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Forum "Lineare Abbildungen" - Lineare Abbildung
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Lineare Abbildung: Matrix bestimmen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:21 Sa 19.07.2014
Autor: mtr-studi

Aufgabe
Betrachtet wir die lineare Abbildung [mm] K:\mathbb{R}^2->\mathbb{R}^2 [/mm] mit [mm] K(\vektor{x \\ y})=A\vektor{x \\ y}. [/mm]


Bestimmen Sie eine Matrix A so, dass gilt

[mm] K(\vektor{1 \\ 2})=\vektor{2 \\ 7} [/mm] und [mm] K(\vektor{1 \\ -1})=\vektor{2 \\ -2} [/mm]

Hallo Leute,

ich verstehe diese Aufgabe nicht ganz.

Durch Ausprobieren habe ich rausbekommen, dass man [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 2 & -1 } [/mm] mit der Inversen von [mm] \pmat{ 2 & 2 \\ 7 & -2 } [/mm] rechnen muss um auf A zu kommen, aber wieso?


Wenn ich  [mm] K(\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & -1 })=A\pmat{ 2 & 2 \\ 7 & -2 } [/mm] habe, verstehe ich schon, dass mit der Inversen auf der rechten Seite die Einheitsmatrix entsteht entsprechend nur A stehenbleibt, aber ich habe doch auf der linken Seite noch ein K(..), löst sich das K einfach auf ?


Ich würde gerne verstehen wie man einen richtigen Lösungsweg hier aufschreibt.


Vielen Dank im Voraus!




        
Bezug
Lineare Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:59 Sa 19.07.2014
Autor: Fulla

Hallo mtr-studi!

> Betrachtet wir die lineare Abbildung
> [mm]K:\mathbb{R}^2->\mathbb{R}^2[/mm] mit [mm]K(\vektor{x \\ y})=A\vektor{x \\ y}.[/mm]

>
>

> Bestimmen Sie eine Matrix A so, dass gilt

>

> [mm]K(\vektor{1 \\ 2})=\vektor{2 \\ 7}[/mm] und [mm]K(\vektor{1 \\ -1})=\vektor{2 \\ -2}[/mm]

>

> Hallo Leute,

>

> ich verstehe diese Aufgabe nicht ganz.

>

> Durch Ausprobieren habe ich rausbekommen, dass man [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & -1 }[/mm]
> mit der Inversen von [mm]\pmat{ 2 & 2 \\ 7 & -2 }[/mm] rechnen muss
> um auf A zu kommen, aber wieso?

Was bedeutet in dem Satz "rechnen"?


>

> Wenn ich [mm]K(\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & -1 })=A\pmat{ 2 & 2 \\ 7 & -2 }[/mm]
> habe, verstehe ich schon, dass mit der Inversen auf der
> rechten Seite die Einheitsmatrix entsteht entsprechend nur
> A stehenbleibt, aber ich habe doch auf der linken Seite
> noch ein K(..), löst sich das K einfach auf ?

>
>

> Ich würde gerne verstehen wie man einen richtigen
> Lösungsweg hier aufschreibt.

Geh von einer allgemeinen Matrix [mm]A=\begin{pmatrix} a_1 & a_2\\a_3&a_4\end{pmatrix}[/mm] aus und rechne [mm]A\cdot\vektor{1\\ 2}=\vektor{2\\ 7}[/mm] und [mm]A\cdot\vektor{1\\ -1}=\vektor{2\\ -2}[/mm] aus. Du erhältst 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten, dass du leicht lösen kannst.


Lieben Gruß,
Fulla

Bezug
        
Bezug
Lineare Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:34 So 20.07.2014
Autor: rmix22


> Betrachtet wir die lineare Abbildung
> [mm]K:\mathbb{R}^2->\mathbb{R}^2[/mm] mit [mm]K(\vektor{x \\ y})=A\vektor{x \\ y}.[/mm]
>  
>
> Bestimmen Sie eine Matrix A so, dass gilt
>  
> [mm]K(\vektor{1 \\ 2})=\vektor{2 \\ 7}[/mm] und [mm]K(\vektor{1 \\ -1})=\vektor{2 \\ -2}[/mm]
>  
> Hallo Leute,
>  
> ich verstehe diese Aufgabe nicht ganz.
>  
> Durch Ausprobieren habe ich rausbekommen, dass man [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & -1 }[/mm]
> mit der Inversen von [mm]\pmat{ 2 & 2 \\ 7 & -2 }[/mm] rechnen muss
> um auf A zu kommen, aber wieso?

Nein!  Wenn du das machst, kommst du auf [mm] $A=\frac{1}{6}*\pmat{ 3 & 0 \\ -1 & 2 }$ [/mm] und das ist falsch!

>  
>
> Wenn ich  [mm]K(\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & -1 })=A\pmat{ 2 & 2 \\ 7 & -2 }[/mm]
> habe, verstehe ich schon, dass mit der Inversen auf der
> rechten Seite die Einheitsmatrix entsteht entsprechend nur
> A stehenbleibt, aber ich habe doch auf der linken Seite
> noch ein K(..), löst sich das K einfach auf ?
>  

[mm]K(\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & -1 })=...[/mm] kann nicht funktionieren, da K per definitionem eine Funktion ist, die auf [mm] \IR^2 [/mm] operiert. Argumente von K dürfen Zahlenpaare oder zweidimensionale Vektoren sein, aber keine 2x2 Matrizen.
Aus
     [mm]K(\vektor{1 \\ 2})=\vektor{2 \\ 7}[/mm]
folgt nach der Definition von K
     [mm]A*\vektor{1 \\ 2}=\vektor{2 \\ 7}[/mm]
und analog gilt auch
     [mm]A*\vektor{1 \\ -1}=\vektor{2 \\ -2}[/mm].

Diese beiden Gleichungen kann man auch kompakt schreiben als
     [mm]A*\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & -1 }=\pmat{ 2 & 2 \\ 7 & -2 }[/mm].

Nun kannst du dir leicht überlegen, wie du diese Gleichung explizit nach A auflöst.





Bezug
                
Bezug
Lineare Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:43 So 20.07.2014
Autor: mtr-studi

Vielen Dank für deine  Hilfe!

Ich hatte da einen Denkfehler bei der Definition und wusste nicht, dass man das überhaupt so kompakt schreiben darf.




Bezug
                        
Bezug
Lineare Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:10 So 20.07.2014
Autor: rmix22


> Vielen Dank für deine  Hilfe!
>  
> Ich hatte da einen Denkfehler bei der Definition und wusste
> nicht, dass man das überhaupt so kompakt schreiben darf.
>

Das ergibt sich aus der Definition für die Matrizenmultiplikation.

Alternativ kannst du natürlich auch dem Vorschlag von Fulla näher treten und die vier Gleichungen in den Matrixelementen von A aufstellen. Je zwei bilden ein Gleichungssystem in den Zeilenelementen von A und sind auch leicht lösbar.

Gruß RMix




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