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Forum "Mathematica" - Modulare Logarithmen
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Modulare Logarithmen: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:32 So 26.11.2006
Autor: Kiki3000

Aufgabe
Sei p prim und [mm] n=[\wurzel{p}]. [/mm] Dann gilt:
x [mm] \equiv log_a [/mm] b mod p [mm] \gdw a^r \equiv ba^{-qn} [/mm] mod p (1)
wobei x= qn + r mit 0 [mm] \le [/mm] q, r<n.

Aufgabe:
Die Äquivalenz (1) rechtfertigt die Vorgehensweise im folgenden Babystep-Giantstep-Verfahren zur Bestimmung  von modularen Logarithmen.
i) Bilden Sie eine Menge M mit den Elementen [mm] a^r [/mm] mod p für r=0,...,n-1.
ii) Vergleichen Sie, ob [mm] ba^{-qn} [/mm] mod p in M enthalten ist (q=0,...,n-1). Gilt [mm] a^r \equiv ba^{-qn} [/mm] mod p für ein Paar (q,r), so geben Sie den (minimalsten) modularen Logarithmus x= qn +r aus.
Hinweis: [mm] ba^{-qn} \equiv b(a^{-n})^q [/mm] mod p lässt sich aus [mm] b(a^{-n})^{q-1} a^{-n} [/mm] mod p, also aus der vorherigen Iteration, bestimmen.

Implementieren Sie diesen Algorithmus.

Hallo!
Also in Computeralgebra sollten wir die Programmieren, habe ich auch gemacht, aber es wird nichts ausgegeben. Also hier mein Programmcode:

Clear[BGV];
BGV[a_, b_, p_] := Module[{M, n},
    n = [mm] Floor[\wurzel{n}]; [/mm]
M = Table[PowerMod[a, r, p], {r, 0, n - 1}];
  For[q = 0 , q <= n - 1, q++,
    For[r = 0, r <= n - 1, r++,
      If[Mod[b*PowerMod[a, -q*n, p], p] == M[ [ r  ] ], Return[q*n + r]]]]]

Dann sollten wir den Algorithmus ausprobieren für
[mm] log_2 [/mm] 5 mod 7, [mm] log_5 [/mm] 8 mod 13 und [mm] log_{16643} [/mm] 3376 mod 104729.

Aber bei keiner passiert was, also muss in meinem Algorithmus irgendwas falsch sein. Ich denke, dass alles eigentlich so weit richtig ist, nur dass eine Kleinigkeit falsch ist. Vielleicht kennt sich jemand mit aus und könnte mir helfen. Das wäre super!

Danke schonmal, Vlg Kiki

        
Bezug
Modulare Logarithmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:24 Di 28.11.2006
Autor: Martin243

Hallo,

ganz am Anfang musst du die Wurzel aus p ziehen, nicht aus n.

Außerdem fangen die Listen in Mathematica bei 1 an, so dass du in deiner If-Abfrage auf MMBr+1 zugreifen musst.

Allerdings funktioniert es für (2,5,7) immer noch nicht...


Gruß
Martin

Bezug
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