Linearität für Polynome < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 Di 30.10.2007 | | Autor: | hooover |
| Aufgabe | Es sei [mm] \IR_{\le2}[z] [/mm] der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad [mm] \le2.
[/mm]
Wir definieren die folgende Abbildung von [mm] \IR_{\le2}[z] [/mm] nach [mm] \IR_{\le2}[z]:
[/mm]
[mm] D:\IR_{\le2}[z]\to\IR_{\le2}[z]
[/mm]
[mm] a_{2}z^2+a_{1}z+a_{0} \mapsto 2a_{2}z+a_{1}
[/mm]
i) Ist die Abbildung D linear? Beweise deine Aussage. |
Hallo liebe Leute,
ich tu mich da unglaublich schwer mit diesen Polynomen.
Ich versteh irgendwie nicht recht was das soll.
Also die Linearitätseigenschaften prüfen ist ja nicht so schwer bei Abbildungen aber bei Polynomen ist das doch genau gleich, oder?
Ich habs selbst nicht auf die Reihe bekommen. Hier ersteinmal die Lösung
Die hier beschriebene Abbildung ist ja gerde die Ableitung.
1. Linearitätseigenschaften prüfen:
Für Polynome [mm] p(z)=p_{2}z^2+p_{1}z+p_{0}\varepsilon\IR_{\le2}[z] [/mm] und [mm] q(z)\varepsilon\IR_{\le2}[z] [/mm] gilt
[mm] (D(p+q))(z)=2p_{2}z+p_{1}+2q_{2}z+q_{1}=(D(p)+D(q))(z).
[/mm]
Frage:
Warum kommt hier die linke Seite [mm] (a_{2}z^2+a_{1}z+a_{0}) [/mm] nicht vor und nur die rechte [mm] (2a_{2}z+a_{1})
[/mm]
Das ist doch total trivial!?!
Das stimmt doch immer!?!
Ich weiß was das eigentlich soll.
nagut und jetzt b
2. Für ein Polynom [mm] p(z)=p_{2}z^2+p_{1}z+p_{0}\IR_{\le2}[z] [/mm] und [mm] \lambda\varepsilon\IR [/mm] gilt:
[mm] (D(\lambda(p)))(z)=\lambda(2p_{2}z+p_{1})=(\lambdaD(p))(z).
[/mm]
also das ist doch wieder nur abgeschrieben. natürlich stimmt das, also es erfüllt die Bed. für Linerarität.
aber irgendwie versteh ich das nicht recht.
Ist das alles so trivial, so einfach, dass ich da vll. einfach mehr erwarte oder steckt da doch etwa ein tieferer Sinn hinter, denn ich ggerade noch nicht erblicke?
Ich weiß auch nicht
tausend Dank für eure Antworten
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:52 Di 30.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Diese Abbildung des Vektorraums ist ähnlich "einfach" wie die Projektion aller Vektoren des [mm] \IR^3 [/mm] in eine Ebene durch (0,0,0)
auch da fändest du alles was du zeigen musst trivial.
> Es sei [mm]\IR_{\le2}[z][/mm] der Vektorraum der reellen Polynome
> vom Grad [mm]\le2.[/mm]
> Wir definieren die folgende Abbildung von [mm]\IR_{\le2}[z][/mm]
> nach [mm]\IR_{\le2}[z]:[/mm]
>
> [mm]D:\IR_{\le2}[z]\to\IR_{\le2}[z][/mm]
>
> [mm]a_{2}z^2+a_{1}z+a_{0} \mapsto 2a_{2}z+a_{1}[/mm]
>
> i) Ist die Abbildung D linear? Beweise deine Aussage.
> Hallo liebe Leute,
>
> ich tu mich da unglaublich schwer mit diesen Polynomen.
>
> Ich versteh irgendwie nicht recht was das soll.
>
> Also die Linearitätseigenschaften prüfen ist ja nicht so
> schwer bei Abbildungen aber bei Polynomen ist das doch
> genau gleich, oder?
>
> Ich habs selbst nicht auf die Reihe bekommen. Hier
> ersteinmal die Lösung
>
> Die hier beschriebene Abbildung ist ja gerde die
> Ableitung.
>
> 1. Linearitätseigenschaften prüfen:
>
> Für Polynome
> [mm]p(z)=p_{2}z^2+p_{1}z+p_{0}\varepsilon\IR_{\le2}[z][/mm] und
> [mm]q(z)\varepsilon\IR_{\le2}[z][/mm] gilt
>
> [mm](D(p+q))(z)=2p_{2}z+p_{1}+2q_{2}z+q_{1}=(D(p)+D(q))(z).[/mm]
>
>
> Frage:
>
> Warum kommt hier die linke Seite [mm](a_{2}z^2+a_{1}z+a_{0})[/mm]
> nicht vor und nur die rechte [mm](2a_{2}z+a_{1})[/mm]
Weil der Beweis abgekürzt ist, man müsste etwas ausführlicher schreiben
p+q = [mm] p_{2}z^2+p_{1}z+p_{0}+q_{2}z^2+q_{1}z+q_{0}=(p_{2}+q_2)z^2+(p_{1}+q_1)z+p_{0}+q_0
[/mm]
Dann [mm] D(p+q)=(p_{2}+q_2)z+(p_{1}+q_1)
[/mm]
Dann noch D(p) und D(q) hinschreiben und zeigen, dass es dasselbe ist.
grad weil das so trivial ist wurde das nicht so ausführlich gemacht,
dasselbe gilt für den zweiten Teil.
Ziel der Aufgabe ist, dir bewusst zu machen, welche Eigenschaften man nachweisen muss das ist wenn es ne lin. Abb. ist fast immer nur das Hinschreiben. aber man muss es halt überprüfen.
> Das ist doch total trivial!?!
>
> Das stimmt doch immer!?!
Es stimmt, weil die Abb. eben linear ist.
wenn ich ne andere Abb. definiert hätte mit [mm] T(p)=a1*a2z+a_0
[/mm]
dann wärs schon schief gegangen!
Sei doch froh, dass es auch einfache Beweise gibt. Am Anfang wissen viele Studis nicht, dass man 1) und 2) eben zeigen muss, drum gibts so einfache Aufgaben!
Auf der Schule etwa bezeichnen manche Lehrer die Abb x=> 2x+3 als "lineare" Abb.
ist das eine?
Gruss leduart
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