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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Di 13.12.2016 | | Autor: | bquadrat |
| Aufgabe | Hallo! Dies ist keine Aufgabe, ich habe bloß einige Fragen und hoffe, dass mir eventuell jemand weiterhelfen kann.
Ich möchte mir die Kategorientheorie so gut wie möglich selbstständig lernen und finde bislang leider nicht all zu hilfreiches Material dazu.
Kann mir jemand eine gute Literatur (Englisch ginge auch), eventuell Erklärvideos oder ähnliches empfehlen? (Eventuell kennt jemand auch ein gutes Skript, welches man sich online herunterladen kann)
Gibt es eventuell einige nützliche Vorkenntnisse, über die man verfügen sollte? (Es wird ja auch z.B. mit Klassen und nicht nur mit Mengen gearbeitet) |
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:40 Do 15.12.2016 | | Autor: | fred97 |
Ich kann das empfehlen:
Brandenburg, Martin: Einführung in die Kategorientheorie (Springer Verlag)
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Es handelt sich hierbei jedenfalls schon einmal um ein unterstützenswertes Vorhaben. In der reinen Mathematik kommt man heutzutage kaum weit, ohne sich früher oder später einen gewissen Werkzeugkasten an kategoriellen Methoden zuzulegen.
Das Buch von Brandenburg ist wirklich gut für den Einstieg geeignet. Es besteht zu fast 50% aus Beispielen und Motivation. Die wichtigsten Themen, die immer und überall Anwendung finden (Anwendungen des Yoneda-Lemmas, Limites und Kolimites, adjungierte Funktoren) werden gut und ausführlich dargestellt. Der Exkurs über universelle Algebra ist sehr gut gelungen und füllt eine Lücke in der sonstigen Literatur aus. Etwas schade ist, dass Monaden nicht behandelt werden, welche sehr viele Anwendungen in der universellen Algebra haben (und auch sonst, etwa in der Informatik). Auch abelsche Kategorien findet man leider nicht, die muss man woanders nachlesen. Dafür wiederum sehr gut gelungen ist das Kapitel über monoidale Kategorien. Also: Sehr Einsteigerfreundlich, einige positive Besonderheiten, aber leider fehlen ein paar wichtige Themen.
Der Klassiker ist das Buch von Mac Lane, dem Erfinder der Kategorientheorie. Vielleicht etwas anspruchsvoller, aber trotzdem sehr schön zu lesen. Alle wichtigen Themen werden sehr gut behandelt. Mehr gibt es kaum zu sagen, hiermit macht man nichts falsch.
Die vielleicht umfangreichste Einführung ist der Dreiteiler von Borceux. Hier findet man alles wichtige und viel mehr ordentlich aufgeschrieben, auch auch viele Themen, die in anderen Büchern ausgelassen werden.
Sicher auch interessant sind die klassischen Bücher von Mtichell und Freyd, welche sehr auf homologische Algebra ausgerichtet sind und einen speziellen Fokus legen.
Ein sehr anspruchsvolles Buch, aber theoretisch trotzdem als Einführung geschrieben ist Categories and Sheaves von Kashiwara/Shapira. Es führt auf die abstrakten modernen Inkarnationen der Differentialgeometrie hin, insbesondere die mikrolokale Analysis, das Forschungsgebiet der Autoren. Man kann das Buch als Vorkurs zu ihrem Buch Sheaves on Manifolds verstehen. Von Shapira findet man auch einige einsteigerfreundliche Skripte online.
Zu den Voraussetzungen: Es ist empfehlenswert, wenn man sich in verschiedenen Teilgebieten der Mathematik etwas auskennt, damit man Beispiele verstehen kann. Insbesondere aus der Algebra und der Topologie kommen extrem viele Anwendungen. Aber auch wenn du eher aus anderen Richtungen kommst, wirst du sicherlich Beispiele wiederfinden. Formale Voraussetzungen, also Techniken aus anderen Gebieten, die hier angewendet werden, gibt es praktisch keine. Von axiomatischer Mengenlehre und Klassen musst du absolut nichts wissen.
Die Youtube-Videos von den Catsters sind empfehlenswert, aber ersetzen sicherlich kein Buch oder eine Vorlesung.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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