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Polarebene Schnittkreis...: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:23 Do 07.11.2013
Autor: hase-hh

Aufgabe
Gegeben ist eine Kugel mit dem Radius r=4 und dem Mittelpunkt M (1 / 2 / 3) und der Punkt P (-3 / -2 / -1).

Von P werden Tangenten an die Kugel gelegt.

a) Wie groß ist der Öffnungswinkel des Tangentialkegels?
b) In welcher Ebene liegen alle Berührpunkte?
c) Wie lauten Radius und Mittelpunkt des Schnittkreises?

Ergänzende Frage:
d) Kann man auch Berührpunkte ausrechnen?

Moin Moin!

a) Den Winkel [mm] \bruch{\alpha}{2} [/mm] kann man berechnen mit [mm] sin(\bruch{\alpha}{2}) [/mm] = [mm] \bruch{r}{|\overrightarrow{MP}|} [/mm]

[mm] \overrightarrow{MP} [/mm] = [mm] \overrightarrow{OP} [/mm] - [mm] \overrightarrow{OM} [/mm]

= [mm] \vektor{-3 \\ -2 \\ -1} [/mm] - [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] = [mm] \vektor{-4 \\ -4 \\ -4} [/mm]

[mm] |\overrightarrow{MP}| [/mm] = [mm] \wurzel{48} [/mm]

=>  [mm] sin(\bruch{\alpha}{2}) [/mm] = [mm] \bruch{4}{\wurzel{48}} [/mm]

[mm] \bruch{\alpha}{2} [/mm] = 35,26°     bzw.  [mm] \alpha [/mm] = 70,53°



b) Die Polarebene kann man berechnen mit   [mm] (\vec{x} [/mm] - [mm] \vec{m})*(\vec{p} [/mm] - [mm] \vec{m}) [/mm] = [mm] r^2 [/mm]


( [mm] \vektor{x \\ y \\ z } [/mm] -  [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] ) * ( [mm] \vektor{-3 \\ -2 \\ -1 } [/mm] -  [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] )  = 16

-4x -4y -4z = -8   bzw.

x + y + z = 2

richtig?


c) Hier fangen die Probleme an.

Der Schnittkreismittelpunkt liegt auf der Geraden durch P und M.

richtig?

g:  [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ -2 \\ -1} [/mm] + [mm] \lambda*\vektor{4 \\ 4 \\ 4} [/mm]

Einsetzen der Gerade in die Ebene ergibt M '.


-3 [mm] +4*\lambda [/mm] -2 [mm] +4*\lambda [/mm] -1 [mm] +4*\lambda [/mm] = 2

[mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{2}{3} [/mm]           =>  M ' = [mm] \vektor{- 1/3 \\ 2/3 \\ 5/3} [/mm]

Ist das soweit richtig?


Und wie ermittle ich dann den Radius des Schnittkreises?


d) Kann man auch Berührpunkte ausrechnen?


Danke für eure Hilfe!

  


        
Bezug
Polarebene Schnittkreis...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:24 Do 07.11.2013
Autor: MathePower

Hallo hase-hh,

> Gegeben ist eine Kugel mit dem Radius r=4 und dem
> Mittelpunkt M (1 / 2 / 3) und der Punkt P (-3 / -2 / -1).
>
> Von P werden Tangenten an die Kugel gelegt.
>
> a) Wie groß ist der Öffnungswinkel des Tangentialkegels?
>  b) In welcher Ebene liegen alle Berührpunkte?
>  c) Wie lauten Radius und Mittelpunkt des Schnittkreises?
>  
> Ergänzende Frage:
>  d) Kann man auch Berührpunkte ausrechnen?
>  Moin Moin!
>  
> a) Den Winkel [mm]\bruch{\alpha}{2}[/mm] kann man berechnen mit
> [mm]sin(\bruch{\alpha}{2})[/mm] = [mm]\bruch{r}{|\overrightarrow{MP}|}[/mm]
>  
> [mm]\overrightarrow{MP}[/mm] = [mm]\overrightarrow{OP}[/mm] -
> [mm]\overrightarrow{OM}[/mm]
>  
> = [mm]\vektor{-3 \\ -2 \\ -1}[/mm] - [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] =
> [mm]\vektor{-4 \\ -4 \\ -4}[/mm]
>  
> [mm]|\overrightarrow{MP}|[/mm] = [mm]\wurzel{48}[/mm]
>  
> =>  [mm]sin(\bruch{\alpha}{2})[/mm] = [mm]\bruch{4}{\wurzel{48}}[/mm]

>  
> [mm]\bruch{\alpha}{2}[/mm] = 35,26°     bzw.  [mm]\alpha[/mm] = 70,53°
>  


[ok]

>
>
> b) Die Polarebene kann man berechnen mit   [mm](\vec{x}[/mm] -
> [mm]\vec{m})*(\vec{p}[/mm] - [mm]\vec{m})[/mm] = [mm]r^2[/mm]
>  
>
> ( [mm]\vektor{x \\ y \\ z }[/mm] -  [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] ) * (
> [mm]\vektor{-3 \\ -2 \\ -1 }[/mm] -  [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] )  = 16
>  
> -4x -4y -4z = -8   bzw.
>  
> x + y + z = 2
>  
> richtig?
>  


[ok]


> c) Hier fangen die Probleme an.
>  
> Der Schnittkreismittelpunkt liegt auf der Geraden durch P
> und M.
>
> richtig?

