Sesquilinearform - Grundsätzliches < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:29 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Cathrine |
Ich habe mal SO eine Frage - also keine Aufgabe, sondern nur für mein Verständnis.
Zuerstmal die erste Frage: Was genau ist denn eigentlich eine Sesquilinearform und wie unterscheidet sie sich von der Bilinearform???
(Gibt es da bestimmte Eigenschaften?)
Kann man sich das irgendwie vorstellen?
Und was zeichnet die Speziellen Typen der Sesquiform aus?
-reflexive (wie bei der Äquivalenzrelation???)
-hemitsche (Was ist das genau?/ EIne definition habe ich - aber die sagt mir nichts)
-symmetrisch
-symplektisch (was ist das? Keine zu komplizierte Definition, bitte!)
Und was bedeutet es, wenn eine Sesqui/bilinearform ALTERNIEREND ist?
Danke, Grüße Cathy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:54 Di 11.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Cathy!
> Ich habe mal SO eine Frage - also keine Aufgabe, sondern
> nur für mein Verständnis.
Sehr vorbildlich 
> Zuerstmal die erste Frage: Was genau ist denn eigentlich
> eine Sesquilinearform und wie unterscheidet sie sich von
> der Bilinearform???
Interessant und verständlich fand ich diese Seite von ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia.de (obwohl es dort nicht für einen allgemeinen Körper beschrieben ist, sondern nur für [mm] $\IC$.)
[/mm]
Sowohl bei einer Bilinearform, als auch bei einer Sesquilinearform werden ja zwei Vektoren (die "Argumente") abgebildet auf den zugrundeliegenden Körper.
Eine Bilinearform ist dabei in beiden Argumenten linear, eine Sesquilinearform nur in einem Argument, in dem anderen Argument dafür aber semilinear.
Die Definition von semilinear dürfte dir ja bekannt sein, ansonsten liefere ich sie nach. Es ist eine allgemeinere Form der Linearität, die bekannte Linearität ergibt sich als Spezialfall. Insofern ist jede Bilinearform auch eine Sesquilinearform.
> (Gibt es da bestimmte Eigenschaften?)
>
> Kann man sich das irgendwie vorstellen?
Es gibt bestimmt Veranschaulichungen davon, mir fällt aber im Augenblick keine ein. Außer das Skalarprodukt, das ist eine symmetrische, positiv definite Bilinearform.
Allerdings denke ich, dass dir eine Veranschaulichung zum Verständnis nicht weiter helfen wird.
Das sind halt abstrakte Definitionen, die irgendwelchen Objekten eine Struktur geben.
Für das Folgende kann ich auch nur die Definitionen zitieren. Wenn du magst, liefere ich das nach, das wäre bestimmt auch für unsere Datenbank nützlich.
> Und was zeichnet die Speziellen Typen der Sesquiform aus?
>
> -reflexive (wie bei der Äquivalenzrelation???)
> -hemitsche (Was ist das genau?/ EIne definition habe ich -
> aber die sagt mir nichts)
> -symmetrisch
> -symplektisch (was ist das? Keine zu komplizierte
> Definition, bitte!)
>
> Und was bedeutet es, wenn eine Sesqui/bilinearform
> ALTERNIEREND ist?
Wenn du einfach die Definitionen haben willst, melde dich bitte.
Ich lasse die Frage solange auf "teilweise beantwortet", vielleicht findet ja auch jemand anderes verständlichere Worte für dich
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:50 Di 11.05.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Cathrine,
ich empfehle dir mal das folgende Kurzskript:
http://www-ifm.math.uni-hannover.de/~hulek/Skripten/LA1/Kap9.pdf
Es ist so: Bei einer vorgegebenen Basis [mm]{\cal B}[/mm] entspricht jeder Sesquilinearform [mm]s[/mm] in eindeutiger Weise eine darstellende Matrix [mm]S_{\cal B}[/mm] (lies dir das im Skript bitte durch). Die Eigenschaften, mit denen man die Sesquilinearform versieht (z.B. symmetrisch, hermitesch) sind dann die Eigenschaften der Darstellungsmatrix, die man sich sehr gut vorstellen kann (z.B. eine symmetrische Matrix).
Auch geometisch ergibt sich eine Interpretation:
Betrachte die Niveaumengen der zugehörigen quadratische Form, also:
[mm]N_c = \{x \in K^n \, :\, q_s(x) = s(x,x) = \overline{q_{\cal B}(x)^T}\, S_{\cal B}\, q_{\cal B}(x) = c\}[/mm],
wobei [mm]c \in \IR^+[/mm] und [mm]q_{\cal B}[/mm] die Koordinatenabbildung der Basis [mm]{\cal B}[/mm] ist.
Wenn nun zum Beispiel [mm]s[/mm] (und damit auch [mm]S_{\cal B}[/mm]) symmetrisch ist, dann sind die Niveaumengen [mm]N_c[/mm] auch im geometrischen Sinne symmetrisch.
Aber, ganz ehrlich: Das wird dir nicht viel helfen. Du musst dich an diesen Abstraktionsgrad an der Uni gewöhnen und zunächst einmal mit diesen Definitionen "abstrakt" umgehen. Die Anschauung kommt erst mit der Zeit. Mir sind diese ganzen Zusammenhänge erst beim Lernen für das Vordiplom klar geworden. Trotzdem konnte ich vorher abstrakt damit umgehen und hatte mit den Übungsblättern in LA nie größere Schwierigkeiten. Das musst du auch versuchen. "Lerne" diese Definitionen zunächst einmal abstrakt und versuche die Techniken anhand der Übungsaufgaben einzuüben. Die geometrische Interpretation kommt dann später (wenn ihr Hauptachsentransformationen durchgenommen habt).
Ich fürchte, mehr können wir dir nicht helfen. Da muss jeder selber durch und da musst du dich einfach durchbeißen. Man kann nicht erwarten, dass man für alle Definitionen direkt eine vernünftige Veranschaulichung hat, das funktioniert so nicht.
Jedenfalls: Bei konkreten Schwierigkeiten zu den Übungsaufgaben können wir dir dann ja gerne weiterhelfen, wenn du sie früh genug stellst (und nicht alle am späten Sonntagabend).
Wenn du die Definitionen noch haben möchtest, dann melde dich. Aber sie dürften ja auch in deinem Skript/LA-Buch stehen. Oder?
Liebe Grüße
Julius
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