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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:44 Do 14.11.2013 | | Autor: | anneemariee |
Hallo,
ich habe Schwierigkeiten beim Integrieren und würde mich freuen, wenn ich hier Hilfe bekomme. Meine Funktion die ich integrieren muss lautet
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{{x^{(m/2)-1}}}{(mx+n)^{(m+n)/2}} dx}
[/mm]
m,n [mm] \in \IN [/mm] (m,n sind Freiheitsgrade)
Meine Vorgehensweise wäre die Substitution. Hierbei habe ich das (mx+n) aus dem Nenner substituiert. Aber das bringt mich nicht weiter.
Ich wäre um jede Idee und Hilfe dankbar.
Ich habe diese Frage in keine Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 20:16 Do 14.11.2013 | | Autor: | anneemariee |
Ich habe jetzt wieder die ganze Zeit (mx+n) substituiert. Ich bin jedoch wieder mal nicht weitergekommen.
Meine Schritte sehen so aus.
z(x)=mx+n, z'(x)=m
[mm] dx=\bruch{dz}{m}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{x^{(m/2)-1}}{z^{(m+n)/2}}\bruch{dz}{m} }
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{m} \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{z^{(m+n)/2}}*x^{(m/2)-1}* dz}
[/mm]
... und ab hier komme ich ins Grübeln bzw. werde sehr unsicher und weiß nicht weiter! Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
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Ich hab jetzt AUCH den Ausdruck
[mm] x^{\bruch{m-4}{2}}
[/mm]
vor mein Integral gezogen. Darf ist das? Immerhin integriere ich jetzt nach z in meiner Substitution und von daher ist das x ja jetzt eine Konstante.
Aus dem Grund hab ich jetzt stehen.
[mm] \bruch{1}{m}*x^{\bruch{m-4}{2}}*\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{z^{\bruch{m+n}{2}}} dz}
[/mm]
Könntet ihr mir bitte weiterhelfen?
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Hallo anneemariee,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> Ich hab jetzt AUCH den Ausdruck [mm]x^{\bruch{m-4}{2}}[/mm]
> vor mein Integral gezogen. Darf ist das?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Nein, das ist nicht zulässig.
> Immerhin integriere ich jetzt nach z in meiner Substitution und von
> daher ist das x ja jetzt eine Konstante.
Aber Du hast ja Dein $z \ = \ z(x)$ in Abhängigkeit von der Variable $x_$ definiert.
Somit ist $x_$ keine Konstante.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 10:28 Fr 15.11.2013 | | Autor: | anneemariee |
Ok. Das verstehe ich. Jedoch ist mein Integral so "hässlich", dass ich einfach nicht weiß, wie ich da integrieren kann.
Gibt es da i-welche Tricks?
[mm] \bruch{1}{m}*\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x^{\bruch{m-4}{2}}}{z^{\bruch{m+n}{2}}} dz}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:37 Fr 15.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und
> Ok. Das verstehe ich. Jedoch ist mein Integral so
> "hässlich", dass ich einfach nicht weiß, wie ich da
> integrieren kann.
> Gibt es da i-welche Tricks?
>
> [mm]\bruch{1}{m}*\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x^{\bruch{m-4}{2}}}{z^{\bruch{m+n}{2}}} dz}[/mm]
Nen bisschen Umformen geht noch:
[mm] \bruch{x^{\bruch{m-4}{2}}}{z^{\bruch{m+n}{2}}}
[/mm]
[mm] =\left(\bruch{x^{m-4}}{z^{m+n}}\right)^{\frac{1}{2}}
[/mm]
[mm] =\sqrt{\bruch{x^{m}\cdot x^{-4}}{z^{m}\cdot z^{n}}}
[/mm]
[mm] =\sqrt{\left(\frac{x}{z}\right)^{m}\cdot\frac{1}{x^{4}z^{n}}}
[/mm]
[mm] =\sqrt{\left(\frac{x}{z}\right)^{m}}\cdot\sqrt{\frac{1}{x^{4}z^{n}}}
[/mm]
Evtl hilft nun die partielle Integration, das habe ich jetzt aber nicht zuende gedacht.
Marius
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 11:13 Fr 15.11.2013 | | Autor: | anneemariee |
Die Umformungen sind auf jedenfall sehr hilfreich :) Danke :)
Jetzt stoße ich leider auf Schwierigkeiten in der partiellen Integration.
Und zwar muss ich ja die einzelnen Faktoren "auf"- bzw. ableiten.
Beide Faktoren beinhalten ein "z" und ein "x". Wie muss ich hier vorgehen.
Ich muss ja ganz sicher nach "z" aufleiten, aber wie muss ich das "x" behandeln. Weil mein "x" ist keine Konstante.
Muss ich hier mit Mehrfachintegral bzw. partielle Differentiation vorgehen?
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> Meine Funktion die ich
> integrieren muss lautet
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{{x^{(m/2)-1}}}{(mx+n)^{(m+n)/2}} dx}[/mm]
>
> m,n [mm]\in \IN[/mm] (m,n sind Freiheitsgrade)
Hallo,
warum mußt Du diese Funktion integrieren?
Wo kommt sie her?
LG Angela
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Gute Frage - mir scheint das auch eine sehr merkwürdige Funktion zu sein. Meine CAS glühen beim Berechnen und ich sehe auch kein gemeinsames Konzept, weil im Nenner-Exponenten das n steht und oben nicht. Vielleicht geht das nur für bestimmte n und m?
