matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-NumerikOperatornorm
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Uni-Numerik" - Operatornorm
Operatornorm < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Numerik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Operatornorm: Beispiel für eine spezielle
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:55 Mi 20.10.2004
Autor: Bastiane

Kann mir vielleicht bitte mal jemand ein Beispiel für eine Operatornorm einer ganz simplen Matrix geben? Zum Beispiel zu dieser hier:
[mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 2 & 3 } [/mm] mit der 1-Norm. Ich verstehe nämlich bei dieser Definition mit dem Supremum nicht, wie das Supremum von einem Bruch lauten soll - bisher bin ich soweit gekommen:
[mm] \sup\bruch{Ax}{x}=\sup\bruch{2x_1+4x_2}{x_1+x_2} [/mm]
und was wäre das dann???

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Operatornorm: Lösung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:13 Mi 20.10.2004
Autor: Julius

Hallo Bastiane!

[willkommenmr]

Eigentlich müsstest du ja

[mm] $\Vert A\Vert_{1,1} [/mm] := [mm] \sup\limits_{x \ne 0} \frac{\Vert Ax\Vert_1}{\Vert x \Vert_1} [/mm] = [mm] \sup\limits_{(x_1,x_2) \ne (0,0)} \frac{|x_2| + |2x_1 + 3x_2|}{|x_1| + |x_2|}$ [/mm]

berechnen. Das gestaltet sich nicht gerade einfach, aber man könnte doch darauf kommen, dass das Supremum für [mm] $(x_1,x_2)=(0,1)$ [/mm] angenommen wird und dass daher

[mm] $\Vert [/mm] A [mm] \Vert_{1,1} [/mm] = [mm] \frac{1 + 3}{1} [/mm] = 4$

gilt.

Zum Glück braucht man das aber gar nicht zu berechnen. Man weiß ja, dass die natürliche Matrixnorm der $1$-Norm gerade die Spaltenbetragssummennorm ist, dass also für eine $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix $A$ gerade gilt:

[mm] $\Vert [/mm] A [mm] \Vert_{1,1} [/mm] = [mm] \max\limits_{1 \le j \le n} \sum\limits_{i=1}^n \vert a_{ij} \vert$. [/mm]

In diesem Fall ist also:

[mm] $\Vert [/mm] A [mm] \Vert_{1,1} [/mm] = [mm] \max(0+2,1+3) [/mm] = 4$.

Alles klar? :-)

Lieeb Grüße
Julius

Bezug
                
Bezug
Operatornorm: weitere Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:03 Mi 20.10.2004
Autor: Bastiane

Hallo julius!
Erstmal herzlichen Dank für deine superschnelle Antwort - hatte schon fast ne Woche über diese dumme Aufgabe nachgegrübelt und muss sie morgen abgeben.
Jetzt habe ich aber nochmal ne Frage:
Sind Operatornorm und Matrixnorm dasselbe? Irgendwie hatte ich das mal gedacht, aber dann wurde das in der Vorlesung doch gar nicht so definiert und jetzt bin ich ganz verwirrt...
Dann habe ich noch in einem Buch gefunden, dass zur 1-Norm die zugehörige Matrixnorm die Spaltensummennorm ist (übrigens fehlt da in deiner Erklärung wohl das Summenzeichen), zur Maximumnorm die Zeilensummennorm, aber zur Euklidischen Norm gibt es die Frobenius und die Spektralnorm. Ich habe mal die Frobenius-Norm genommen, ich hoffe, das war richtig...
Viele Grüße und nochmal danke




Bezug
                        
Bezug
Operatornorm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:11 Mi 20.10.2004
Autor: Julius

Liebe Bastiane!

>  Sind Operatornorm und Matrixnorm dasselbe?

Operatornorm ist der bessere Begriff. Eine Matrixnorm ist eine (beliebige) Norm für Matrizen. Operatornormen werden auch als natürliche Matrixnormen bezeichnet.

>  Irgendwie hatte
> ich das mal gedacht, aber dann wurde das in der Vorlesung
> doch gar nicht so definiert und jetzt bin ich ganz
> verwirrt...

>  Dann habe ich noch in einem Buch gefunden, dass zur 1-Norm
> die zugehörige Matrixnorm die Spaltensummennorm ist
> (übrigens fehlt da in deiner Erklärung wohl das
> Summenzeichen),

Danke, war ein Tippfehler, den ich verbessert habe. :-)

> zur Maximumnorm die Zeilensummennorm, aber
> zur Euklidischen Norm gibt es die Frobenius und die
> Spektralnorm.

Aber nur die Spektralnorm ist die (natürliche) Matrixnorm, also die Operatornorm. Die Frobenius-Norm ist nur verträglich mit der $2$-Norm und keine Operatornorm.

> Ich habe mal die Frobenius-Norm genommen, ich
> hoffe, das war richtig...

Wieso hast du sie überhaupt genommen? Ich dachte bei der Aufgabe geht es um die $1$-Norm, hattest du doch geschrieben? [haee]

Liebe Grüße
Julius


Bezug
                                
Bezug
Operatornorm: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:23 Mi 20.10.2004
Autor: Bastiane

Danke nochmal für die Antwort!
Die Frobenius-Norm habe ich genommen, weil die Aufgabe aus drei Matrizen bestand, bei der ersten sollte man die 1-Norm nehmen, bei der zweiten die 2-Norm und bei der dritten die [mm] \infty-Norm. [/mm] Und da ich erstens zu faul war, das alles als Frage hier einzugeben und zweitens dachte, wenn ich das Prinzip verstanden habe, kann ich den Rest auch alleine lösen, habe ich eben nur eine Matrix hier als Frage hingestellt.
Dies nur zur Info... :-)

Bezug
                                        
Bezug
Operatornorm: Korrektur
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:27 Mi 20.10.2004
Autor: Julius

Liebe Bastiane!

Du darfst aber, wie gesagt, bei der $2$-Norm als Operatornorm nicht die Frobenius-Norm nehmen, sondern musst die Spektralnorm nehmen.

Die Frobenius-Norm ist keine Operatornorm bezüglich der $2$-Norm, sondern nur mit der $2$-Norm verträglich.

Liebe Grüße
Julius

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Numerik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]