Partielle Ableitung 1. Ordnung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Partielle Ableitung 1. Ordnung
[mm] z(r,\varphi)= 3r*e^r\varphi
[/mm]
ich hätte es so Abgeleitet z(r)= [mm] 3*e^r\varphi [/mm] |
Ich verstehe einfach nicht wieso die Lösung so lautet (habe auch die Lösung zr=3(1+r [mm] \varphi)*e^r\varphi [/mm] ) [mm] z\varphi= 3r^2*e^r\varphi [/mm] usw.)
in meiner Formelsammlung steht, [mm] e^x [/mm] Abgeleitet bleibt [mm] e^x
[/mm]
des weiteren bleibt der andere Faktor (r) also bei [mm] z\varphi=.... [/mm] komplett unbeachtet, so habe ich das gelernt, da es ein konstanter Faktor ist, warum wird dann aus dem 3r ein [mm] 3r^2? [/mm]
bin wirklich am verzweifeln...
wie gesagt die Lösung habe ich, möchte nur eine Erklärung haben, wieso es sich mit meiner Formelsammlung und dem was ich gelernt habe widerspricht...
Das einzige, was ich mir erklären könnte ist, dass [mm] e^r\varphi [/mm] also das [mm] r\varphi [/mm] nicht als x eine beliebige Zahl zählt sonder das es wieder als [mm] x^n [/mm] angesehen wird... was für mich jedoch dann auch keinen Sinn ergibt, da [mm] x^n [/mm] ja als [mm] nx^n-1 [/mm] Abgeleitet wird und ich ja von [mm] r\varphi [/mm] keine -1 abziehen kann...
Ich bitte dringend um Hilfe und Danke schon einmal im vorraus!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:43 So 06.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo AnkaHofmann,
Wir betrachten hier
[mm] $z:\IR^2\to\IR:(r,\phi)\to 3re^r\phi$.
[/mm]
Zu berechnen sind die partiellen Ableitungen
[mm] z_r:=\frac{\partial}{\partial r}z [/mm] und [mm] z_{\phi}:=\frac{\partial}{\partial \phi}z.
[/mm]
Beachte, dass wir hier jeweils nach $r$ und [mm] \phi [/mm] partiell
ableiten! Das heißt in dem ersten Fall, dass du bei der
Berechnung von [mm] $z_r$ [/mm] die Variable [mm] \phi [/mm] als Konstante siehst.
Probier es mal. Du wirst dabei die Produktregel benutzen
müssen. Der zweite Fall ist natürlich einfacher, denn wenn
wir nach [mm] \phi [/mm] ableiten ist [mm] $3re^r$ [/mm] nur eine Konstante. Dem-
nach gilt:
[mm] \frac{\partial}{\partial \phi}z=\frac{\partial}{\partial \phi}(3re^r\phi)=3re^r\frac{\partial}{\partial \phi}\phi=3re^r*1=3re^r.
[/mm]
Mach du nun den ersten Fall.
P.S. Deine Lösung scheint Fehler zu enthalten.
Gruß
DieAcht
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Vielen Dank schon mal für deine Antwort!!
ich hatte einen Fehler beim eintippen gemacht, da ich von ausgegangen bin, wenn man eine Sache hochstellt automatisch alles oben ist...
habe deswegen die Frage noch einmal gepostet, da ich das Feld nicht gefunden hatte, wie man die Frage noch mal bearbeitet (habe es jetzt gefunden)
bin mir zu 100% sicher, dass die Lösung im Buch stimmt!
ist von Lothar Papula.
Sorry für den Tippfehler (habe das Forum noch nicht häuftig genutzt und kenne mich noch nicht mit aus)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:51 So 06.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Benutze geschweifte Klammern für Exponenten. Beispiel:
e^{a+b} wird zu [mm] e^{a+b}.
[/mm]
Ansonsten verstehe ich nun was gemeint ist. Du meinst
[mm] $z:\IR^2\to\IR:(r,\phi)\to 3re^{r\phi}$.
[/mm]
Das Prinzip bleibt das Gleiche. Leite nun partiell ab. Ich
leite mal nach [mm] \phi [/mm] ab. Hier gilt die Faktorregel und wir
brauchen bei der Exponentialfunktion die Kettenregel.
[mm] \frac{\partial}{\partial\phi}z=\frac{\partial}{\partial\phi}(3re^{r\phi})=3r\frac{\partial}{\partial\phi}(e^{r\phi})=3r*e^{r\phi}*\frac{\partial}{\partial\phi}(r\phi)=3r*e^{r\phi}*r=3r^2e^{r\phi}.
