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| Aufgabe | Für jedes n [mm] \in \IN0 [/mm] sei die Relation Rn auf [mm] \IN0 [/mm] gegeben durch
[mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in \IN0 [/mm] : (xRny [mm] \gdw [/mm] n teilt x - y)
Geben Sie R0, R1 und R2 an. |
Ich weiß nicht ob ich die Aufgabenstellung richtig verstanden habe, aber meine Lösung wäre spontan wie folgt:
R0 = [mm] \{\emptyset\}
[/mm]
R1 = [mm] \{\IZ\}
[/mm]
R2 = [mm] \{2m : m \in \IZ}
[/mm]
Ist die Aufgabe wirklich so simpel oder überseh ich hier was?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:38 Di 28.10.2014 | | Autor: | abakus |
> Für jedes n [mm]\in \IN0[/mm] sei die Relation Rn auf [mm]\IN0[/mm] gegeben
> durch
> [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in \IN0[/mm] : (xRny [mm]\gdw[/mm] n teilt x - y)
> Geben Sie R0, R1 und R2 an.
> Ich weiß nicht ob ich die Aufgabenstellung richtig
> verstanden habe, aber meine Lösung wäre spontan wie
> folgt:
>
> R0 = [mm]\{\emptyset\}[/mm]
> R1 = [mm]\{\IZ\}[/mm]
> R2 = [mm]\{2m : m \in \IZ}[/mm]
>
> Ist die Aufgabe wirklich so simpel oder überseh ich hier
> was?
Hallo,
auch die Differenz zweier ungerader Zahlen ist durch 2 teilbar.
Es muss für n=2 gelten: $x [mm] \equiv \;y \;mod \;2$.
[/mm]
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:56 Di 28.10.2014 | | Autor: | Infinity95 |
Das heißt, ich kann die Relation R2 wie folgt schreiben?
R2 = [mm] \{x \equiv y mod 2 : x,y \in \IR \}
[/mm]
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Ich weiß nicht ob man einen Beitrag irgendwie editieren kann. Deshalb hier nochmal fast das Selbe weil ich mich oben verschrieben habe.
Das heißt, ich kann die Relation R2 wie folgt schreiben?
R2 = [mm] \{x \equiv y mod 2 : x,y \in \IN0 \}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Di 28.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich weiß nicht ob man einen Beitrag irgendwie editieren
> kann. Deshalb hier nochmal fast das Selbe weil ich mich
> oben verschrieben habe.
>
> Das heißt, ich kann die Relation R2 wie folgt schreiben?
> R2 = [mm]\{x \equiv y mod 2 : x,y \in \IN0 \}[/mm]
nein, so wäre ja auch [mm] $R_2 \subseteq \IN_0$! [/mm] (Man würde es lesen als
"Die Menge aller x mit: $x [mm] \equiv [/mm] y [mm] \mod [/mm] 2$ für $x,y [mm] \in \IN_0\,.$")
[/mm]
Du musst schreiben:
[mm] $R_2=\{(x,y) \in \IN_0 \times \IN_0 \colon x \equiv y \mod 2\}$
[/mm]
Oder Du kannst auch
[mm] $R_2=\{(x,y) \in \IN_0 \times \IN_0 \colon \exists z \in \IZ \text{ so, dass }y=x+z*2 \}
[/mm]
[mm] $=\{(x,y) \in \IN_0 \times \IN_0\colon\;\;y=x+z*2; z \in \IZ\}=\bigcup_{z \in \IZ}\{(x,x+2*z) \in \IN_0 \times \IN_0\}$
[/mm]
schreiben. Bei den letzten drei Notationen musst Du aber aufpassen:
Warum sind sie richtig, obwohl ich da doch $z [mm] \in \IZ$ [/mm] stehen habe? Tipp: Achte auf
die erste Bedingung in der Mengenklammer bzgl. des Paares [mm] $(x,y)\,$!
[/mm]
P.S. Fred meinte mit seinem "Ja" genauer das folgende: "Ja, Du hast was
übersehen..."
P.P.S. Aufgabe bitte nochmal komplett überdenken und überarbeiten, und
die neuen Lösungen vorstellen!
Gruß,
Marcel
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Ok. Ich weiß nicht ob ich es so richtig verstanden habe aber hier mal meine neue Lösung:
[mm] R0=\{(0,0)\}
[/mm]
[mm] R1=\{(x,y)\in\IN0 \times \IN0\}
[/mm]
[mm] R2=\{(x,y)\in\IN0 \times \IN0\ : \exists n \in \IZ : y = x + n * 2\}
[/mm]
Bei R1 sind also alle Paare in der Menge, bei denen x-y durch 1 Teilbar ist, also alle x in [mm] \IN0 [/mm] und alle y in [mm] \IN0. [/mm] Bei R2 dann alle Paare, bei denen x-y durch 2 Teilbar ist. Dabei gilt, dass x addiert mit einem vielfachen von 2 gleich y ist, was garantiert, dass die Differenz durch 2 teilbar ist.
