Extremwertverhalten des ln < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 So 16.03.2014 | | Autor: | Sergaji |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi!
ich habe eine Ungleichung, die ich beweisen muss, und kann diese bis zu
[mm] $n*\alpha^{(\ln n)} \geq \ln [/mm] n$ vereinfachen, wobei $0 < [mm] \alpha [/mm] < 1$ ist. Jetzt die Frage: Gibt es ein [mm] $n_0$, [/mm] so dass obige Ungleichung für alle $n [mm] \geq n_0$ [/mm] gilt? Ich hänge da echt auf dem Schlauch und komm schon den ganzen Tag nicht weiter :-/
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:58 So 16.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> ich habe eine Ungleichung, die ich beweisen muss, und kann
> diese bis zu
>
> [mm]n*\alpha^{(\ln n)} \geq \ln n[/mm] vereinfachen, wobei [mm]0 < \alpha < 1[/mm]
> ist. Jetzt die Frage: Gibt es ein [mm]n_0[/mm], so dass obige
> Ungleichung für alle [mm]n \geq n_0[/mm] gilt? Ich hänge da echt
> auf dem Schlauch und komm schon den ganzen Tag nicht weiter
> :-/
Mit der Substitution $ [mm] \ln [/mm] n = x $ wird deine Ungleichung zu [mm] e^x*\alpha^x\ge [/mm] x was gleichwertig ist mit [mm] (e*\alpha )^x\ge [/mm] x.
Nur für [mm] e*\alpha [/mm] > 1 wird das irgendwann richtig, die entsprechende Stelle lässt sich aber lediglich mit numerischen Verfahren "bestimmen".
Gruß Sax.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:28 So 16.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Du betrachtest folgende Ungleichung:
[mm] f(n):=n*\alpha^{(\ln n)}\ge\ln{n}=:g(n) [/mm] mit [mm] a\in\{0,1\}.
[/mm]
Wenn ich dich richtig verstanden habe, dann fragst du dich
ob es ein [mm] N\in\IR_{>0} [/mm] gibt, sodass die Ungleichung für alle [mm] $n\ge [/mm] N$
gilt. Ich denke, dass das Problem das [mm] \alpha [/mm] ist, denn setzen
wir mal [mm] \alpha:=\frac{1}{4}, [/mm] dann haben wir ein Problem, denn $f$ ist streng
monoton fallend, aber $g$ streng monoton wachsend. Das kannst
du dir auch mal plotten lassen, dann sollte es klar sein.
Vielleicht hast du vorher schon einen Fehler gemacht? Wie
lautet denn die komplette Aufgabenstellung?
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 Mo 17.03.2014 | | Autor: | Sergaji |
Hi DieAcht,
ursprünglich war die Aufgabenstellung
Sei und . Zeige, dass es ein gibt, so dass die Ungleichung
für alle erfüllt ist.
Ich habe gedacht, dass man dieses Problem zu demjenigen aus meinem Eingangspost vereinfachen kann, aber scheinbar habe ich mich da geirrt. Hast du eine Idee dafür?
LG Sergaji
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:35 Mo 17.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> ursprünglich war die Aufgabenstellung
>
> Sei und .
> Zeige, dass es ein gibt, so dass die Ungleichung
>
>
>
> für alle erfüllt ist.
>
> Ich habe gedacht, dass man dieses Problem zu demjenigen aus
> meinem Eingangspost vereinfachen kann, aber scheinbar habe
> ich mich da geirrt. Hast du eine Idee dafür?
Wie bist du denn auf deine Vereinfachung gekommen? Hast du
folgendes gesetzt?
[mm] \alpha:=\epsilon*r.
[/mm]
Mit [mm] $r\ge [/mm] 2>0$ gilt:
[mm] 0<\epsilon<\frac{1}{r}
[/mm]
[mm] \Rightarrow 0<\epsilon*r<1
[/mm]
[mm] \Rightarrow \alpha\in(0,1).
[/mm]
Ansonsten komme ich nicht auf dein [mm] \alpha.
[/mm]
Ich würde substituieren:
[mm] x:=\frac{\epsilon*\ln(n)}{2^{r-1}(r-1)!}.
[/mm]
Für $n>0$ gilt:
$x>0$.
Dann folgt außerdem:
[mm] $\epsilon*n\left(\frac{\epsilon}{3}\right)^{r*x}\ge [/mm] x$
[mm] \Rightarrow \alpha*n\left(\frac{\epsilon}{3}\right)^{r*x}\ge\frac{\alpha\ln(n)}{2^{r-1}(r-1)!}
[/mm]
[mm] \Rightarrow n\left(\frac{\epsilon}{3}\right)^{r*x}\ge\frac{\ln(n)}{2^{r-1}(r-1)!}
[/mm]
Was hast du nun gemacht? Rechne mal vor. Wir finden sicher
den Fehler. 
