Ordnung und erzeugende Element < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:12 Mi 04.03.2009 | | Autor: | blubb_ |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Ordnung aller Elemente der zyklischen Gruppe
[mm] \IZ/\IZ*11. [/mm] Welche Elemente sind erzeugende Elemente ? |
Zum ersten Teil:
Hier hab ich mit dem Kleinen Satz von Fermat die Ordnung berechnet und für alle Elemente die Ordnung 10 herausbekommen.
Allerdings kommt mir das zu simpel vor. Hab ich vielleicht einen Fehler gemacht?
[mm] \IZ/\IZ*11 [/mm] = [mm] \{ [0],[1],...,[10]\}
[/mm]
und die Ordnung [x]:= [mm] min\{r\in \IN | x^r= [1]\}
[/mm]
und der Satz besagt ja:
[x]^(p-1) mod p = 1
was hier ja: [x]^10 mod 11 =1 bedeutet ,oder nicht?
Zum zweiten Teil:
hier bin ich shcon mehr verwirrt, da ja eigentlich [mm] \IZ/\IZ*11 [/mm] die Menge der Äquivalenzklassen ist. Und diese ja Erzeugend sind?!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Mi 04.03.2009 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Bestimmen Sie die Ordnung aller Elemente der zyklischen
> Gruppe
> [mm]\IZ/\IZ*11.[/mm] Welche Elemente sind erzeugende Elemente ?
> Zum ersten Teil:
>
> Hier hab ich mit dem Kleinen Satz von Fermat die Ordnung
> berechnet und für alle Elemente die Ordnung 10
> herausbekommen.
So wie du das hingeschrieben hast, sind die Restklassen mod 11 mit der Addition als Verknüpfung gemeint. Das ist eine Gruppe mit 11 Elementen, also gibt es da sicher kein Element der Ordnung 10. Außerdem hat das neutrale Element immer die Ordnung 1.
> Allerdings kommt mir das zu simpel vor. Hab ich vielleicht
> einen Fehler gemacht?
Ja!
> [mm]\IZ/\IZ*11[/mm] = [mm]\{ [0],[1],...,[10]\}[/mm]
> und die Ordnung [x]:=
> [mm]min\{r\in \IN | x^r= [1]\}[/mm]
>
> und der Satz besagt ja:
> [x]^(p-1) mod p = 1
>
> was hier ja: [x]^10 mod 11 =1 bedeutet ,oder nicht?
Der kl. Fermat kommt zum Tragen, wenn es um die Multiplikation geht. Dann mußt du aber die Null(-Klasse) entfernen, sonst bildet das keine Gruppe. Was du dann allerdings nicht geklärt hast, ist, ob 10 auch für jedes Element der minimale Exponent ist. Er ist es nämlich nicht!
> Zum zweiten Teil:
>
> hier bin ich shcon mehr verwirrt, da ja eigentlich
> [mm]\IZ/\IZ*11[/mm] die Menge der Äquivalenzklassen ist. Und diese
> ja Erzeugend sind?!
Bei welcher Verknüpfung bist du jetzt? Bei der Addition ist das einfach, du hast eine Gruppe der Ordnung 11, also von Primzahlordnung. Da solltest du dich auskennen.
Bei der Multiplikation hat wieder das neutrale Elem., also die [1], die Ordnung 1. Für die anderen 9 Elemente schlage ich vor, daß du die jeweilige Ordnung berechnest. Was kommt denn in Frage, wenn die Ordnung der Gr. = 10 ist?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Mi 04.03.2009 | | Autor: | blubb_ |
Wir waren usn auch nicht sicher, ob die Addition oder Multiplikation gemeint ist. Allerdings wurde expliziet das * Zeichen hingeschrieben und nicht nur /IZ11 wie sonst. Daher bin ich von der Multiplikation ausgegangen.
Naja, als Minimalmöglichkeioten würde ich jetz 1,2 und 5 in Betracht ziehen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 Mi 04.03.2009 | | Autor: | statler |
Hi noch mal!
> Wir waren usn auch nicht sicher, ob die Addition oder
> Multiplikation gemeint ist. Allerdings wurde expliziet das
> * Zeichen hingeschrieben und nicht nur /IZ11 wie sonst.
> Daher bin ich von der Multiplikation ausgegangen.
Das würde ich auch tun, weil es sonst zu einfach ist.
> Naja, als Minimalmöglichkeioten würde ich jetz 1,2 und 5 in
> Betracht ziehen.
Und 10 natürlich auch! Fang mal an mit Rechnen, das geht fix.
Gruß
Dieter
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Mi 04.03.2009 | | Autor: | blubb_ |
Also:
Ordnung [1]=1 wiel neutrales Element
ord[2]&[6]&[7]&[8]=10
ord[3]&[4]&[5]&[9]=5
ord[10]=2
Und wie zeig ich das nun formal?
Kann ich argumentieren, dass 1,2,5 die Vielfachen von 10 sind?
Und wie bestimme ich nun, welche dieser Elemente ich für das Erzeugendensystem brauche?
Meiner Ansicht nach sind diese nämlich alle erzeugend, da ich sie brauche um alle [x] in [mm] \IZ /\IZ*11 [/mm] abzubilden
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Mi 04.03.2009 | | Autor: | statler |
Hi!
> Also:
> Ordnung [1]=1 wiel neutrales Element
> ord[2]&[6]&[7]&[8]=10
> ord[3]&[4]&[5]&[9]=5
> ord[10]=2
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und wie zeig ich das nun formal?
Wenn du das selbst ausgerechnet hast, dann hast du das doch gezeigt, du schreibst deine Rechnung einfach hin.
> Kann ich argumentieren, dass 1,2,5 die Vielfachen von 10
> sind?
Erstens kannst du so nicht argumentieren, und zweitens steht da auch Käse, lies das noch mal ganz langsam und genau.
> Und wie bestimme ich nun, welche dieser Elemente ich für
> das Erzeugendensystem brauche?
Ja, wie mache ich das? Welche Elemente erzeugen die ganze Gruppe? Wie hängt das mit den Ordnungen zusammen?
> Meiner Ansicht nach sind diese nämlich alle erzeugend, da
> ich sie brauche um alle [x] in [mm]\IZ /\IZ*11[/mm] abzubilden
Sind sie nicht! Was meinst du hier mit 'abbilden'?
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Mi 04.03.2009 | | Autor: | blubb_ |
Zu den erzeugenden Elementen:
Ich habe jetz ein bisschen rumprobiert und glaube ich weiß nun, welche Elemente die Gruppe erzeugen.
[2],[6],[7],[8]
wenn man sie potenziert, erzeugen sie alle Elemente der Gruppe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:13 Mi 04.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig, alle elemente der Ordnung 10 sind Erzeugende.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Mi 04.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
edit: mein browser hat falsch angezeigt, drum die ueberfluessige Antwort
welche Ordnung haben denn etwa die elemente 1 und -1=10? sind sie Erzeugende?
Der kleine Fermat gibt doch nicht das min an.
wenn 2 die ordnung 10 hat wieso soll dann [mm] 2^2=4 [/mm] dieselbe Ordnung haben?
Gruss leduart
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