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Forum "Integration" - Partielle Integrale
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Partielle Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:39 So 16.03.2014
Autor: elektroalgebra93

Aufgabe
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{5x}{x^3+x^2-2} dx} [/mm]

Hallo,

Ich hänge bei folgender Integrale, und zwar, bin ich so vorgegangen:
Partialbruchzerlegung:
[mm] (x^3+x^2-2)/(x-1)=x^2+2x+2 [/mm]
[mm] \bruch{Ax+B}{x^3+x^2-2} [/mm] + [mm] \bruch{C}{x-1} [/mm]
...
A=-1
B=2
C=1

[mm] \integral_{}^{}{\bruch{-x+2}{x^2+2x+2} dx}+\integral_{}^{}{\bruch{1}{x-1} dx} [/mm]

[mm] \integral_{}^{}{\bruch{-x+2}{(x+1)^2+1} dx}+ln(x-1)+C [/mm]
Substituieren:
t=x+1
dt=1dx  dx=dt
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{-x+2}{t^2+1} dt}+ln(x-1)+C [/mm]

[mm] \integral_{}^{}{\bruch{-x}{t^2+1} dt} +\integral_{}^{}{\bruch{2}{t^2+1} dt}+ln(x-1)+C [/mm]

[mm] \integral_{}^{}{\bruch{-x}{t^2+1} dt} [/mm] +2arctan(t)+ln(x-1)+C

Nur weiss ich jetzt nicht wie ich das x im Zähler raus bekommen soll.. ?

Könnte mir da jemand bitte helfen ?
Danke lG


        
Bezug
Partielle Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:08 So 16.03.2014
Autor: MathePower

Hallo elektroalgebra93,

> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{5x}{x^3+x^2-2} dx}[/mm]
>  Hallo,
>
> Ich hänge bei folgender Integrale, und zwar, bin ich so
> vorgegangen:
>  Partialbruchzerlegung:
>  [mm](x^3+x^2-2)/(x-1)=x^2+2x+2[/mm]
>  [mm]\bruch{Ax+B}{x^3+x^2-2}[/mm] + [mm]\bruch{C}{x-1}[/mm]
>  ...
>  A=-1
>  B=2
>  C=1
>  
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{-x+2}{x^2+2x+2} dx}+\integral_{}^{}{\bruch{1}{x-1} dx}[/mm]
>  
>  
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{-x+2}{(x+1)^2+1} dx}+ln(x-1)+C[/mm]
>  
> Substituieren:
> t=x+1
>  dt=1dx  dx=dt
>  [mm]\integral_{}^{}{\bruch{-x+2}{t^2+1} dt}+ln(x-1)+C[/mm]
>  
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{-x}{t^2+1} dt} +\integral_{}^{}{\bruch{2}{t^2+1} dt}+ln(x-1)+C[/mm]
>  
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{-x}{t^2+1} dt}[/mm]
> +2arctan(t)+ln(x-1)+C
>  
> Nur weiss ich jetzt nicht wie ich das x im Zähler raus
> bekommen soll.. ?
>  


Wenn Du substituierst, dann musst Du auch alles ersetzen.

Du hast substituiert: [mm]t=x+1[/mm]
Dann ist [mm]x=t-1[/mm]


> Könnte mir da jemand bitte helfen ?
> Danke lG

>


Gruss
MathePower  

Bezug
                
Bezug
Partielle Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:17 So 16.03.2014
Autor: elektroalgebra93

Danke, aber ich komm da trotzdem nicht "durch" durch diese Integrale..
Könnten Sie eventuell diese Integrale ausrechnen bitte, damit ich sehe wie man da vorgehen soll.. Und es ist keine Hausaufgabe sondern Lernstoff :)

lG

Bezug
                        
Bezug
Partielle Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:46 So 16.03.2014
Autor: MathePower

Hallo elektroalgebra93,

> Danke, aber ich komm da trotzdem nicht "durch" durch diese
> Integrale..
>  Könnten Sie eventuell diese Integrale ausrechnen bitte,
> damit ich sehe wie man da vorgehen soll.. Und es ist keine
> Hausaufgabe sondern Lernstoff :)
>  


Gerade weil es Lernstoff ist, sollst Du es selbst ausrechnen.