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:40 Mo 17.03.2014 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo dieAcht,
> Hallo,
>
>
> > ursprünglich war die Aufgabenstellung
> >
> > Sei und .
> > Zeige, dass es ein gibt, so dass die Ungleichung
> >
> >
>
> >
> > für alle erfüllt ist.
> >
> > Ich habe gedacht, dass man dieses Problem zu demjenigen aus
> > meinem Eingangspost vereinfachen kann, aber scheinbar habe
> > ich mich da geirrt. Hast du eine Idee dafür?
>
> Wie bist du denn auf deine Vereinfachung gekommen? Hast du
> folgendes gesetzt?
>
> [mm]\alpha:=\epsilon*r.[/mm]
>
> Mit [mm]r\ge 2>0[/mm] gilt:
>
> [mm]0<\epsilon<\frac{1}{r}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 0<\epsilon*r<1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \alpha\in\{0,1\}.[/mm]
Das ist aber eine komische Schreibweise für das Intervall - so gewollt?
>
> Ansonsten komme ich nicht auf dein [mm]\alpha.[/mm]
>
> Ich würde substituieren:
>
> [mm]x:=\frac{\epsilon*\ln(n)}{2^{r-1}(r-1)!}.[/mm]
Ein erweitern mit r bringt im Zähler ein oben definiertes [mm] \alpha [/mm] und im Nenner ein schönes r!.
Reine Kosmetik die der Übersichtlichkeit aber dienlich sein könnte.
>
> Für [mm]n>0[/mm] gilt:
>
> [mm]x>0[/mm].
>
> Dann hast du bestimmt Logarithmusgesetze verwendet? Ich
> kom-
> me dennoch nicht auf dein Ergebnis. Rechne mal vor. Den
> Fehler
> finden wir sicher schnell.
>
>
> Gruß
> DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:44 Mo 17.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hi Richie 
Das war natürlich Quatsch. Es muss heißen:
[mm] \alpha\in(0,1).
[/mm]
So hatte es der Fragesteller definiert. Das mit dem Erweitern
mache ich mal noch rein schnell.
Danke Dir!
Liebe Grüße
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:55 Mo 17.03.2014 | | Autor: | Sergaji |
> Wie bist du denn auf deine Vereinfachung gekommen? Hast du
> folgendes gesetzt?
>
> [mm]\alpha:=\epsilon*r.[/mm]
Ich hatte das [mm] $\alpha$ [/mm] gar nicht explizit substituiert, mir ging es da nur darum, ob das Ganze größenordnungsmäßig hinhaut.
> Ich würde substituieren:
>
> [mm]x:=\frac{\epsilon*\ln(n)}{2^{r-1}(r-1)!}.[/mm]
>
> Für [mm]n>0[/mm] gilt:
>
> [mm]x>0[/mm].
>
> Dann folgt außerdem:
>
> [mm]\epsilon*n\left(\frac{\epsilon}{3}\right)^{r*x}\ge x[/mm]
Hm, genau das soll ich ja zeigen, dass die Ungleichung für festes $r, [mm] \epsilon$ [/mm] immer gilt, sobald $n$ groß genug ist.
> [mm]\Rightarrow \alpha*n\left(\frac{\epsilon}{3}\right)^{r*x}\ge\frac{\alpha\ln(n)}{2^{r-1}(r-1)!}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow n\left(\frac{\epsilon}{3}\right)^{r*x}\ge\frac{\ln(n)}{2^{r-1}(r-1)!}[/mm]
>
>
An der Stelle hab ich dann ja
[mm] $\frac{n(\frac{\epsilon}{3})^\ln n}{\ln n}\geq (\frac{3}{\epsilon})^{\frac{r \epsilon}{2^{r-1}(r-1)!}} \frac{1}{2^{r-1}(r-1)!}$
[/mm]
Da die rechte Seite dann fest ist, bleibt die Frage ob auf der linken Seite für kleine [mm] $\epsilon$ $n(\frac{\epsilon}{3})^{\ln n}$ [/mm] schneller mit $n$ steigt oder [mm] $\ln [/mm] n$ (da [mm] $\frac{\epsilon}{3}<1$ [/mm] ist).
> Wir finden sicher den Fehler.
>
Das wär cool :)
Vielen Dank!
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