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| Aufgabe | Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe
[mm]\summe_{k=0}^{\infty} \left ( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} \right ) x^k[/mm] |
Hallo zusammen,
zum Berechnen des Konvergenzradius' [mm]r[/mm] nutze ich in diesem Fall:
[mm]r = \lim_{k\rightarrow \infty } \left | \frac{a_k}{a_{k+1}} \right | = \left | \frac{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1}}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}} \right |[/mm]
Nun tauchen in Zähler und Nenner ja bis einschließlich [mm]\frac{1}{k+1}[/mm] die selben Summanden auf. Was kann ich hier tun, damit sich diese "wegheben"?
Vielen Dank für Eure Hilfe,
Patrick
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:02 Sa 16.02.2013 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe
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> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \left ( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} \right ) x^k[/mm]
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> Hallo zusammen,
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> zum Berechnen des Konvergenzradius' [mm]r[/mm] nutze ich in diesem
> Fall:
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> [mm]r = \lim_{k\rightarrow \infty } \left | \frac{a_k}{a_{k+1}} \right | = \left | \frac{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1}}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}} \right |[/mm]
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> Nun tauchen in Zähler und Nenner ja bis einschließlich
> [mm]\frac{1}{k+1}[/mm] die selben Summanden auf. Was kann ich hier
> tun, damit sich diese "wegheben"?
Gar nicht, denn wir wissen ja alle: "Aus Differenzen und Summen
kürzen nur ... gewisse Leute."
Auf alle Fälle ist der Nenner geringfügig größer als der Zahler, und damit ist der Bruch geringfügig kleiner als 1.
Gruß Abakus
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe,
> Patrick
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Hallo Abakus,
> > [mm]r = \lim_{k\rightarrow \infty } \left | \frac{a_k}{a_{k+1}} \right | = \left | \frac{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1}}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}} \right |[/mm]
>
> >
> > Nun tauchen in Zähler und Nenner ja bis einschließlich
> > [mm]\frac{1}{k+1}[/mm] die selben Summanden auf. Was kann ich hier
> > tun, damit sich diese "wegheben"?
> Gar nicht, denn wir wissen ja alle: "Aus Differenzen und
> Summen
> kürzen nur ... gewisse Leute."
Genau – deswegen hätte ich es auch niemals gewagt, einfach so herumzukürzen. 
> Auf alle Fälle ist der Nenner geringfügig größer als
> der Zahler, und damit ist der Bruch geringfügig kleiner
> als 1.
Aber wie zeige ich das? Wenn da nur [mm]\frac{\frac{1}{k+1}}{\frac{1}{k+2}}[/mm] stünde, dann wär's kein Problem:
[mm]\lim_{k\rightarrow \infty } \frac{\frac{1}{k+1}}{\frac{1}{k+2}} = \lim_{k\rightarrow \infty } \frac{k+2}{k+1} = \lim_{k\rightarrow \infty } \frac{k(1+\frac{2}{k})}{k(1+\frac{1}{k})} = \lim_{k\rightarrow \infty } \frac{1+\frac{2}{k}}{1+\frac{1}{k}} = 1[/mm]
Gruß
Patrick
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 Sa 16.02.2013 | | Autor: | abakus |
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> Hallo Abakus,
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> > > [mm]r = \lim_{k\rightarrow \infty } \left | \frac{a_k}{a_{k+1}} \right | = \left | \frac{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1}}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}} \right |[/mm]
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> >
> > >
> > > Nun tauchen in Zähler und Nenner ja bis einschließlich
> > > [mm]\frac{1}{k+1}[/mm] die selben Summanden auf. Was kann ich hier
> > > tun, damit sich diese "wegheben"?
> > Gar nicht, denn wir wissen ja alle: "Aus Differenzen
> und
> > Summen
> > kürzen nur ... gewisse Leute."
>
> Genau – deswegen hätte ich es auch niemals gewagt,
> einfach so herumzukürzen.
>
> > Auf alle Fälle ist der Nenner geringfügig größer als
> > der Zahler, und damit ist der Bruch geringfügig kleiner
> > als 1.
>
> Aber wie zeige ich das? Wenn da nur
Hallo,
[mm]\left | \frac{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1}}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}} \right |=\left | \frac{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1}+\red{ \frac{1}{k+2}- \frac{1}{k+2}}}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}} \right |=\left | 1-\frac{ \frac{1}{k+2}}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}} \right |[/mm]
und der Doppelbruch hinter "1-" geht gegen Null (Zähler gegen Null, Nenner >1).