[/mm]
Nun macht du mal die partielle Ableitung nach $r$. Dabei
wirst du wohl nicht um die Produktregel herum kommen. 
Gruß
DieAcht
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Ich versuche es Morgen so um 12 Uhr rum noch mal, hab Morgen schon um 8 Uhr Vorlesung und muss jetzt endlich mal schlafen 
Falls ich dann noch eine Frage habe, melde ich mich noch einmal (falls ich immer noch zu doof bin)
Vielen herzlichen Dank, für deine Zeit und Mühe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:15 Mo 07.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo nochmal,
Vielleicht noch ein paar Worte um alle deine Fragen zu klären.
> Partielle Ableitung 1. Ordnung
> [mm]z(r,\varphi)= 3r*e^r\varphi[/mm]
Ich gehe im folgenden von folgender Abbildung aus:
[mm] $z:\IR^2\to\IR:(r,\phi)\to 3re^{r\phi}$.
[/mm]
> ich hätte es so Abgeleitet z(r)= [mm]3*e^r\varphi[/mm]
Nein. Das macht so keinen Sinn. Wie kommst du darauf?
> Ich verstehe einfach nicht wieso die Lösung so lautet
> (habe auch die Lösung zr=3(1+r [mm]\varphi)*e^r\varphi[/mm] )
> [mm]z\varphi= 3r^2*e^r\varphi[/mm] usw.)
Die Lösungen sind richtig.
> in meiner Formelsammlung steht, [mm]e^x[/mm] Abgeleitet bleibt [mm]e^x[/mm]
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> des weiteren bleibt der andere Faktor (r) also bei
> [mm]z\varphi=....[/mm] komplett unbeachtet, so habe ich das
> gelernt, da es ein konstanter Faktor ist, warum wird dann
> aus dem 3r ein [mm]3r^2?[/mm]
Das liegt an der Abbildungsvorschrift. Die vorgegebene
Abbildung $z$ bilden vom [mm] \IR^2 [/mm] nach [mm] \IR [/mm] ab. Mach dir das klar!
> bin wirklich am verzweifeln...
> wie gesagt die Lösung habe ich, möchte nur eine
> Erklärung haben, wieso es sich mit meiner Formelsammlung
> und dem was ich gelernt habe widerspricht...
Das widerspricht sich nicht. Mach dir keine Sorgen. Viel-
leicht mal ein anderes Beispiel.
[mm] $f:\IR^3\to\IR:(x,y,z)\to x^3+y^2+z$.
[/mm]
Wir setzen mal einen Vektor ein. Sei [mm] \vec{z}:=\vektor{x \\ y \\ z}:=\vektor{2 \\ 2 \\ 2}, [/mm] dann gilt:
[mm] f(\vec{z})=2^3+2^2+2=14.
[/mm]
Wie du nun erkennst setzen wir hier einen Vektor ein und
nicht nur genau eine Zahl, daher leiten wir auch partiell
ab und nicht wie in [mm] \IR [/mm] nur nach einer Variable.
Ich hoffe, dass dir das nun klar geworden ist.
Gruß
DieAcht
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Nun macht du mal die partielle Ableitung nach $ r $. Dabei
wirst du wohl nicht um die Produktregel herum kommen. >
ich verstehe auch nicht, warum mir hier die Produkregel helfen kann ich kann ja nichts raus kürzen wenn ich u und v´ habe... Ich bin jetzt total verwirrt...
Ich möchte es wirklich lernen!!!
hast du vielleicht ein Tipp, für ein Buch in dem dass noch mal Idiotensicher erklärt ist? die Formeln habe ich auch vor mir liegen, sie ergeben nur keinen Sinn für mich (evt. würde mir auch ein gutes Video helfen) Mir ist das auch wirklich grad sehr unangenehm, dass ich es trotz deiner Erklärung einfach nicht verstehen und nachvollziehen kann :-(
Hallo nochmal,
>
>
> Vielleicht noch ein paar Worte um alle deine Fragen zu
> klären.
>
> > Partielle Ableitung 1. Ordnung
> > [mm]z(r,\varphi)= 3r*e^r\varphi[/mm]
>
> Ich gehe im folgenden von folgender Abbildung aus:
>
> [mm]z:\IR^2\to\IR:(r,\phi)\to 3re^{r\phi}[/mm].
>
> > ich hätte es so Abgeleitet z(r)= [mm]3*e^r\varphi[/mm]
>
> Nein. Das macht so keinen Sinn. Wie kommst du darauf?