DIeses Integral ist doch auszurechnen:

[mm]\integral_{}^{}{\bruch{-x+2}{x^{2}+2x+2}\ dx}[/mm]


Nach der Substitution t=x+1, dt = dx, sieht das so aus:

[mm]\integral_{}^{}{\bruch{-t+1+2}{t^{2}+1}\ dt}=\integral_{}^{}{\bruch{-t+3}{t^{2}+1}\ dt}[/mm]

Dies wiederum lässt sich aufspalten:

[mm]\integral_{}^{}{\bruch{-t+3}{t^{2}+1}\ dt}=\integral_{}^{}{\bruch{-t}{t^{2}+1}\ dt}+\integral_{}^{}{\bruch{+3}{t^{2}+1}\ dt}[/mm]

Das erste Integral auf der rechten Seite
läßt sich durch die Substitution [mm]u=t^{2}+1[/mm] lösen.

Das zweite Integral auf der rechten Seite
läßt sich durch die Substitution [mm]t=\tan\left(u\right)[/mm] lösen.


> lG


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Partielle Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:02 So 16.03.2014
Autor: elektroalgebra93


> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{-x+2}{x^{2}+2x+2}\ dx}[/mm]

t=x+1
dt=1dx   dx=dt
x=t-1
[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{-t+1+2}{t^2+1}\ dt} [/mm]

[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{-t+3}{t^2+1}\ dt} [/mm]

[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{-t}{t^2+1}\ dt}+\integral_{}^{}{\bruch{3}{t^2+1}\ dt} [/mm]

[mm] =-\integral_{}^{}{\bruch{t}{t^2+1}\ dt}+3\integral_{}^{}{\bruch{1}{t^2+1}\ dt} [/mm]

[mm] u=t^2+1 [/mm]
du=2tdx    dx=du/2t
[mm] =-\integral_{}^{}{\bruch{t}{u}\ du/2t}+3arctan(t)+C [/mm]

[mm] =-\integral_{}^{}{\bruch{1}{2u}\ du}+3arctan(t)+C [/mm]

[mm] =-\bruch{ln(u)}{2}+3arctan(t)+C [/mm]
rück-substituieren
[mm] =-\bruch{ln(t^2+1)}{2}+3arctan(x+1)+C [/mm]
[mm] =-\bruch{ln((x+1)^2+1)}{2}+3arctan(x+1)+C [/mm]

Wenn das jetzt richtig ist dann fühl ich mich schon viel besser!!




Bezug
                                        
Bezug
Partielle Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:46 So 16.03.2014
Autor: MathePower

Hallo elektroalgebra93,

> > [mm]\integral_{}^{}{\bruch{-x+2}{x^{2}+2x+2}\ dx}[/mm]
>  
> t=x+1
>  dt=1dx   dx=dt
>  x=t-1
>  [mm]=\integral_{}^{}{\bruch{-t+1+2}{t^2+1}\ dt}[/mm]
>  
> [mm]=\integral_{}^{}{\bruch{-t+3}{t^2+1}\ dt}[/mm]
>  
> [mm]=\integral_{}^{}{\bruch{-t}{t^2+1}\ dt}+\integral_{}^{}{\bruch{3}{t^2+1}\ dt}[/mm]
>  
> [mm]=-\integral_{}^{}{\bruch{t}{t^2+1}\ dt}+3\integral_{}^{}{\bruch{1}{t^2+1}\ dt}[/mm]
>  
> [mm]u=t^2+1[/mm]
>  du=2tdx    dx=du/2t
>  [mm]=-\integral_{}^{}{\bruch{t}{u}\ du/2t}+3arctan(t)+C[/mm]
>  
> [mm]=-\integral_{}^{}{\bruch{1}{2u}\ du}+3arctan(t)+C[/mm]
>  
> [mm]=-\bruch{ln(u)}{2}+3arctan(t)+C[/mm]
>  rück-substituieren
>  [mm]=-\bruch{ln(t^2+1)}{2}+3arctan(x+1)+C[/mm]
>  [mm]=-\bruch{ln((x+1)^2+1)}{2}+3arctan(x+1)+C[/mm]
>  
> Wenn das jetzt richtig ist dann fühl ich mich schon viel
> besser!!
>  


Das ist alles richtig. [ok]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Partielle Integrale: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:57 So 16.03.2014
Autor: elektroalgebra93

Wow sehr cool, danke für deine Hilfe!!

lG

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