inverses in $R$ besitzt.
ADDITIV Inverse besitzen in jedem Ring sowieso alle Elemente.


>  EDIT:
>  Letztlich sagt doch die Aufgabe:
>  
> r teilt s und gleichzeitig teilt s r
> gdw r=s.

Nein.
Das wäre auch falsch.
Denke etwa an den Integritätsring [mm] $R:=\IZ$, [/mm] $r:=2$ und $r:=-2$.

>   Schon alleine daraus folgt, dass u=1 sein muss.

Auch diese Folgerung ist im Allgemeinen falsch:
Selbst wenn $r=s$ gilt, kann durchaus auch $r=us$ mit einem [mm] $u\in R^\times$ [/mm] mit [mm] $u\not=1$ [/mm] gelten:
Denke etwa an [mm] $R:=\IZ$, [/mm] $r:=0$, $s:=0$ und $u=-1$.

> u ist also das Neutralelement bzgl. Multiplikation.

Folgerichtig.

>  Das Neutralelement bzgl. Multiplikation ist 1. Um 1 zu
> erhalten in der Multiplikation mit u, also uu'=1, muss u
> inv.bar sein, sonst gibt es ja u' nicht.

Die Existenz eines $u'$ mit $uu'=1$ ist gerade die Definition der Invertierbarkeit von $u$.

> Komisch nur, dass u' hier gar nicht gefragt ist.

Explizit angeben lässt sich $u'$ (zumindest in meinem obigen 2. Fall) in dieser allgemeinen Situation auch kaum.


Noch komplett fehlt der Beweis der Rück-Richtung der genau-dann-wenn-Aussage.


Viele Grüße
Tobias

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