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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Sa 22.04.2006 | | Autor: | spooky |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion [mm] h(x)=\bruch{1}{ e^{x}}*sin(2x) [/mm] (x [mm] \in \IR;x\ge0) [/mm] und [mm] f(x)=\bruch{1}{ e^{x}}. [/mm] Ermittel die gemeinsamen Punkte der Graphen der Funktionen h und f.
Zeigen Sie, dass diese Punkte Berührungspunkte beider Graphen sind. |
Hey!!! Brauch mal wieder eure Hilfe!!!
erste Teilaufgabe :
Habe zuerst die beiden Funktionen gleichgesetzt:
[mm] \bruch{1}{ e^{x}}*sin(2x)=\bruch{1}{ e^{x}} [/mm]
und umgestellt:
[mm] 0=\bruch{1}{ e^{x}}(sin2x-1) [/mm]
Jetzt wollte ich das wie bei der Berechnung der Nullstellen auflösen:
[mm] \bruch{1}{ e^{x}} [/mm] kann allerdings nicht Null werden.
Allerdings weiß ich nicht wie ich 0=sin2x-1 berechne. Normalerweise würde ich den Term mit [mm] k\pi [/mm] gleichsetzten, aber was muss bei der -1 beachtet werden???
Durch probieren hab ich folgende Lösung erhalten: [mm] x_{n}= \bruch{k \pi}{4}. [/mm] Ist das korrekt???
zweite Teilaufgabe :
In dem Fall muss ich die erste Ableitung der zwei Funktionen bilden und der Anstieg in meinen Schnittpunkten muss bei beiden Graphen gleich sein. Hab ich die Aufgabenstellung so richtig verstanden???
Für Hilfe wäre ich dankbar!
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Hallo!
> Gegeben ist die Funktion [mm]h(x)=\bruch{1}{ e^{x}}*sin(2x)[/mm] (x
> [mm]\in \IR;x\ge0)[/mm] und [mm]f(x)=\bruch{1}{ e^{x}}.[/mm] Ermittel die
> gemeinsamen Punkte der Graphen der Funktionen h und f.
> Zeigen Sie, dass diese Punkte Berührungspunkte beider
> Graphen sind.
> Hey!!! Brauch mal wieder eure Hilfe!!!
>
> erste Teilaufgabe :
>
> Habe zuerst die beiden Funktionen gleichgesetzt:
> [mm]\bruch{1}{ e^{x}}*sin(2x)=\bruch{1}{ e^{x}}[/mm]
> und umgestellt:
> [mm]0=\bruch{1}{ e^{x}}(sin2x-1)[/mm]
>
> Jetzt wollte ich das wie bei der Berechnung der Nullstellen
> auflösen:
> [mm]\bruch{1}{ e^{x}}[/mm] kann allerdings nicht
> Null werden.
>
> Allerdings weiß ich nicht wie ich 0=sin2x-1 berechne.
> Normalerweise würde ich den Term mit [mm]k\pi[/mm] gleichsetzten,
> aber was muss bei der -1 beachtet werden???
Naja, du hast doch da quasi stehen:
[mm] \sin(2x)-1=0 \gdw \sin(2x)=1
[/mm]
und das gilt für [mm] 2x=\bruch{\pi}{2}+2k\pi [/mm] für [mm] k\in\IZ [/mm] wenn ich mich da jetzt nicht irre. Das ergäbe dann bei mir [mm] x=\bruch{\pi+4k\pi}{4} [/mm] - also etwas anderes als bei dir. Aber kann auch sein, dass ich mich irgendwo verrechnet habe - mir raucht schon etwas der Kopf von den ganzen [mm] \sin [/mm] und [mm] \cos... [/mm] Aber der Rechenweg dürfte klar sein, odeR?
> Durch probieren hab ich folgende Lösung erhalten: [mm]x_{n}= \bruch{k \pi}{4}.[/mm]
> Ist das korrekt???
>
> zweite Teilaufgabe :
>
> In dem Fall muss ich die erste Ableitung der zwei
> Funktionen bilden und der Anstieg in meinen Schnittpunkten
> muss bei beiden Graphen gleich sein. Hab ich die
> Aufgabenstellung so richtig verstanden???
Und die beiden Funktionen müssen dort den gleichen Funktionswert haben, würde ich meinen. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Sa 22.04.2006 | | Autor: | spooky |
Deine Lösung stimmt erstmal soweit!!! Da hab ich bestimmt irgendetwas falsch *probiert*!!!
[mm] 2x=\bruch{\pi}{2}+2k\pi [/mm] Könnte man bei der Gleichung die 2 bei [mm] 2k\pi [/mm] weglassen???
Danke für deine Hilfe!
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Hallo nochmal!
> Deine Lösung stimmt erstmal soweit!!! Da hab ich bestimmt
> irgendetwas falsch *probiert*!!!
Gut. 
> [mm]2x=\bruch{\pi}{2}+2k\pi[/mm] Könnte man bei der Gleichung die 2
> bei [mm]2k\pi[/mm] weglassen???
Ich denke nicht, denn der Sinus ist doch [mm] 2\pi-periodisch, [/mm] und wenn ich auf eine Stelle, an der der Sinus=1 ist nur [mm] \pi [/mm] draufaddiere, so lande ich doch bei -1 und nicht bei +1, oder?
