Gleichungen lösen < Mechanik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 So 12.03.2017 | | Autor: | Marie886 |
| Aufgabe | Um ein Auto anzuhalten, benötigen Sie zunächst eine bestimmte Reaktionszeit, bevor Sie überhaupt anfangen zu bremsen; danach wird der Wagen unter dem Einfluss einer konstanten Bremsverzögerung langsamer.
Nehmen Sie an, dass sich Ihr Auto während dieser beiden Phasen bei einer Anfangsgeschwindigkeit von 80,5km/h insgesamt 56,7m weit bewegt, während Sie bei einer ursprünglichen Geschwindigkeit von 48,3km/h insgesamt 24,4m brauchen, bis Ihr Fahrzeug zu stehen kommt. Wie groß sind Ihre Reaktionszeit und der Betrag der Verzögerungsrate? |
Hallo,
theoretisch verstehe ich das Beispiel. Die Geichungen für die Anfangsgeschwindigkeiten sind:
[mm] x_1= v_1*t_r-\bruch{1}{2}\bruch{v^2_1}{a}
[/mm]
und
[mm] x_2= v_2*t_r-\bruch{1}{2}\bruch{v^2_2}{a}
[/mm]
nun soll ich diese Gleichungen gleichzeitig nach [mm] t_r [/mm] und a auflösen.
Wie fange ich da am besten an?
Indem ich die erste Gleichung nach [mm] t_r [/mm] auflöse und das dann in [mm] x_2 [/mm] einsetze. Mein Problem ist nun das "a" in der ersten Gleichung. Drücke ich es durch einen anderen Term aus [mm] (a=\bruch{v-v_0}{t})?
[/mm]
Dann habe ich ja wieder das t drinnen oder hebe ich es im Zug des [mm] t_r [/mm] heraus?
Ich glaub ich habe wirklich schon alles probiert- komme aber nicht auf die gewünschten Lösungen:
[mm] t_r= \bruch{v^2_2*x_1-v^2_1*x_2}{v_1v_2*(v_2-v_1)}
[/mm]
a= [mm] -\bruch{1}{2}*\bruch{v_2v^2_1-v_1v^2_2}{v_2x_1-v_1x_2}
[/mm]
LG,
Marie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:01 So 12.03.2017 | | Autor: | chrisno |
> ....
> theoretisch verstehe ich das Beispiel. Die Geichungen für
> die Anfangsgeschwindigkeiten sind:
>
> [mm]x_1= v_1*t_r-\bruch{1}{2}\bruch{v^2_1}{a}[/mm]
> und
> [mm]x_2= v_2*t_r-\bruch{1}{2}\bruch{v^2_2}{a}[/mm]
>
> nun soll ich diese Gleichungen gleichzeitig nach [mm]t_r[/mm] und a
> auflösen.
>
> Wie fange ich da am besten an?
>
> Indem ich die erste Gleichung nach [mm]t_r[/mm] auflöse und das
> dann in [mm]x_2[/mm] einsetze.
Das mache ich nun für Dich.
[mm]x_1= v_1*t_r-\bruch{1}{2}\bruch{v^2_1}{a}[/mm]
[mm]\br{x_1}{v_1}= t_r-\bruch{1}{2}\bruch{v_1}{a}[/mm]
[mm]\br{x_1}{v_1}+\bruch{1}{2}\bruch{v_1}{a}= t_r[/mm]
[mm]x_2= v_2*t_r-\bruch{1}{2}\bruch{v^2_2}{a}[/mm]
[mm]x_2= v_2*\left( \br{x_1}{v_1}+\bruch{1}{2}\bruch{v_1}{a} \right)-\bruch{1}{2}\bruch{v^2_2}{a}[/mm]
nachdem [mm] $t_r$ [/mm] ersetzt wurde, ist es aus der Gleichung verschwunden. Nun ist nur noch a in der Gleichung.
Löse die Klammer auf, fasse die beiden Brüche mit a zusammen, löse dann nach a auf.
> Mein Problem ist nun das "a" in der
> ersten Gleichung. Drücke ich es durch einen anderen Term
> aus [mm](a=\bruch{v-v_0}{t})?[/mm]
Nein, denn wenn Du [mm] $t_r$ [/mm] einsetzt, ist a die Variable, die Du bestimmen willst.
>
> ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Mo 13.03.2017 | | Autor: | Marie886 |
Danke, das war echt nett! 
Traurig aber wahr, hänge ich schon wieder beim Umformen.
Ich schreib mal was ich habe:
[mm] x_2= v_2*t_r-\bruch{1}{2}\bruch{v^2_2}{a}
[/mm]
[mm] t_r [/mm] eingesetzt ergibt:
[mm] x_2= v_2* \left(\bruch{x_1}{v_1}+\bruch{1}{2}\bruch{v^2_1}{a}\right)-\bruch{1}{2}\bruch{v^2_2}{a}
[/mm]
Klammer aufgelöst:
[mm] x_2= [/mm] [mm] \bruch{v_2*x_1}{v_1}+\bruch{1}{2}\bruch{v_2* v^2_1}{a} -\bruch{1}{2}\bruch{v^2_2}{a}
[/mm]
[mm] v_1 [/mm] auf die andere Seite:
[mm] x_2*v_1= v_2*x_1 +\bruch{1}{2a}*(v_2v^2_1-v^2_2)
[/mm]
nun würde ich den Term mit 2a auf die linke Seite bringen:
[mm] x_2*v_1-\bruch{1}{2a}*(v_2v^2_1-v^2_2)=v_2*x_1
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{2a}*(v_2v^2_1-v^2_2)=v_2*x_1-x_2*v_1
[/mm]
Jetzt *a:
[mm] -\bruch{1}{2}*(v_2v^2_1-v^2_2)=(v_2*x_1-x_2*v_1)*a
[/mm]
den Term bei a auf die andere Seite und ich habe fast das Ergebnis:
[mm] -\bruch{1}{2} \bruch{(v_2v^2_1-v^2_2)}{(v_2*x_1-x_2*v_1)} [/mm] =a
Im Zähler fehlt mir leider das [mm] v_1. [/mm] Wie komme ich denn da hin? Wo liegt mein Fehler?
