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Laplace in Zylinderkoordinaten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:59 Mi 17.05.2017
Autor: Paivren

Guten Abend,

mal eine kurze Frage zum Laplace-Operator:

In kartesischen Koordinaten erhält man ihn, wenn man den Nabla-Operator skalar mit sich selbst multipliziert.


In Zylinderkoordinaten funktioniert das nicht:
[mm] \nabla=\bruch{\partial}{\partial r}e_{r}+ \bruch{1}{r} \bruch{\partial}{\partial \phi}e_{\phi} [/mm] + [mm] \bruch{\partial}{\partial z}e_{z} [/mm]

Wenn man den Skalar mit sich selbst multipliziert, kommt nicht der Laplace-Operator heraus. Mir ist bekannt, wie man ihn ausrechnet (durch Transformationen der Ableitungen nach x,y und z auf die neuen Koordinaten), aber wieso klappt dieser kleine "Trick" hier nicht?


Gruß

Paivren

        
Bezug
Laplace in Zylinderkoordinaten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:44 Mi 17.05.2017
Autor: Chris84


> Guten Abend,
>  
> mal eine kurze Frage zum Laplace-Operator:
>  
> In kartesischen Koordinaten erhält man ihn, wenn man den
> Nabla-Operator skalar mit sich selbst multipliziert.
>  
>
> In Zylinderkoordinaten funktioniert das nicht:
>  [mm]\nabla=\bruch{\partial}{\partial r}e_{r}+ \bruch{1}{r} \bruch{\partial}{\partial \phi}e_{\phi}[/mm]
> + [mm]\bruch{\partial}{\partial z}e_{z}[/mm]
>  
> Wenn man den Skalar mit sich selbst multipliziert, kommt
> nicht der Laplace-Operator heraus. Mir ist bekannt, wie man
> ihn ausrechnet (durch Transformationen der Ableitungen nach
> x,y und z auf die neuen Koordinaten), aber wieso klappt
> dieser kleine "Trick" hier nicht?
>  
>
> Gruß
>  
> Paivren

Huhu,
ich hoffe, ich habe deine Frage richtig verstanden :)

Naja, ich wuerde den Laplaceoperator nicht als Quadrat definieren (was auch falsch waere). Stattdessen kann man den Laplaceoperator definieren als "Laplace=Div Grad".

In kartesischen Koordinaten ist nun Grad = [mm] $\vec{\nabla}$ [/mm] und Div = [mm] $\vec{\nabla}\cdot$, [/mm] daher ist die Darstellung von Laplace als Quadrat von Nabla moeglich. In anderen Koordinatensystemen gelten diese Darstellungen fuer Grad und Div eben nicht!

Gruss,
Chris

Bezug
                
Bezug
Laplace in Zylinderkoordinaten: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:05 Fr 19.05.2017
Autor: Paivren

Hallo Chris,

vielen Dank für deine Antwort!


Hier gleich eine weitere Frage zu Kugelkoordinaten:

Die Koordinaten eines Punkts im [mm] IR^{3} [/mm] sind ja gerade die Vorfaktoren vor den Basisvektoren. In kartesischen Koordinaten:
a=(x, y, z) = [mm] x*e_{x} [/mm] + [mm] y*e_{y} [/mm] + [mm] z*e_{z}. [/mm]
x,y,z nennt man die Koordinaten.

Transformiere ich das in Kugelkoordinaten, so stellt man fest, dass man schreiben muss: [mm] a=r*e_{r}. [/mm] Die anderen Einheitsvektoren braucht man gar nicht. Dennoch werden [mm] \phi [/mm] und [mm] \theta [/mm] ja zur Beschreibung benötigt, weil [mm] e_{r} [/mm] von ihnen abhängt.

Aber man kann eben nicht schreiben a= [mm] (r,\phi,\theta) [/mm] = [mm] re_{r} [/mm] + [mm] \phi e_{\phi} [/mm] + [mm] \theta e_{\theta}. [/mm]

Offenbar handelt es sich bei Kugelkoordinaten nicht um Koordinaten im Sinne der linearen Algebra, oder wo ist hier der Haken?

Bezug
                        
Bezug
Laplace in Zylinderkoordinaten: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 So 21.05.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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