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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Tangente am Einheitskreis
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Tangente am Einheitskreis: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:07 Fr 21.03.2014
Autor: Gabbabin

Aufgabe
Wir betrachten die obere Hälfte des Einheitskreises H.
a) Gebe H als Graph einer Funktion f an.
b) Bestimme die Ableitung f´.
c) Zeige f¨ur jeden Punkt P ∈ H , dass die Gerade OP senkrecht steht
auf der Tangenten in P an H .

Ich habe a und b gelöst.

a)

[mm] 1^{2} [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] ⇒ y = [mm] \wurzel{x^{2}-1} [/mm]

f : [1, 1] → [0, 1]

x → f(x):= [mm] \wurzel{x^{2}-1} [/mm]

b)

f(x) = u(v(x)) mit

v(x) = [mm] x^{2} [/mm] - 1
u(x) [mm] =\bruch{1}{2} [/mm]
[mm] \wurzel{x} [/mm] = [mm] x^1/2 [/mm]
u´(x) [mm] =\bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}}=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{\wurzel{x}} [/mm]

v´(x)=2x

f´(x) = v´(x)*u´(v(x))

[mm] =2x*\bruch{1}{2}(x^{2}-1)^-{\bruch{1}{2}}=2x*\bruch{1}{2}*\bruch{1}{\wurzel{x^{2}-1}} [/mm]
[mm] =\bruch{2x}{2*\wurzel{x^{2}-1}}=\bruch{x}{\wurzel{x^{2}-1}} [/mm]

c)

[mm] $P=(x,\sqrt{x^2-1})$ [/mm]
$y=mx+b$ [mm] \rightarrow \sqrt{x^2-1}= \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}x+b [/mm]

[mm] \\\sqrt{x^2-1}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}=b [/mm]

[mm] \\=$\frac{(\sqrt{x^2-1})^2-x^2}{\sqrt{x^2-1}}= \newline [/mm]
[mm] -\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$, [/mm] da

[mm] \\ \Rightarrow $(\sqrt{x^2-1})^2-x^2=-1$ [/mm]
[mm] \\ \Rightarrow $(\sqrt{x^2-1})^2=x^2-1 [/mm]
[mm] \\ \Rightarrow $x^2-1-x^2=-1 [/mm]
[mm] \\ $\Rightarrow \frac{x^2-1-x^2}{\sqrt{x^2-1}}$ [/mm] = [mm] $\frac{-1}{\sqrt{x^2-1}}$ [/mm]

[mm] $y=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}x+\frac{-1}{\sqrt{x^2-1}}$ [/mm]

Ist das soweit richtig?


        
Bezug
Tangente am Einheitskreis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:27 Fr 21.03.2014
Autor: fred97


> Wir betrachten die obere Hälfte des Einheitskreises H.
>  a) Gebe H als Graph einer Funktion f an.
>  b) Bestimme die Ableitung f´.
>  c) Zeige f¨ur jeden Punkt P ∈ H , dass die Gerade OP
> senkrecht steht
>  auf der Tangenten in P an H .
>  Ich habe a und b gelöst.
>  
> a)
>  
> [mm]1^{2}[/mm] = [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] ⇒ y = [mm]\wurzel{x^{2}-1}[/mm]


Nein. Richtig: [mm] y=\wurzel{1-x^2} [/mm]

>  
> f : [1, 1] → [0, 1]
>  
> x → f(x):= [mm]\wurzel{x^{2}-1}[/mm]

S.0.


>  
> b)
>  
> f(x) = u(v(x)) mit
>  
> v(x) = [mm]x^{2}[/mm] - 1
>  u(x) [mm]=\bruch{1}{2}[/mm]
>  [mm]\wurzel{x}[/mm] = [mm]x^1/2[/mm]
>  u´(x)
> [mm]=\bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}}=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{\wurzel{x}}[/mm]
>  
> v´(x)=2x
>  
> f´(x) = v´(x)*u´(v(x))
>  
> [mm]=2x*\bruch{1}{2}(x^{2}-1)^-{\bruch{1}{2}}=2x*\bruch{1}{2}*\bruch{1}{\wurzel{x^{2}-1}}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{2x}{2*\wurzel{x^{2}-1}}=\bruch{x}{\wurzel{x^{2}-1}}[/mm]


Da Dein f oben falsch war, ist auch Deine Ableitung falsch.


>  
> c)
>  
> [mm]P=(x,\sqrt{x^2-1})[/mm]
>  [mm]y=mx+b[/mm] [mm]\rightarrow \sqrt{x^2-1}= \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}x+b[/mm]

Jetzt wirds chaotisch ! Die Gleichung der Tangente in P soll wohl

    y=mx+b

sein. Der Punkt P ist fest. Dann kannst Du für ihn nicht die Laufvariable in der Tangentengl. benutzen, also besser

    [mm] $P=(u,\sqrt{1-u^2})$ [/mm]

Dann ist m=f'(u).

Ist n die Steigung der Gerade OP, so musst Du nur zeigen:

    $n*f'(u)=-1$

FRED

>  
> [mm]\\\sqrt{x^2-1}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}=b[/mm]
>  
> [mm]\\=$\frac{(\sqrt{x^2-1})^2-x^2}{\sqrt{x^2-1}}= \newline[/mm]
>  
> [mm]-\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$,[/mm] da
>  
> [mm]\\ \Rightarrow[/mm]  [mm](\sqrt{x^2-1})^2-x^2=-1[/mm]
>  [mm]\\ \Rightarrow $(\sqrt{x^2-1})^2=x^2-1[/mm]
>  [mm]\\ \Rightarrow $x^2-1-x^2=-1[/mm]
>  
> [mm]\\[/mm]  [mm]\Rightarrow \frac{x^2-1-x^2}{\sqrt{x^2-1}}[/mm] =
> [mm]\frac{-1}{\sqrt{x^2-1}}[/mm]
>
> [mm]y=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}x+\frac{-1}{\sqrt{x^2-1}}[/mm]
>  
> Ist das soweit richtig?
>  


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