Stimmt das so, oder habe ich irgendwo immernoch ein grundlegendes Missverständnis?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:49 Di 28.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok. Ich weiß nicht ob ich es so richtig verstanden habe
> aber hier mal meine neue Lösung:
>
> [mm]R0=\{(0,0)\}[/mm]
(mit meiner bzw. der aus Wiki zitierten Teilbarkeitsdefinition!)
edit: [mm] $R_0=\{(a,a):\;\; a \in \IN_0\}\,,$
[/mm]
wie Du selbst korrigiert hast!
> [mm]R1=\{(x,y)\in\IN0 \times \IN0\}[/mm]
Na, das kann man auch anders schreiben: Du schreibst ja auch nicht
[mm] $\{r \colon r \in \IR\}\,,$
[/mm]
sondern dann direkt [mm] $\IR\,.$
[/mm]
> [mm]R2=\{(x,y)\in\IN0 \times \IN0\ : \exists n \in \IZ : y = x + n * 2\}[/mm]
>
> Bei R1 sind also alle Paare in der Menge, bei denen x-y
> durch 1 Teilbar ist, also alle x in [mm]\IN0[/mm] und alle y in
> [mm]\IN0.[/mm] Bei R2 dann alle Paare, bei denen x-y durch 2 Teilbar
> ist. Dabei gilt, dass x addiert mit einem vielfachen von 2
> gleich y ist, was garantiert, dass die Differenz durch 2
> teilbar ist.
Wichtig ist auch, dass Du der Notation von [mm] $R_2$ [/mm] auch entnimmst, dass $x [mm] \in \IN_0$ [/mm] und
dann bei $x+2*n$ nur $n [mm] \in \IZ$ [/mm] mit $x+2n [mm] \in \IN_0$ [/mm] durchlaufen werden!
> Stimmt das so, oder habe ich irgendwo immernoch ein
> grundlegendes Missverständnis?
Verstanden hast Du es, denke ich. Habt ihr vielleicht auch noch dazu
gesagt bekommen, dass ihr beweisen sollt, dass Eure Beschreibungen
der Mengen korrekt sind?
Gruß,
Marcel
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Mir ist gerade aufgefallen, dass R0 ja eigentlich [mm] \{(x,y) \in \IN0 \times \IN0 : x = y \} [/mm] sein müsste, da ja x-y bei x=y immer 0 ist. Oder liege ich da falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 Di 28.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Mir ist gerade aufgefallen, dass R0 ja eigentlich [mm]\{(x,y) \in \IN0 \times \IN0 : x = y \}[/mm]
> sein müsste, da ja x-y bei x=y immer 0 ist. Oder liege ich
> da falsch?
ne, ich lag' falsch. Du hast damit absolut recht! (Ich ergänze das mal in der
anderen Antwort.)
Wenn man $0 [mm] \mid [/mm] 0$ "erlaubt", dann gilt für $x,y [mm] \in \IN_0$
[/mm]
$0 [mm] \mid [/mm] x-y$ [mm] $\iff$ $x-y=0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Di 28.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Für jedes n [mm]\in \IN0[/mm] sei die Relation Rn auf [mm]\IN0[/mm] gegeben
> durch
> [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in \IN0[/mm] : (xRny [mm]\gdw[/mm] n teilt x - y)
> Geben Sie R0, R1 und R2 an.
> Ich weiß nicht ob ich die Aufgabenstellung richtig
> verstanden habe, aber meine Lösung wäre spontan wie
> folgt:
>
> R0 = [mm]\{\emptyset\}[/mm]
> R1 = [mm]\{\IZ\}[/mm]
> R2 = [mm]\{2m : m \in \IZ}[/mm]
>
> Ist die Aufgabe wirklich so simpel oder überseh ich hier
> was?
Ja. Es ist [mm] R_n [/mm] Teilmenge von ZxZ
Fred
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:57 Di 28.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Für jedes n [mm]\in \IN0[/mm] sei die Relation Rn auf [mm]\IN0[/mm] gegeben
> durch
> [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in \IN0[/mm] : (xRny [mm]\gdw[/mm] n teilt x - y)
> Geben Sie R0, R1 und R2 an.
> Ich weiß nicht ob ich die Aufgabenstellung richtig
> verstanden habe, aber meine Lösung wäre spontan wie
> folgt:
>
> R0 = [mm]\{\emptyset\}[/mm]
es gibt die Definition: Für $t [mm] \in \IZ$ [/mm] gilt: Für jedes $z [mm] \in \IZ$ [/mm] sagen wir
$t [mm] \mid [/mm] z$ [mm] ($t\,$ [/mm] teilt [mm] $z\,$) [/mm]
genau dann, wenn es ein $k [mm] \in \IZ$ [/mm] mit
[mm] $z=k*t\,$
[/mm]
gibt.