>
> > Ich verstehe einfach nicht wieso die Lösung so lautet
> > (habe auch die Lösung zr=3(1+r [mm]\varphi)*e^r\varphi[/mm] )
> > [mm]z\varphi= 3r^2*e^r\varphi[/mm] usw.)
>
> Die Lösungen sind richtig.
>
> > in meiner Formelsammlung steht, [mm]e^x[/mm] Abgeleitet bleibt [mm]e^x[/mm]
>
> Ja.
>
> > des weiteren bleibt der andere Faktor (r) also bei
> > [mm]z\varphi=....[/mm] komplett unbeachtet, so habe ich das
> > gelernt, da es ein konstanter Faktor ist, warum wird dann
> > aus dem 3r ein [mm]3r^2?[/mm]
>
> Das liegt an der Abbildungsvorschrift. Die vorgegebene
> Abbildung [mm]z[/mm] bilden vom [mm]\IR^2[/mm] nach [mm]\IR[/mm] ab. Mach dir das
> klar!
>
das habe ich nicht verstanden... (habe leider das Problem, dass ich ne Zeit im KH war und mir das irgendwie jetzt mit Papula (Mathebuch) erarbeiten muss... nur so wirklich habe ich es nicht verstanden... :-(
> > bin wirklich am verzweifeln...
> > wie gesagt die Lösung habe ich, möchte nur eine
> > Erklärung haben, wieso es sich mit meiner Formelsammlung
> > und dem was ich gelernt habe widerspricht...
>
> Das widerspricht sich nicht. Mach dir keine Sorgen. Viel-
> leicht mal ein anderes Beispiel.
>
> [mm]f:\IR^3\to\IR:(x,y,z)\to x^3+y^2+z[/mm].
>
> Wir setzen mal einen Vektor ein. Sei [mm]\vec{z}:=\vektor{x \\ y \\ z}:=\vektor{2 \\ 2 \\ 2},[/mm]
> dann gilt:
>
> [mm]f(\vec{z})=2^3+2^2+2=14.[/mm]
>
> Wie du nun erkennst setzen wir hier einen Vektor ein und
> nicht nur genau eine Zahl, daher leiten wir auch partiell
> ab und nicht wie in [mm]\IR[/mm] nur nach einer Variable.
>
> Ich hoffe, dass dir das nun klar geworden ist.
>
>
> Gruß
> DieAcht
>
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würde ich hier die Produktregel anwenden, würde ja rauskommen
z(r) [mm] 3r+e^{r\varphi} [/mm] u=3r [mm] v=e^{r\varphi}u´=3 v´=e^{r\varphi}
[/mm]
z(r)= [mm] 3*e^{r\varphi}+3r*e^{r\varphi}
[/mm]
das ergibt für mich keinen Sinn und ich komme so auch nicht auf das Ergebniss...
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Bitte meine Mitteilung beantworten. Danke
Habe das system hier noch nicht ganz durchgeblickt, sorry... und eine Mitteilung kann man scheinbar nicht in eine Frage umwandeln...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Di 08.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo AnkaHofmann,
Sei
[mm] $z:\IR^2\to\IR:(r,\phi)\to 3re^{r\phi}$. [/mm]
Ich probiere das mal so einfach wie möglich zu formulieren.
Da wir von [mm] \IR^2 [/mm] nach [mm] \IR [/mm] abbilden leiten wir partiell ab. Du
kennst sicher Funktionen, die von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] abbilden. Hier
ist das nicht der Fall. Wir setzen gleichzeitig zwei "Werte"
[mm] $(r,\phi)$ [/mm] in die Funktion ein und erhalten genau eine reelle
Zahl zurück. Zum Beispiel:
Sei
[mm] z_0:=\vektor{r_0 \\ \phi_0}=\vektor{1 \\ 0}=\pmat{ 1 & 0}^T.
[/mm]
Dann gilt:
[mm] z(z_0)=3*1*e^{1*0}=3.
[/mm]
Aus diesem Grund leiten wir partiell ab. Wir leiten einfach
$z$ nach $r$ und einmal nach [mm] $\phi$ [/mm] ab. Wenn wir nach $r$ ableiten, dann
ist [mm] \phi [/mm] eine Konstante. Analog ist $r$ eine Konstante, wenn wir
nach [mm] \phi [/mm] ableiten. Wir leiten nun nach [mm] \phi [/mm] ab. Zur Notation:
[mm] z_{\phi}:=\frac{\partial}{\partial\phi}z.
[/mm]
Du kennst vielleicht folgende Notation:
[mm] f'(x):=\frac{d}{dx}f(x).
[/mm]
Jetzt sollte es klar sein.
