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Komplement unendlicher Mengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:43 Mo 01.12.2008
Autor: xxxx

Eigentlich habe ich nur eine klitzekleine Frage, und zwar geht es darum, ob wenn A unendlich ist, ob dann daraus folgt, dass das Komplement von A endlich ist. Ach ja und das ist alles auf den reellen Zahlen. Wäre echt nett wenn mir da jemand kurz weiterhelefen könnte.

lg xxxx

        
Bezug
Komplement unendlicher Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:00 Mo 01.12.2008
Autor: Marcel

Hallo,

> Eigentlich habe ich nur eine klitzekleine Frage, und zwar
> geht es darum, ob wenn A unendlich ist, ob dann daraus
> folgt, dass das Komplement von A endlich ist.

nein. So ist ja schon [mm] $\IZ$ [/mm] unendlich, ebenso ist [mm] $\IN \subset \IZ$ [/mm] unendlich, und leider auch [mm] $\IZ \setminus \IN$ [/mm] unendlich. Also schon bei abzählbaren Mengen ist das i.a. falsch.

> Ach ja und
> das ist alles auf den reellen Zahlen. Wäre echt nett wenn
> mir da jemand kurz weiterhelefen könnte.

In [mm] $\IR$ [/mm] ist das natürlich i.a. auch nicht so, dass das Komplement einer unendlichen Menge endlich ist:
[mm] $]-\infty,0] \subset \IR$ [/mm] ist eine (überabzählbar) unendliche Menge, das Komplement (bzgl. [mm] $\IR$) [/mm] ist [mm] $]0,\infty[$, [/mm] welches auch eine (überabzählbar) unendliche Menge ist.

Ebenso ist [mm] $\IZ \subset \IR$ [/mm] und [mm] $\IZ$ [/mm] eine unendliche Menge, aber das Komplement von [mm] $\IZ$ [/mm] (bzgl. [mm] $\IR$) [/mm] ist [mm] $\bigcup_{j \in \IZ} [/mm] ]j-1,j[$, welches auch überabzählbar ist (insbesondere unendlich).

Außerdem ist das Komplement von [mm] $\bigcup_{j \in \IZ} [/mm] ]j-1,j[$ bzgl. [mm] $\IR$ [/mm] gerade wieder [mm] $\IZ$. [/mm]

Es kann allerdings auch tatsächlich so sein, dass das Komplement endlich ist:
Bsp.:
[mm] $]-\infty,0[ \cup ]0,\infty[$ [/mm] ist eine unendliche Menge und das Komplement davon bzgl. [mm] $\IR$ [/mm] ist [mm] $\{0\}\,$. [/mm]

Du siehst also:
Du kannst nicht behaupten, dass das Komplement einer unendlichen Menge (bzgl. [mm] $\IR$) [/mm] endlich ist.
Oben siehst Du ja:
Solch ein Komplement kann endlich, abzählbar unendlich oder gar überabzählbar sein. I.A. läßt sich also keine Aussage treffen (vll. hast Du spezielle Zusatzvoraussetzungen?).

Gruß,
Marcel

Bezug
                
Bezug
Komplement unendlicher Mengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:33 Mo 01.12.2008
Autor: xxxx

Aufgabe
es geht dabei um folgende Frage:

Es sei Ω = [mm] \IR [/mm] und P(Ω) die Potenzmenge von Ω. Zeigen oder wiederlegen Sie, dass

a) [mm] A_1 [/mm] = {A [mm] \in [/mm] P(Ω) : A endlich oder Ω \ A endlich}
b) [mm] A_2 [/mm] = {A [mm] \in [/mm] P(Ω) : A abzählbar oder Ω \ A abzählbar}

eine Sigma Algebra ist.

Hier muss man ja einfach nur die Eigenschaften einer Sigma Algebra zeigen und diese sind ja im Allgemeinen:

Sei F eine eine Kollektion von Teilmengen von Omega . Dann heisst A Sigma Algebra, wenn gilt:

1. [mm] \emptyset \in [/mm] F
2. ist [mm] A\in [/mm] D so ist auch [mm] A^c \in [/mm] F
3. Sind [mm] A_1, A_2,.... \in [/mm] F so ist auch [mm] \bigcup_{n}^{} A_n \in [/mm] F

wie man 1 und 2 zeigt ist mir klar, nur bei der 3 hapert es ziemlich, viell kann mir da jemand helfen könnte

xxxx

Bezug
                        
Bezug
Komplement unendlicher Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:05 Mo 01.12.2008
Autor: Gnometech

Hallo!

Naja, bei den endlichen Mengen kann die 3 ja gar nicht stimmen. Nimm als Mengen [mm] $A_n$ [/mm] zum Beispiel [mm] $A_n [/mm] := [mm] \{ n \}$, [/mm] also Mengen, die genau die Zahl $n$ enthalten. Diese sind alle endlich, also in Deinem Mengensystem.

Ihre Vereinigung allerdings ist [mm] $\IN$ [/mm] die Menge der natürlichen Zahlen und diese ist nicht endlich - ihr Komplement in [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \IR$ [/mm] aber auch nicht!

Bei den abzählbaren Mengen sieht das schon besser aus... unterscheide zwei Fälle.

Fall 1: Gegeben sind [mm] $A_1, A_2, \ldots$ [/mm] alle abzählbar. Was kann man dann über die Vereinigung sagen.

Fall 2: Wieder gegeben [mm] $A_1, A_2, \ldots$, [/mm] aber diesmal ist mindestens eine Menge dabei (sagen wir [mm] $A_i$ [/mm] für festes $i$), die nicht abzählbar ist, dafür aber ihr Komplement. Was ist dann mit dem Komplement der Vereinigung?

Viel Erfolg,
Lars

Bezug
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