Viele Grüße
Bastiane
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:58 Sa 22.04.2006 | | Autor: | spooky |
Ich bin mir noch nicht ganz sicher ob ich es verstanden habe. Wenn die Gleichung 0=sin(2x)+1 wäre würde ich die Nullstelle x= [mm] \bruch{3 \pi}{2}+k*2 \pi???
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Sa 22.04.2006 | | Autor: | Disap |
Hi.
> Ich bin mir noch nicht ganz sicher ob ich es verstanden
> habe. Wenn die Gleichung 0=sin(2x)+1 wäre würde ich die
> Nullstelle x= [mm]\bruch{3 \pi}{2}+k*2 \pi???[/mm]
Nein, dann wäre die Nullstelle [mm] $x=\br{3\pi}{4}$
[/mm]
Abgesehen davon gibt es in der Periode $p = [mm] \br{2\pi}{b} [/mm] = [mm] \br{2\pi}{2} [/mm] = [mm] \pi$ [/mm]
gleich zwei Nullstellen!
Die Symmetrie (für die Nullstellen) liegt beim Sinus normalerweise bei [mm] \br{\pi}{2}. [/mm] In diesem Fall verschiebt sie sich auf Grund der Periodizität.
[mm] \br{\pi}{4} [/mm] dient als Symmetrie. (In diesem Falle bekommst du die einen negativen X-WErt als Nullstelle). [mm] x_2 [/mm] = [mm] \br{-\pi}{4}
[/mm]
Daher musst du zu [mm] x_1 [/mm] nur noch einmal [mm] \pi [/mm] dazuzählen, haste wieder eine weitere Nullstelle.
Wie man auf die Nullstellen kommt, hast du ja nicht gefragt. Sollte das unklar sein, melde dich noch mal.
Es gilt
[mm] $x_n_1 [/mm] = [mm] \br{3\pi}{4}+n*\pi$
[/mm]
[mm] $x_n_2 [/mm] = [mm] \br{-\pi}{4}-n*\pi$
[/mm]
Evtl. kann man dieses sogar noch in eine vernünftige 'fertige' Formel packen, aber da kannst du ja mal überlegen. Sofern das geht, habe mir jetzt keine Gedanken dazu gemacht.
Viele Grüße
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]") Disap
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Sa 22.04.2006 | | Autor: | spooky |
naja!!! Wenn du so lieb wärst könntest du mir das ja mal erklären wie man auf die Nullstellen kommt. Bis jetzt bin ich davon ausgegangen das ich das wusste. Wie es aussieht aber doch nicht!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 Sa 22.04.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo spooky.
> naja!!! Wenn du so lieb wärst könntest du mir das ja mal
> erklären wie man auf die Nullstellen kommt. Bis jetzt bin
> ich davon ausgegangen das ich das wusste. Wie es aussieht
> aber doch nicht!!!
Naja, das ist ein Gag, den man einmal gesehen haben muss. Mitunter erleichtert es einem das Verständnis und viele andere Sachen gibts dann auch gar nicht mehr zum sinus etc.
Also, die Bedingung lautete
$0=sin(2x)+1 // - 1 $
[mm] $-1=\red{sin(2x)}$
[/mm]
In Worten heisst das, dass wir ein x suchen, für den unser sinus -1 wird.
Jetzt musst du dafür die allgemeine Sinusfunktion sin(x) kennen.
Wo wird der sin(x) = -1? Bei [mm] \br{3\pi}{2} [/mm] sowie bei [mm] \br{-\pi}{2}
[/mm]
Das waren deine Lösungen, stimmen aber nur bei sin(x) und nicht bei [mm] sin(\red{2}x)
[/mm]
(die Stellen kann man aber auch leicht berechnen:
$sin(x) = -1 | :sin $ also arc sin)
Die Ergebnisse sind wichtig, denn es gilt für unsere Bedingung
[mm] $-1=\red{sin(2x)}$
[/mm]
dass der sin(2x) genau dann minus 1 wird, wenn wir innerhalb der klammer auf den Wert [mm] \br{3\pi}{2} [/mm] oder [mm] \br{-\pi}{2} [/mm] kommen.
Unsere neue Bedingung lautet also
$2x = [mm] \br{3\pi}{2} [/mm] // :2 $
$x = [mm] \br{3\pi}{4}$
[/mm]
Dieses Verfahren ist wichtig zu kennen, denn es würde dir auch bei
$sin(2x+3) = 1$ weiterhelfen
Noch einmal kurz zusammengefasst, da ich denke, dass war teilweise etwas unverständlich
[mm] $sin\blue{(2x)}=-1$
[/mm]
Überlegung: der sin(IRGENDETWAS) muss minus 1 werden.
Problematik: die Periodizität, wir haben dieses 2x in der Klammer, der sinus läuft also schneller durch.
Wir wissen allerdings, dass der sinus z. B. bei [mm] \br{3\pi}{2} [/mm] minus 1 wird, daher muss gelten
2x = [mm] \br{3\pi}{2}
[/mm]
Alles verstanden?
Hoffe doch... Ansonsten: laut schreien
Beste Grüße
Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:16 Sa 22.04.2006 | | Autor: | spooky |
Juhhhhuuuu!!!! Ich habs verstanden!!! *grins* Ist echt eine tolle Erklärung. Vielen Dank
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