Gruß Abakus
> [mm]\frac{\frac{1}{k+1}}{\frac{1}{k+2}}[/mm] stünde, dann wär's
> kein Problem:
>
> [mm]\lim_{k\rightarrow \infty } \frac{\frac{1}{k+1}}{\frac{1}{k+2}} = \lim_{k\rightarrow \infty } \frac{k+2}{k+1} = \lim_{k\rightarrow \infty } \frac{k(1+\frac{2}{k})}{k(1+\frac{1}{k})} = \lim_{k\rightarrow \infty } \frac{1+\frac{2}{k}}{1+\frac{1}{k}} = 1[/mm]
>
> Gruß
> Patrick
>
>
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Hallo nochmals,
> [mm]\left | \frac{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1}}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}} \right |=\left | \frac{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1}+\red{ \frac{1}{k+2}- \frac{1}{k+2}}}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}} \right |=\left | 1-\frac{ \frac{1}{k+2}}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}} \right |[/mm]
>
> und der Doppelbruch hinter "1-" geht gegen Null (Zähler
> gegen Null, Nenner >1).
danke für die Antwort. Leider kann ich den Schritt vom Ausdruck hinter dem ersten Gleicheitszeichen zum Ausdruck hinter dem zweiten Gleichheitszeichen nicht nachvollziehen. Was hast Du da gemacht?
Viele Grüße
Patrick
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Hallo Patrick,
>
> Hallo nochmals,
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> > [mm]\left | \frac{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1}}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}} \right |=\left | \frac{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1}+\red{ \frac{1}{k+2}- \frac{1}{k+2}}}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}} \right |=\left | 1-\frac{ \frac{1}{k+2}}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}} \right |[/mm]
>
> >
> > und der Doppelbruch hinter "1-" geht gegen Null (Zähler
> > gegen Null, Nenner >1).
>
> danke für die Antwort. Leider kann ich den Schritt vom
> Ausdruck hinter dem ersten Gleicheitszeichen zum Ausdruck
> hinter dem zweiten Gleichheitszeichen nicht nachvollziehen.
> Was hast Du da gemacht?
Ist doch extra in rot markiert.
Es wurde eine "nahrhafte" Null addiert, nämlich [mm] $\frac{1}{k+2}-\frac{1}{k+2}=0$
[/mm]
Damit wurde der Ausdruck wertemäßig nicht verändert, aber die folgende Umformung "deutlicher sichtbar"
>
> Viele Grüße
> Patrick
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:48 Sa 16.02.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo Patrick,
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> >
> > Hallo nochmals,
> >
> > > [mm]\left | \frac{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1}}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}} \right |=\left | \frac{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1}+\red{ \frac{1}{k+2}- \frac{1}{k+2}}}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}} \right |=\left | 1-\frac{ \frac{1}{k+2}}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}} \right |[/mm]
>
> >
> > >
> > > und der Doppelbruch hinter "1-" geht gegen Null (Zähler
> > > gegen Null, Nenner >1).
> >
> > danke für die Antwort. Leider kann ich den Schritt vom
> > Ausdruck hinter dem ersten Gleicheitszeichen zum Ausdruck
> > hinter dem zweiten Gleichheitszeichen nicht nachvollziehen.
> > Was hast Du da gemacht?
Hallo,
ich habe
[mm]\frac{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1}+\red{ \frac{1}{k+2}- \frac{1}{k+2}}}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}} [/mm] zerlegt in [mm] \frac{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1}+\red{ \frac{1}{k+2}}}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}} \right - \frac{\red{ \frac{1}{k+2}}}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}} [/mm].
Der vordere Bruch ist (da Zähler und Nenner gleich sind) einfach nur 1.
Gruß Abakus
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Hallo zusammen,
oh! Der Fragesteller meinte ja den nächsten Schritt - habe mich vertan bzw. zu ungenau gelesen - ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 Sa 16.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe
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> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \left ( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} \right ) x^k[/mm]
>
> Hallo zusammen,
>
> zum Berechnen des Konvergenzradius' [mm]r[/mm] nutze ich in diesem
> Fall:
>
> [mm]r = \lim_{k\rightarrow \infty } \left | \frac{a_k}{a_{k+1}} \right | = \left | \frac{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1}}{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}} \right |[/mm]
>
> Nun tauchen in Zähler und Nenner ja bis einschließlich
> [mm]\frac{1}{k+1}[/mm] die selben Summanden auf. Was kann ich hier
> tun, damit sich diese "wegheben"?
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe,
> Patrick
Für x=1 ist die Potenzreihe divergent (siehst Du das ?)
Für |x|<1 ist
$|(1+ [mm] \frac{1}{2} [/mm] + [mm] \frac{1}{3} [/mm] + [mm] \cdots [/mm] + [mm] \frac{1}{k+1} [/mm] ) [mm] x^k| \le (k+1)|x|^k$
[/mm]
Damit ist die Potenzreihe für |x|<1 konvergent.
Was ist also der Konv.-Radius ?
FRED
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