Deswegen gute Frage, vielleicht kann man etwas besser Hinweise geben, wenn klar ist, wo das herkommt.
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An weightgainer :)
Der Erwartungswert von der F-Verteilung hängt nur von dem "n" ab. Ich schätze mal das "m" sollte i-wie rausfallen.
Die "n" jedoch für den Erwartungswert der F-Verteilung sind definiert. Während des ganzen "Integrationsprozesses" sollte auffallen, dass eben "n" nur für [mm] n\ge3 [/mm] gilt, weil es für n=1,2 divergiert.
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Ich muss das integrieren, um den Erwartungswert der F-Verteilung zu beweisen.
Der Erwartungswert der F-Verteilung lautet: [mm] \bruch{n}{n-2}
[/mm]
Das Gröbste und meiste habe ich schon..
Nun fehlt es mir nur noch an diesem Integral, der mir ziemliche Schwierigkeiten bereitet.
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> Ich muss das integrieren, um den Erwartungswert der
> F-Verteilung zu beweisen.
Hallo,
aha. Das Integral hat sich also im Verlaufe der Berechnung eines anderen Integrals ergeben.
Ich kenne mich mit dem Stochastikzeugs zu schlecht aus, um mir das eigentlich zu lösende Integral zusammenzureimen.
Vielleicht teilst Du das mal mit.
Es könnte ja sein, daß Du bei dem Versuch der Berechnung einen ungeschickten Weg eingeschlagen hast.
LG Angela
>
> Der Erwartungswert der F-Verteilung lautet: [mm]\bruch{n}{n-2}[/mm]
>
> Das Gröbste und meiste habe ich schon..
> Nun fehlt es mir nur noch an diesem Integral, der mir
> ziemliche Schwierigkeiten bereitet.
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Beweis des Erwartungswert der F-Verteilung:
Die F-Verteilung ist definiert als [mm] F=\bruch{\bruch{U}{m}}{\bruch{V}{n}},
[/mm]
wobei U und V stochastisch unabhängige Zufallsvariablen sind mit m, n Freiheitsgraden.
Vorgehensweise:
[mm] E(x)=E(\bruch{\bruch{U}{m}}{\bruch{V}{n}})=\bruch{n}{m}*E(U)*E(1/V)=
[/mm]
[mm] \bruch{n}{m}*m*E(\bruch{1}{V})
[/mm]
Annahme ist hier, dass auch [mm] \bruch{1}{V} [/mm] stochastisch unabhängig ist von U
Nun muss für [mm] \bruch{1}{V} [/mm] die Dichte der F-Verteilung angewendet werden.
Dann hat man stehen.
[mm] \integral_{0}^{\infty}m^{m/2}*n^{n/2}*K_m,_n*\bruch{1}{x}*\bruch{x^{\bruch{m}{n}-1}}{(mx+n)^{\bruch{m+n}{2}}}dx
[/mm]
[mm] (K_m,_n [/mm] ist die Gammafunktion in der Dichte der F-Verteilung; sie lautet [mm] \bruch{Gamma(m+n)/2}{Gamma(m/2) *Gamma(n/2)})
[/mm]
-> [mm] \integral_{0}^{\infty}m^{m/2}*n^{n/2}*K_m,_n
[/mm]
Da die ersten drei Faktoren Konstante sind, kann man die vor das Integral ziehen... Also hat man dann stehen
[mm] m^{m/2}*n^{n/2}*K_m,_n\integral_{0}^{\infty}\bruch{1}{x}*\bruch{x^{\bruch{m}{n}-1}}{(mx+n)^{\bruch{m+n}{2}}}dx
[/mm]
Nun habe ich [mm] \bruch{1}{x} [/mm] multipliziert mit [mm] \bruch{x^{\bruch{m}{n}-1}}{(mx+n)^{\bruch{m+n}{2}}}
[/mm]
Also habe ich nun stehen
[mm] m^{m/2}*n^{n/2}*K_m,_n\integral_{0}^{\infty}\bruch{x^{\bruch{m}{2}-2}}{(mx+n)^{\bruch{m+n}{2}}}
[/mm]
Das ist alles was ich bis jetzt habe... Ich hoffe das hilft euch weiter.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:32 Sa 16.11.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo anneemariee,
danke für die Erklärung. Mir geht es wie Angela, Stochastik ist nicht wirklich meins. Das Integral bleibt ätzend schwierig. Schon beim Anblick der Gammafunktion wird mir immer ein bisschen ungemütlich.
Ich hinterlasse mal im Stochastikforum einen Hinweis auf diesen Thread hier, vielleicht läuft da ja jemand herum, der/die sich auch schon mit diesem oder ähnlichen Integralen herumgeschlagen hat.
Liebe Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:57 Sa 16.11.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin,
schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier, Seite 248.
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Vielen lieben Dank luis52 :) Der Link hat mir weitergeholfen!
Das ist genau der Beweis bzw. der Teil vom Beweis, der mir Schwierigkeiten bereitet hat.
Und auch vielen lieben Dank dir reverend. Ohne das Teilen meines Threads im Stochastikforum hätte ich die Antwort jetzt wohl immer noch nicht :)
liebe grüße anneemariee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Sa 16.11.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Annemarie,
nett, dass Du Dich bedankst. Und schön, dass das Vorgehen geklappt hat. Teamwork ist ja Sinn so eines Forums. Um ehrlich zu sein, habe ich auf Luis gehofft, einfach weil das sein Gebiet ist (Stochastik). Hat ja geklappt. 
Viel Erfolg weiterhin!
reverend
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