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Ganzrationale Funktionen: Angeben der Fkt. Gleichung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:47 Sa 12.11.2005
Autor: Stromberg

Einen wunderschönen Nachmittag wünsche ich.

Ich habe diese Frage in keinem weiteren Internetforum gestellt.

Die Aufgabe an welcher ich momentan hänge lautet wie folgt:
Der Graph einer zur Y-Achse symmetrischen ganzrationalen Funktion 4. Grades geht durch die Punkte: P1(0/-4) und P2(2/0).
Desweiteren ist a4 gegeben mit 1.

Geben Sie die Funktionsgleichung der Parabel an.

So...nun weiß ich ja folgendes:

Die Parabel ist Achssymetrisch und hat die Punkte P1 und P2 durch welche sie verläuft.
Normalerweise hätte ich doch somit zwei weitere Punkte gegeben, da ich die gegebenen Punkte doch einfach spiegeln kann...oder nicht???
Und wie ich weiß kommen bei einer Achssymetrischen Funktion nur gerade Exponenten vor.
Also wäre Mal mein (allgemeiner) Rechenansatz:

[mm] y=a4x^4+a3x^3+a2x^2+a1x+a0 [/mm]
Da ja nun aber nur die geraden Exponenten dargestellt werden, sieht sie dann so aus:
[mm] y=a4x^4+a2x^2+a0 [/mm]

Nun weiß ich leider nicht genau wie ich mit den gegebenen Punkten weiter arbeiten muß...
Vielleicht kann mir ja jemand auf die Sprünge helfen.

Wäre sehr dankbar.

Viele Grüße,
Stephan
        
Bezug
Ganzrationale Funktionen: Lösungsweg
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:20 Sa 12.11.2005
Autor: miniscout

Hallo und auch dir einen schönen (hoffentlich auch bei dir [sunny]-igen) Samstagnachmittag!

Ich geh deine Aufgabe mal Schritt für Schritt durch:

1. die Funktion ist 4. grades:

[mm] $f(x)=a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ [/mm]

2. f(x) ist achsensymmetrisch zur y-Achse, d.h.:

f(-x)=f(x)

alle x haben gerade Exponenten:

[mm] $f(x)=a_{4}x^{4}+a_{2}x^{2}+a_{0}$ [/mm]

3. [mm] a_{4}=1 [/mm]

4. die Punkte [mm] P_{1}(0/4) [/mm] und [mm] P_{2}(2/0) [/mm]

f(0)=-4

[mm] $-4=0^{4}+a_{2}0^{2}+a_{0}$ [/mm]
[mm] $a_{0}=-4$ [/mm]

-> [mm] $f(x)=x^{4}+a_{2}x^{2}-4$ [/mm]

f(2)=0

[mm] $0=2^{4}+a_{2}2^{2}-4$ [/mm]
[mm] $0=16+4a_{2}-4$ [/mm]
[mm] $a_{2}=-3$ [/mm]

-> [mm] $f(x)=x^{4}-3x^{2}-4$ [/mm]

voila!

[sunny]-ige Grüße
miniscout [clown]


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