LG,
Marie
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Hallo,
> Ich schreib mal was ich habe:
>
> [mm]x_2= v_2*t_r-\bruch{1}{2}\bruch{v^2_2}{a}[/mm]
>
> [mm]t_r[/mm] eingesetzt ergibt:
>
> [mm]x_2= v_2* \left(\bruch{x_1}{v_1}+\bruch{1}{2}\bruch{v^2_1}{a}\right)-\bruch{1}{2}\bruch{v^2_2}{a}[/mm]
>
Hier ist schon der erste Fehler: in der Klammer muss der zweite Summand [mm] \frac{v_1}{2a} [/mm] heißen, da ja bei der Auflösung der ersten Gleichung nach [mm] t_r [/mm] durch [mm] v_1 [/mm] dividiert wurde!
> Klammer aufgelöst:
>
> [mm]x_2=[/mm] [mm]\bruch{v_2*x_1}{v_1}+\bruch{1}{2}\bruch{v_2* v^2_1}{a} -\bruch{1}{2}\bruch{v^2_2}{a}[/mm]
>
> [mm]v_1[/mm] auf die andere Seite:
>
> [mm]x_2*v_1= v_2*x_1 +\bruch{1}{2a}*(v_2v^2_1-v^2_2)[/mm]
>
Das ist nun ganz abenteuerlich, ab hier müssen wir nicht mehr weitersuchen. Wenn du hier - warum auch immer - [mm] v_1 [/mm] auf die andere Seite bringen möchtest, dann multiplizierst du ja mit [mm] v_1. [/mm] Dann muss aus dem Quadrat im zweiten Summanden ja [mm] v_1^3 [/mm] werden.
Korrigiere mal die Sache mit [mm] v_1, [/mm] löse dann die Klammer auf und bringe erst einmal den kompletten Summanden ohne a nach links. Dann die beiden verbleibenden Summanden zusammenfassen und etwa den Kehrwehrt bilden. Denn: du willst doch nach a auflösen?
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:34 Di 14.03.2017 | | Autor: | Marie886 |
So, habe es nun geschafft
[mm] x_1=v_1*t_r-\bruch{1}{2}\bruch{v^2_1}{a}
[/mm]
[mm] x_2=v_2*t_r-\bruch{1}{2}\bruch{v^2_2}{a}
[/mm]
Ich vergaß dass bei Division/Multiplikation alle Terme der Gleichung mit der Variable zu multiplizieren/dividieren sind!
[mm] x_1=v_1*t_r-\bruch{1}{2}\bruch{v^2_1}{a} [/mm] | [mm] :v_1
[/mm]
[mm] \bruch{x_1}{v_1}= t_r-\bruch{1}{2}\bruch{v_1}{a} [/mm] | [mm] +\bruch{1}{2}\bruch{v_1}{a}
[/mm]
[mm] t_r= \bruch{x_1}{v_1}+\bruch{1}{2}\bruch{v_1}{a}
[/mm]
jetzt [mm] t_r [/mm] in [mm] x_2 [/mm] einsetzen:
[mm] x_2=v_2*t_r-\bruch{1}{2}\bruch{v^2_2}{a}
[/mm]
[mm] x_2=v_2*\left( \bruch{x_1}{v_1}+\bruch{1}{2}\bruch{v_1}{a}\right)-\bruch{1}{2}\bruch{v^2_2}{a}
[/mm]
[mm] x_2=\bruch{v_2x_1}{v_1}+\bruch{1}{2}\bruch{v_2v_1}{a}-\bruch{1}{2}\bruch{v^2_2}{a} |*v_1
[/mm]
[mm] v_1x_2= v_2x_1+\bruch{1}{2}\bruch{v_2v^2_1}{a}-\bruch{v^2_2v_1}{a} |-v_2x_1
[/mm]
[mm] v_1x_2-v_2x_1=\bruch{1}{2a}*(v_2v^2_1-v^2_2v_1) [/mm] |*2 | : (...)
[mm] \bruch{2*(v_1x_2-v_2x_1)}{(v_2v^2_1-v^2_2v_1)}= \bruch{1}{a} [/mm] |*a
a* [mm] \left(\bruch{2*(v_1x_2-v_2x_1)}{v_2v^2_1-v^2_2v_1}\right)=1 [/mm] |: (...) außen*außen und innen*innen
[mm] a=\bruch{1}{2}*\bruch{v_2v^2_1-v^2_2v_1}{v_1x_2-v_2x_1}
[/mm]
mit den Werten eingesetzt, ergibt es für [mm] a=-6,33\bruch{m}{s^2}
[/mm]
Danke!
LG,
Marie
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