Rationale Z zw. zwei reell. Z. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:37 Sa 12.11.2005 | | Autor: | MissYumi |
Ich soll beweisen das es zwischen zwei verschiedenen reellen zahlen stehts eine rationale zahl gibt. Mit hilfe von [mm] \wurzel{2} [/mm] .. keine ahnung wie ich das machen soll...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:38 So 13.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Miss
Du musst die definition der reellen Zahlen benutzen, und die def, wann 2 reelle Zahlen gleich sind. Was das mit [mm] \wurzel{2} [/mm] zu tun hat weeiss ich nicht.
Vielleicht wärs manchmal besser, den genauen Aufgabentext, und nicht deine Kurzvrsion zu posten.
Gruss leduat
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 So 13.11.2005 | | Autor: | MissYumi |
Ich hab folgendes zur definition aus wiki:
1. Die reellen Zahlen sind ein Körper
2. Die reellen Zahlen sind total geordnet (s.a. geordneter Körper), d.h. für alle reellen Zahlen a,b,c gilt:
1. es gilt genau eine der Beziehungen a < b,a = b,b < a (Trichotomie)
2. aus a < b und b < c folgt a < c (Transitivität)
3. aus a < b folgt a + c < b + c (Verträglichkeit mit der Addition)
4. aus a < b und c > 0 folgt ac < bc (Verträglichkeit mit der Multiplikation)
3. Die reellen Zahlen sind ordnungsvollständig, d.h. jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge von [mm] \mathbb{R} [/mm] besitzt ein Supremum
und zwei reelle zahlen sind gleich wenn gilt: a [mm] \le [/mm] b , b [mm] \le [/mm] a => a = b
soweit korrekt? reicht das? ... zum beweisen meine ich.
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> Ich hab folgendes zur definition aus wiki:
> 1. Die reellen Zahlen sind ein Körper
> 2. Die reellen Zahlen sind total geordnet (s.a.
> geordneter Körper), d.h. für alle reellen Zahlen a,b,c
> gilt:
> 1. es gilt genau eine der Beziehungen a < b,a =
> b,b < a (Trichotomie)
> 2. aus a < b und b < c folgt a < c
> (Transitivität)
> 3. aus a < b folgt a + c < b + c (Verträglichkeit
> mit der Addition)
> 4. aus a < b und c > 0 folgt ac < bc
> (Verträglichkeit mit der Multiplikation)
> 3. Die reellen Zahlen sind ordnungsvollständig, d.h.
> jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge von
> [mm]\mathbb{R}[/mm] besitzt ein Supremum
>
> und zwei reelle zahlen sind gleich wenn gilt: a [mm]\le[/mm] b , b
> [mm]\le[/mm] a => a = b
>
> soweit korrekt? reicht das? ... zum beweisen meine ich.
Hallo,
Du hast leduart mißverstanden.
Der bräuchte eher für die genaue Aufgabenstellung, um Dir zu helfen - und mir geht das genauso. Denn auch ich frage mich: was hat [mm] \wurzel{2} [/mm] damit zu tun?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:51 So 13.11.2005 | | Autor: | MissYumi |
Oh entschuldigt aber ich frage mich das selbe.
Hier die genaue aufgabe:
Beweisen Sie (evtl. mit Hilfe von [mm] \wurzel{2}):
[/mm]
3.1 Zwischen zwei verschiedenen reellen Zahlen liegt stets eine rationale.
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Hallo Miss Yumi,
ich beziehe mich auf Dein letztes Posting mit der genauen Aufgabenstellung und interpretiere es so, dass man [mm] \wurzel{2} [/mm] nicht notwendig benutzen muss.
Jetzt ist die Frage, wie man [mm] \IR [/mm] definiert hat: als Abschluss von [mm] \IQ [/mm] bezüglich der Totalordnung < ist [mm] \IQ [/mm] in [mm] \IR [/mm] definitionsgemäß dicht. Da ist nix zu beweisen: gäbe es ein Intervall [a;b] ohne rationalen In halt, gäbe es auch keine rationale Folge gegen einen inneren Punkt von [a;b].
Nimmt man andrerseits die Eigenschaft von [mm] \IR, [/mm] dass es "archimedisch" ist (zum Nachschlagen), dann gilt:
Für alle 0 < x [mm] \in \IR [/mm] gibt es ein n [mm] \in \IN [/mm] mit x < n.
Daraus folgt, dass 0 < 1/n < y für alle 0 < y [mm] \in \IR [/mm] ist (setze einfach y := 1/x).
Nun zu Deinem Beweis mit Hilfe der Archimedizität:
seien (0 < ) a < b gegeben, dann ist b-a > 0 und es gibt ein n mit 0 < 1/n < b-a. Aufgrund der Archimedizität gibt es auch ein m mit a < m/n (suche m mit na < m). Sei m minimal mit dieser Eigenschaft, dann muss (m-1)/n < a sein und
a < m/n = (m-1)/n + 1/n < a + 1/n < a + (b-a) = b
ergibt das Gewünschte: a < m/n < b.
Gruß Richard
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