Da wir hier zunächst nach [mm] \phi [/mm] ableiten und $r$ eine Konstante
ist, können wir die Faktorregel benutzen. Außerdem werden
wir die Kettenregel für die Ableitung der Exponentialfunk-
tion benötigen. Demnach gilt:
[mm] \frac{\partial}{\partial\phi}z=\frac{\partial}{\partial\phi}(3re^{r\phi})=3r\frac{\partial}{\partial\phi}(e^{r\phi})=3r*e^{r\phi}*\frac{\partial}{\partial\phi}(r\phi)=3r*e^{r\phi}*r=3r^2e^{r\phi}. [/mm]
Jetzt wollen wir nach $r$ ableiten.
Ich komme nun zu deiner zweiten Mitteilung:
> würde ich hier die Produktregel anwenden, würde ja rauskommen
> z(r) $ [mm] 3r+e^{r\varphi} [/mm] $ u=3r $ [mm] v=e^{r\varphi}u´=3 [/mm] v> [mm] ´=e^{r\varphi} [/mm] $
Bitte was? Gib dir bitte mehr Mühe! Es gilt:
[mm] z(r,\phi)=3re^{r\phi}.
[/mm]
Da wir nach $r$ ableiten wollen ist [mm] \phi [/mm] eine Konstante, so-
dass wir (deiner Idee entsprechend) folgendes ableiten:
[mm] z(r)=3re^{r\phi} [/mm] mit [mm] \phi\in\IR.
[/mm]
Jetzt setzen wir von mir aus
$u:=3r$ und [mm] v:=e^{r\phi}.
[/mm]
Dann gilt:
[mm] z'(r)=u'*v+u*v'=\ldots
[/mm]
> z(r)= $ [mm] 3\cdot{}e^{r\varphi}+3r\cdot{}e^{r\varphi} [/mm] $
Du meinst:
[mm] \red{\frac{\partial}{\partial r}z}=z^{\red{'}}(r)=3*e^{r\phi}+3r*\red{\frac{\partial}{\partial r}(e^{r\phi})}.
[/mm]
Es gilt zwar
[mm] \frac{d}{dx}(e^x)=e^x,
[/mm]
aber das steht dort nicht! Dazu habe ich vor ein paar Wochen
etwas hier, hier und hier geschrieben. Schau dir das mal an.
Außerdem habe ich bereits weiter oben diese Eigenschaft bei
der Ableitung nach [mm] \phi [/mm] benutzt!
> das ergibt für mich keinen Sinn und ich komme so auch nicht auf das Ergebniss...
Das packst du schon! Wir sind fast fertig. Fehlt nur noch
die eine kleine Korrektur und das Zusammenfassen.
Übrigens: Ergebnis.
Gruß
DieAcht
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mein Problem war einfach nur, warum ich es nicht verstanden habe, das [mm] e^{r\varphi} [/mm] e nicht wusste, dass man es da auch ableiten muss...
da ich ja gelernt hatte [mm] e^x [/mm] bleibt beim Ableiten [mm] e^x [/mm]
aber daraus wird ja nach r Abgeleitet u'(r) = [mm] \varphi *e^{r\varphi} [/mm] und aus u' [mm] \varphi [/mm] = r* [mm] e^{r\varphi} [/mm]
das war das was ich nicht verstehen konnte.
habe es mir eben noch mal erklären lassen.
Vielen vielen Dank noch einmal für deine Mühe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:51 Di 08.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Ich rate dir dennoch eine andere Notation zu benutzen.
Zur Ableitung der Exponentialfunktion habe ich dir
bereits von mir erstellte Beiträge hinzugefügt.
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:45 Di 08.04.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo AnkaHofmann,
> Habe das system hier noch nicht ganz durchgeblickt,
> sorry... und eine Mitteilung kann man scheinbar nicht in
> eine Frage umwandeln...
In der Tat: du kannst das nicht. Wir Moderatoren können es, normalerweise halten wir auch Ausschau nach Mitteilungen, die als Fragen gedacht waren und machen das dann einfach. Manchmal übersehen wir es halt leider auch. Dann kannst dann gerne entweder per Mitteilung oder per PN an einen anwesenden Moderator (das kann man im Profil sehen) darum bitten, dass deine Mitteilung umgewandelt wird.
Noch einmal möchte ich dich auch darum bitten, fals beim Verfassen einer Frage etwas schiefgeht: du kannst und solltest dies dann durch nachträgliches Bearbeiten ausbessern. Das ist hier wie in anderen Foren auch: aus Gründen der Übersichtlichkeit und der Redundanz-Vermeidung wollen wir keine Mehrfachpostings im Forum.
Gruß, Diophant
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