Minimalpolynom < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 Sa 27.10.2012 | | Autor: | saendra |
| Aufgabe | | Guten Abend! Meine Aufgabe sieht so aus: finde zu [mm] $\sqrt[3]{2}$ [/mm] das Minimalpolynom [mm] $P\in \IQ [/mm] [x]$ mit [mm] $P(\sqrt[3]{2})=0$ [/mm] |
Das Minimalpolynom [mm] $P(x)=x^3-2$ [/mm] zu finden war kein Problem. Für den Beweis, dass es wirklich das Minimalpolynom ist, hatte ich nicht mal ein Ansatz, im Internet habe ich eine etwas ähnliche Aufgabe gefunden, wobei ich ehrlich gesagt nicht genau weiß was der Ansatz mir bringt...:
[mm] $x^3-2=(x+a)(x+b)(x+c)=\cdots =\cdots x^3+(a+b+c)x^2+(a+b+ab)x+abc$
[/mm]
Dann bestimme ich durch Koeffizientenvergleich a, b und c. Nur was bringt mir das alles?
Läuft der Ansatz darauf hinaus, dass eines oder mehrere der Koeffizienten irrationale Zahlen sein könnten? Wenn ja, verstehe ich trotzdem den Zusammenhang nicht ganz...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 Sa 27.10.2012 | | Autor: | teo |
Hallo!
Du musst zeigen, dass dein Polynom irreduzibel ist! Sagt dir dieser Begriff etwas? Wenn nein, dann hast du leider nicht die Möglichkeit auf entsprechende schöne Sätze zurückzugreifen, die dir das gewünschte recht schnell liefern und du musst so vorgehen, wie du das bereits geschrieben hast: Angenommen P ist nicht das Minimalpolynom, dann existiert eine Darstellung $P = (ax + [mm] b)(cx^2+dx+e)$ [/mm] mit $a,b,c,d,e [mm] \in \IQ$Führe [/mm] dies nun zum Widerspruch!
Das Minimalpolynom von [mm] \alpha [/mm] ist das kleinste normierte irreduzible Polynom welches [mm] \alpha [/mm] als Nullstelle besitzt. Irreduzibel bedeutet, dass sich P nicht als Produkt zweier (irreduzibler) Polynome in [mm] $\IQ[x]$ [/mm] schreiben lässt. Oben zeigst du also, dass gerade das nicht funktioniert!
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Sa 27.10.2012 | | Autor: | saendra |
Danke teo!
Mit irreduzibel hatten wir leider noch gar nichts... Ein kurze Frage zu deiner Antwort: Du hast jetzt $ P = (ax + [mm] b)(cx^2+dx+e) [/mm] $ geschrieben und ich $ P=(x+a)(x+b)(x+c) $
Ist meins dann falsch? Weil du hast 5 Unbekannte, ich nur 3, aber nachher habe ich dann nur 3 Gleichungen... Verstehst du was ich meine?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 Sa 27.10.2012 | | Autor: | teo |
Hey, ja du hast recht. Meins ist zwar nicht falsch , machts aber unnötig kompliziert! Was ist denn die Definition von Minimalpolynom, die du zur Verfügung hast?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:51 Sa 27.10.2012 | | Autor: | saendra |
unsere Definition ist einfach, dass es das normierte Polynom kleinsten Grades ist, welches in diesem Fall $ [mm] \sqrt[3]{2} [/mm] $ als Nullstelle hat.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:57 Sa 27.10.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
ja das ist ja genau das was ich auch benutzt habe. Wäre das Polynom P nicht das Minimalpolynom so müsste es ein Polynom kleineren Grades geben, welches [mm] \wurzel[3]{2} [/mm] als Nullstelle besitzt. Dieses Polynom wäre dann aber Teiler von P, da ja [mm] P(\wurzel[3]{2}=0 [/mm] gilt. Und dann gibts folglich eine Darstellung [mm] $P=(x+a)(x^2+bx+c)$... [/mm] Widerspruch...
Das "kleinsten Grades" kann man durch irreduzibel ersetzen...
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:05 So 28.10.2012 | | Autor: | saendra |
Alles klar, vielen Dank teo!
Dann probier ich das gleich morgen früh... bis dann und gute Nacht!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:30 So 28.10.2012 | | Autor: | saendra |
Ich hatte gehofft, dass ich den Rest allein hinbekomme, aber irgendwie finde ich diese Vorlesung sehr komisch und nicht intuitiv.
Es sind alle 3 Koeffizienten bei $ [mm] P=(x+a)(x^2+bx+c) [/mm] $ irrational. Also ich versuche [mm] $P^3$ [/mm] als Produkt [mm] $P^2P^1$ [/mm] mit $ [mm] P^2,P^1\in \IQ [/mm] [x] $ darzustellen und nehme dazu an, dass auch [mm] $P^2$ [/mm] in [mm] $\wurzel[3]{2}$ [/mm] eine Nullstelle hat. Aber warum ist es dann Teiler von [mm] P^3 [/mm] ?
An der Stelle klemmt es bei mir noch...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:58 So 28.10.2012 | | Autor: | hippias |
Nimm an [mm] $x^{3}-\sqrt[3]{2}$ [/mm] sei reduzibel. Dann muss (?) es Polynome $x-a, [mm] x^{2}+bx+c\in \IQ[x]$ [/mm] geben, sodass [mm] $x^{3}-\sqrt[3]{2}=(x-a) (x^{2}+bx+c)$ [/mm] gilt. Beachte, dass [mm] $a,b,c\in \IQ$ [/mm] sind. Sieh nun ein, dass [mm] $x^{3}-\sqrt[3]{2}$ [/mm] also auf jeden Fall eine rationale Nullstelle haben muss. Daraus kannst Du mit der Irrationalitaet von [mm] $\sqrt[3]{2}$ [/mm] einen Widerspruch ableiten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 So 28.10.2012 | | Autor: | teo |
Hallo, angenommen es existieren $f, g [mm] \in \IQ[x]$ [/mm] mit $P=f*g$dann ist [mm] $P(\wurzel[3]{2}) [/mm] = (f*g)( [mm] \wurzel[3]{2})=f( \wurzel[3]{2})g( \wurzel[3]{2})=0$ [/mm] Also ist [mm] \wurzel[3]{2} [/mm] entweder Nullstelle von f oder von g! Und somit gilt: Ist P ein Polynom mit Nullstelle [mm] \alpha [/mm] und f das Minimalpolynom von [mm] \alpha [/mm] (hier) über [mm] \IQ, [/mm] so wird P von f geteilt! Denke das ist nun klar. Jetzt multiplizierst du das [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] aus und machst einen Koeffizientenvergleich. Dabei stellst du dann fest, dass die Koeffizienten a,b,c eben nicht alle aus [mm] \IQ [/mm] sein können und erhälst einen Widerspruch!
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:40 So 28.10.2012 | | Autor: | saendra |
Alles klar ich habs, danke dir teo, danke euch beiden!
Sehr gutes Forum
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