Nach dieser Definition gilt dann zwar
$0 [mm] \nmid [/mm] z$ für alle $z [mm] \in \IZ \setminus \{0\}\,,$
[/mm]
denn andernfalls gäbe es ja ein $k [mm] \in \IZ$ [/mm] mit
[mm] $z=k*0\,,$
[/mm]
aber was sagt diese Definition bzgl.
$0 [mm] \mid [/mm] 0$
aus?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:05 Di 28.10.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> > Für jedes n [mm]\in \IN0[/mm] sei die Relation Rn auf [mm]\IN0[/mm] gegeben
> > durch
> > [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in \IN0[/mm] : (xRny [mm]\gdw[/mm] n teilt x - y)
> > Geben Sie R0, R1 und R2 an.
> > Ich weiß nicht ob ich die Aufgabenstellung richtig
> > verstanden habe, aber meine Lösung wäre spontan wie
> > folgt:
> >
> > R0 = [mm]\{\emptyset\}[/mm]
>
> es gibt die Definition: Für [mm]t \in \IZ[/mm] gilt: Für jedes [mm]z \in \IZ[/mm]
> sagen wir
>
> [mm]t \mid z[/mm] ([mm]t\,[/mm] teilt [mm]z\,[/mm])
>
> genau dann, wenn es ein [mm]k \in \IZ[/mm] mit
Hallo,
hier muss es heißen: "GENAU ein k...).
Gruß Abakus
>
> [mm]z=k*t\,[/mm]
>
> gibt.
>
> Nach dieser Definition gilt dann zwar
>
> [mm]0 \nmid z[/mm] für alle [mm]z \in \IZ \setminus \{0\}\,,[/mm]
>
> denn andernfalls gäbe es ja ein [mm]k \in \IZ[/mm] mit
>
> [mm]z=k*0\,,[/mm]
>
> aber was sagt diese Definition bzgl.
>
> [mm]0 \mid 0[/mm]
>
> aus?
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:36 Di 28.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > Für jedes n [mm]\in \IN0[/mm] sei die Relation Rn auf [mm]\IN0[/mm]
> gegeben
> > > durch
> > > [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in \IN0[/mm] : (xRny [mm]\gdw[/mm] n teilt x - y)
> > > Geben Sie R0, R1 und R2 an.
> > > Ich weiß nicht ob ich die Aufgabenstellung richtig
> > > verstanden habe, aber meine Lösung wäre spontan wie
> > > folgt:
> > >
> > > R0 = [mm]\{\emptyset\}[/mm]
> >
> > es gibt die Definition: Für [mm]t \in \IZ[/mm] gilt: Für jedes
> [mm]z \in \IZ[/mm]
> > sagen wir
> >
> > [mm]t \mid z[/mm] ([mm]t\,[/mm] teilt [mm]z\,[/mm])
> >
> > genau dann, wenn es ein [mm]k \in \IZ[/mm] mit
>
> Hallo,
> hier muss es heißen: "GENAU ein k...).
nö, das MUSS es nicht heißen. In [mm] $\IZ$ [/mm] KANN man das aber AUCH machen...
In faktoriellen Ringen fordert man das aber nicht...
Und oben fordere ich das extra nicht, wenn ich $0 [mm] \mid [/mm] 0$ haben will!
Gruß,
Marcel
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Das hieße also, dass mein R0 das Tupel (0,0) enthält und nicht leer ist, korrekt?
Sprich R0 = [mm] \{(0,0)\}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 Di 28.10.2014 | | Autor: | abakus |
> Das hieße also, dass mein R0 das Tupel (0,0) enthält und
> nicht leer ist, korrekt?
> Sprich R0 = [mm]\{(0,0)\}[/mm]
Für die Gleichung 0*k=0 gibt es nicht genau ein k, sondern mehrere k!
Das widerspicht meiner Version der Teilbarkeit.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:38 Di 28.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Abakus,
> > Das hieße also, dass mein R0 das Tupel (0,0) enthält und
> > nicht leer ist, korrekt?
> > Sprich R0 = [mm]\{(0,0)\}[/mm]
> Für die Gleichung 0*k=0 gibt es nicht genau ein k,
> sondern mehrere k!
> Das widerspicht meiner Version der Teilbarkeit.
eben: Das ist DEINE Version. Es gibt auch andere! 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 Di 28.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das hieße also, dass mein R0 das Tupel (0,0) enthält und
> nicht leer ist, korrekt?
> Sprich R0 = [mm]\{(0,0)\}[/mm]
ja. Aber schlag' vielleicht am Besten nach, oder frag' am Besten direkt
nach, wie bei Euch $a [mm] \mid [/mm] b$ für $a,b [mm] \in \IZ$ [/mm] definiert wurde. Das hängt stark davon
ab (siehe Abakus Antwort).
P.S. Oder verweise bei Deiner Antwort einfach auf
![[]](/images/popup.gif) Wiki (klick!),
auch, wenn das natürlich nicht der Weisheit letzter Schluss ist.
Gruß,
Marcel
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