>


Ja.

  

> g:  [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{-3 \\ -2 \\ -1}[/mm] + [mm]\lambda*\vektor{4 \\ 4 \\ 4}[/mm]
>
> Einsetzen der Gerade in die Ebene ergibt M '.
>  
>
> -3 [mm]+4*\lambda[/mm] -2 [mm]+4*\lambda[/mm] -1 [mm]+4*\lambda[/mm] = 2
>  
> [mm]\lambda[/mm] = [mm]\bruch{2}{3}[/mm]           =>  M ' = [mm]\vektor{- 1/3 \\ 2/3 \\ 5/3}[/mm]

>  
> Ist das soweit richtig?
>  


Ja.


>
> Und wie ermittle ich dann den Radius des Schnittkreises?
>  


Der Radius des Schnittkreises ergibt sich doch zu:

[mm]r_{Schnittkreis}=\wurzel{r^{2}-\vmat{MM'}^{2}[/mm]


>
> d) Kann man auch Berührpunkte ausrechnen?
>  


Die Gleichung des Schnittkreises lautet dann:

[mm]\vec{x}=\overrightarrow{OM'}+r_{Schnittkreis}*\cos\left(t\right)*\overrightarrow{n_{1}}+r_{Schnittkreis}*\sin\left(t\right)*\overrightarrow{n_{2}}}}[/mm]

, wobei [mm]\vmat{\overrightarrow{n_{1}}}=\vmat{\overrightarrow{n_{2}}}=1[/mm]

und [mm]\overrightarrow{n_{1}} \perp \overrightarrow{n_{2}}[/mm] sind.


>
> Danke für eure Hilfe!
>  


Gruss
MathePower  

Bezug
                
Bezug
Polarebene Schnittkreis...: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:11 Do 07.11.2013
Autor: hase-hh

Danke!

Schnittkreis:

M '  ( - 1/3  /  2/3  / 5/3 )         und   M ( 1 / 2 / 3 )


[mm] \overrightarrow{MM '} [/mm] = [mm] \vektor{- 1/3 \\ 2/3 \\ 5/3 } [/mm] - [mm] \vektor{ 1 \\ 2 \\ 3} [/mm]

[mm] \overrightarrow{MM '} [/mm] = [mm] \vektor{- 4/3 \\ - 4/3 \\ - 4/3 } [/mm]

| [mm] \overrightarrow{MM '} [/mm]  | = [mm] \wurzel{\bruch{48}{9}} \approx [/mm] 2,31


Schnittkreisradius

[mm] (r')^2 [/mm]  =  [mm] r^2 [/mm] - |  [mm] \overrightarrow{MM '} |^2 [/mm]

[mm] (r')^2 [/mm] = 16 - [mm] \bruch{48}{9} [/mm]

[mm] (r')^2 [/mm] = [mm] \bruch{32}{3} [/mm]

r ' [mm] \approx [/mm] 3, 27


Kreisgleichung

k:   (x + [mm] \bruch{1}{3})^2 [/mm]  + (y - [mm] \bruch{2}{3})^2 [/mm] + (z - [mm] \bruch{5}{3})^2 [/mm] = [mm] \bruch{32}{3} [/mm]




Bezug
                        
Bezug
Polarebene Schnittkreis...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:03 Fr 08.11.2013
Autor: meili

Hallo,

> Danke!
>  
> Schnittkreis:
>  
> M '  ( - 1/3  /  2/3  / 5/3 )         und   M ( 1 / 2 / 3
> )
>  
>
> [mm]\overrightarrow{MM '}[/mm] = [mm]\vektor{- 1/3 \\ 2/3 \\ 5/3 }[/mm] -
> [mm]\vektor{ 1 \\ 2 \\ 3}[/mm]
>  
> [mm]\overrightarrow{MM '}[/mm] = [mm]\vektor{- 4/3 \\ - 4/3 \\ - 4/3 }[/mm]

[ok]

>  
> | [mm]\overrightarrow{MM '}[/mm]  | = [mm]\wurzel{\bruch{48}{9}} \approx[/mm]
> 2,31

[ok]

>  
>
> Schnittkreisradius
>
> [mm](r')^2[/mm]  =  [mm]r^2[/mm] - |  [mm]\overrightarrow{MM '} |^2[/mm]
>  
> [mm](r')^2[/mm] = 16 - [mm]\bruch{48}{9}[/mm]
>  
> [mm](r')^2[/mm] = [mm]\bruch{32}{3}[/mm]
>  
> r ' [mm]\approx[/mm] 3, 27

[ok]

>  
>
> Kreisgleichung
>  
> k:   (x + [mm]\bruch{1}{3})^2[/mm]  + (y - [mm]\bruch{2}{3})^2[/mm] + (z -
> [mm]\bruch{5}{3})^2[/mm] = [mm]\bruch{32}{3}[/mm]

[ok]

>  
>
>  

Gruß
meili

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