Inverses einer Dreiecksmatrix < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:56 Mi 10.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Bastiane,
> Wie berechne ich denn das Inverse einer n x n
> -Dreiecksmatrix? Ich hab's für 3 x 3 mal gerechnet, aber
> für n x n komme ich nicht viel weiter, was steht denn da in
> der letzten Spalte? Irgendwie muss da doch was subtrahiert
> werden, schon von Anfang an (außer auf der Diagonalen, da
> steht überall das Inverse der Ursprungsmatrix), aber
> wieviel? Bekommt man das einfach so durch "Ausprobieren"
> raus?
> Ach, so, es soll eine rechte obere Dreiecksmatrix
> sein...
Eine Möglichkeit ist, das  Gauss-Jordan-Verfahren zur Matrixinvertierung anzuwenden.
Für die Matrix auf der linken Seite dieses Verfahren mußt du ja in diesem Fall nur noch wenige Umformungen vornehmen, um dort die Einheitsmatrix zu erreichen.
Eine weitere Möglichkeit ist die Invertierung mittels Determinanten, das bietet sich hier vielleicht sogar eher an, da die Determinaten recht einfach zu berechnen sind (wegen der vielen Nullen und der Dreiecksgestalt der Matrix).
> Oder kann man vielleicht anders beweisen, dass das Inverse
> einer Dreiecksmatrix wieder ebensolch eine Dreiecksmatrix
> ist?
Ach so, das ist deine Aufgabe 
Ich denke, das geht mit beiden Verfahren einfach zu zeigen.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:30 Mi 10.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Marc!
> Eine Möglichkeit ist, das
> Gauss-Jordan-Verfahren zur
> Matrixinvertierung anzuwenden.
Danke, das hatte ich glaube ich schon mal gehört, aber da wäre ich jetzt nie draufgekommen.
> Eine weitere Möglichkeit ist die Invertierung mittels
> Determinanten, das bietet sich hier vielleicht sogar eher
> an, da die Determinaten recht einfach zu berechnen sind
> (wegen der vielen Nullen und der Dreiecksgestalt der
> Matrix).
Was genau meinst du damit? Ich habe mir überlegt:
[mm] 1=det(I)=det(A*A^{-1})=det(A^{-1})*det(A)
[/mm]
[mm] det(A)=\produkt_{i=1}^{n} [/mm] a_ii
folgt dann daraus direkt, dass [mm] det(A^{-1}) [/mm] = obere Dreiecksmatrix? Sieht man das nur, oder kann man das beweisen?
> > Oder kann man vielleicht anders beweisen, dass das
> Inverse
> > einer Dreiecksmatrix wieder ebensolch eine Dreiecksmatrix
>
> > ist?
>
> Ach so, das ist deine Aufgabe
JA, ich muss ja schließlich auch noch was alleine machen. 
> Ich denke, das geht mit beiden Verfahren einfach zu
> zeigen.
Okay, ich werd's versuchen.
Viele Grüße
Christiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:46 Mi 10.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Bastiane!
> > Eine weitere Möglichkeit ist die Invertierung mittels
> > Determinanten, das bietet sich hier vielleicht sogar eher
>
> > an, da die Determinaten recht einfach zu berechnen sind
>
> > (wegen der vielen Nullen und der Dreiecksgestalt der
> > Matrix).
> Was genau meinst du damit? Ich habe mir überlegt:
> [mm]1=det(I)=det(A*A^{-1})=det(A^{-1})*det(A)
[/mm]
Okay, aber das kann man hier glaube ich nicht verwenden, oder?
> [mm]det(A)=\produkt_{i=1}^{n}[/mm] a_ii
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , das sieht man ja leicht per Induktion und dem Laplaceschen Entwicklungssatz.
> folgt dann daraus direkt, dass [mm]det(A^{-1})[/mm] = obere
> Dreiecksmatrix? Sieht man das nur, oder kann man das
> beweisen?
Bei der Matrix-Invertierung mittels Determinanten bildet man ja [mm] $n^2$ [/mm] viele Unterdeterminanten, die von Matrizen gebildet werden, denen eine Spalte und Zeile gestrichen wurde.
Soweit ich es jetzt überblicke, ist eine Unterdeterminate, die zu einem Eintrag oberhalb der Hauptdiagonale einer oberen Dreiecksmatrix gebildet wurde immer null, da die zugehörige "Untermatrix" (die mit der gestrichenen Zeile/Spalte) ebenfalls eine obere Dreiecksmatrix ist, aber mit einer Null auf der Hauptdiagonalen.
Alle anderen Unterdeterminanten können von Null verschieden sein.
Viele Grüße,
Marc
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![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]"){kind=small}
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]"){kind=small}
