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| Aufgabe | | Ich suche eine Lösung für folgende Aufgabe |
Sei m [mm] \oplus [/mm] n := |m+n| die kardinale Summe und sei m [mm] \odot [/mm] n :=|m*n| das kardinale Produkt.
Ich suche hierfür einen Beweis:
Ist m eine [mm] \infty [/mm] Kardinalzahl mit 0 < n [mm] \le [/mm] m, so gilt:
m [mm] \oplus [/mm] n = m [mm] \odot [/mm] n = m , insbesondere m [mm] \oplus [/mm] m = m [mm] \odot [/mm] m = m, d.h. jede [mm] \infty [/mm] Menge X ist sowohl zu X+X, als auch zu X [mm] \times [/mm] X gleichmächtig.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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Hallo mister_xyz,
Es genügt, zu zeigen, dass [mm] $m\odot [/mm] m=m$, der Rest besteht aus trivialen Folgerungen (Anwendungen von Schröder-Bernstein). Es wäre hilfreich, wenn du uns verraten könntest, welche Sätze du schon kennst und zur Verfügung hast, und welche Gedanken du dir gemacht hast, wo du nicht weiterkommst, oder wo dir eine Idee fehlt.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 Sa 11.01.2014 | | Autor: | mister_xyz |
Also den Satz von CANTOR-SCHRÖDER-BERNSTEIN, den kenne ich und auch den Beweis dafür (Fixpunktsatz von TARSKI)......und ich weiß, was Kardinal- und Ordinalzahlen sind.
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Hast du dir denn schon irgendetwas überlegt? Ich kann dir jedenfalls verraten, dass du irgendeine Art von Auswahlaxiom benötigst, Wohlordnungssatz von Zermelo oder Lemma von Zorn. Das Resultat ist übrigens ein bekannter Satz, welcher auf Zermelo zurück geht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:38 Do 16.01.2014 | | Autor: | mister_xyz |
wenn du eh die Lösung kennst, warum sagst du sie mir nicht? Ich grüble und grüble und komme nicht dahinter
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Hi mister_xyz,
weil das nicht der Weg ist, wie dieses Forum funktioniert. Das Forum bietet Hilfe für Leute, die Mathematik lernen möchten, auf irgendeinem Niveau. Mathematik lernt man aber nur, indem man sie macht, weswegen dem Hilfesuchenden genau nicht damit geholfen ist, wenn er einfach eine Lösung gesagt bekommt. Wenn du schon grübelst und grübelst, ist das natürlich gut, und wenn du auf den Beweis nicht kommst, ist das auch ok - der ist nämlich auch nicht direkt trivial, als Übungsaufgabe finde ich ihn eigentlich schon gewagt, aber du würdest immer noch eine Menge lernen, wenn du mir verraten würdest, was deine Ansätze sind, und wir sie gemeinsam zum Ziel führen würden.
Um dir einen Beweis aufzuschreiben, bin ich ehrlich gesagt zu faul, weil der wie gesagt recht nichttrivial ist. Ich kann dir einige Quellen nennen, wo du verschiedene Beweise findest, und hoffe, dass dir damit geholfen ist 
![[]](/images/popup.gif) Eric Schechter - Handbook of Analysis and its foundations auf Seite 76, hier wird eigentlich gezeigt, dass obige Gleichung für jede unendliche Menge gilt, die sich wohlordnen lässt - mit Zermelos Wohlordnungssatz folgt dann die Behauptung.
Es findet sich auch ein schöner Beweis im Anhang zu Serge Lang - Algebra, hier wird die Behauptung durch Anwendung des Lemmas von Zorn gezeigt.
Außerdem findet man die Aussage in jedem Buch zur Mengenlehre, ich kann z.B. Thomas Jech - Set theory empfehlen.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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