matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenExtremwertproblemeExtremwertaufgabe Dreieck
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Extremwertprobleme" - Extremwertaufgabe Dreieck
Extremwertaufgabe Dreieck < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Extremwertprobleme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Extremwertaufgabe Dreieck: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:17 Di 23.04.2013
Autor: MrItalian

Aufgabe 1
Die Punkte A1(0|a), A1(0|-a) und B(b|0) bilden die Ecken eines gleichschenkligen Dreiecks.

Aufgabe 2
Bestimmen Sie x1 so, dass die Summe der Quadrate der Entfernungen des Punktes P1(x1|0) zu den drei Eckpunkten minimal wird. Welcher (bes.) Punkt ist dann P1?

Aufgabe 3
Bestimmen Sie x2 so, dass die Summe der Entfernungen des Punktes P2(x2|0) zu den drei Eckpunkten minimal wird. Bestimmen sie auch den Winkel (A1, P2, A2).

Aufgabe 4
Für welches Dreieck sind die Punkte P1 und P2 identisch?

Zur zweiten Aufgabe habe ich folgendes gerechnet:
A(x) = [mm] sqrt((x-0)^2 [/mm] + [mm] (0-a)^2)^2 [/mm] + [mm] sqrt((x-0)^2 [/mm] + [mm] (0-a)^2)^2 [/mm] + [mm] sqrt((x-b)^2 [/mm] + [mm] (0-0)^2)^2 [/mm]
A(x) = [mm] 3x^2+2a^2-2xb+b^2 [/mm]
A'(x) = 6x-2b
A''(x) = 6
Nullstelle von A'(x):
0 = 6x - 2b | + 2b
2b = 6x | : 6
x = b/3

Jetzt ist die Frage: Woher weiß ich denn jetzt welcher besonderer Punkt das jetzt sein soll?

Zur dritten Aufgabe:
A(x) = [mm] 2*sqrt(x^2+a^2)+ [/mm] b - x
A'(x) = [mm] 2x/sqrt(x^2+a^2) [/mm] + 1
Nullstelle von A'(x):
0 = [mm] 2x/sqrt(x^2+a^2) [/mm] + 1 | * [mm] sqrt(x^2+a^2) [/mm]
0 = 2x + [mm] sqrt(x^2+a^2) [/mm] | -2x
-2x = [mm] sqrt(x^2+a^2) [/mm] | quartieren
[mm] 4x^2 [/mm] = [mm] x^2+a^2 [/mm] | - [mm] x^2 [/mm]
[mm] 3x^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] | :3
[mm] x^2 [/mm] = [mm] a^2/3 [/mm] | Wurzel ziehen
[mm] x_1 [/mm] = a/sqrt(3)
[mm] x_2 [/mm] = -a/sqrt(3)

in A''(x) einsetzen:
A''(x) = [mm] (2*sqrt(x^2+a^2) [/mm] - [mm] x/sqrt(x^2+a^2))/(x^2+a^2) [/mm]
Ohne das jetzt komplett durchzurechnen schätze ich jetzt ein, dass bei -a/sqrt(3) ein Minimum vorliegt. Ich hoffe, dass das so ok ist und nicht erwartet wird, dass ich das komplett durchrechne.
Den Winkel habe ich folgendermaßen berechnet:
Strecke 0 zu A1: [mm] sqrt((0-0)^2 [/mm] + [mm] (0-a)^2) [/mm] = a
Strecke 0 zu P2: [mm] sqrt((0-a/sqrt(3))^2 [/mm] + [mm] (0-0)^2) [/mm] = a/sqrt(3)

tan [mm] \alpha [/mm] = a/(a/sqrt(3)) = sqrt(3) | arctan
[mm] \alpha [/mm] = arctan(sqrt(3) = 60 Grad
Ist das soweit richtig?

Und bei der letzten Aufgabe, habe ich überhaupt keine Vorstellung wie man diese berechnet.

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Extremwertaufgabe Dreieck: zu Aufgabe 2
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:38 Di 23.04.2013
Autor: Loddar

Hallo MrItalian!


> Zur zweiten Aufgabe habe ich folgendes gerechnet:
> A(x) = [mm]sqrt((x-0)^2[/mm] + [mm](0-a)^2)^2[/mm] + [mm]sqrt((x-0)%5E2[/mm] + [mm](0-a)^2)^2[/mm] + [mm]sqrt((x-b)%5E2[/mm] + [mm](0-0)^2)^2[/mm]

In der zweiten Wurzel muss es [mm] $(0-(-a))^2 [/mm] \ = \ (0 \ [mm] \red{+} [/mm] \ [mm] a)^2$ [/mm] lauten, was aber nichts am Ergebnis ändert.


> A(x) = [mm]3x^2+2a^2-2xb+b^2[/mm]
> A'(x) = 6x-2b
> A''(x) = 6
> Nullstelle von A'(x):
> 0 = 6x - 2b | + 2b
> 2b = 6x | : 6
> x = b/3

[ok]


> Jetzt ist die Frage: Woher weiß ich denn jetzt welcher
> besonderer Punkt das jetzt sein soll?

Das sollte man evtl. wissen, dass bei einem Dreieck der Schwerpunkt des Dreiecke mit dem Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden identisch ist.
Und der Schwerpunkt teilt diese Seitenhalbierenden jeweils im Verhältnis $1:2_$ bzw. [mm] $\bruch{1}{2}:\bruch{2}{3}$ [/mm] .


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Extremwertaufgabe Dreieck: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:00 Di 23.04.2013
Autor: MrItalian


> > Jetzt ist die Frage: Woher weiß ich denn jetzt welcher
>  > besonderer Punkt das jetzt sein soll?

>  
> Das sollte man evtl. wissen, dass bei einem Dreieck der
> Schwerpunkt des Dreiecke mit dem Schnittpunkt der drei
> Seitenhalbierenden identisch ist.
>  Und der Schwerpunkt teilt diese Seitenhalbierenden jeweils
> im Verhältnis [mm]1:2_[/mm] bzw. [mm]\bruch{1}{2}:\bruch{2}{3}[/mm] .

Vielen Dank für deine Hilfe soweit.
Hast du ein Link zu diesen Thema? Ich kenne mich damit leider nicht aus.

>  
>
> Gruß
>  Loddar


Bezug
        
Bezug
Extremwertaufgabe Dreieck: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:01 Di 23.04.2013
Autor: Sax

Hi,

zu 3.:

Bei der Ableitung muss es am Ende  A'(x) = ... - 1  heißen.
Dieser Fehler wirkt sich aber durch das spätere Quadrieren (nicht : "Quartieren", das bedeutet doch "Vierteln") nicht auf das Ergebnis aus :  [mm] x_2 [/mm] = [mm] \bruch{a}{\wurzel{3}} [/mm]  ist richtig.

Bei deiner Winkelberechnung ist [mm] \alpha [/mm] nur der halbe gesuchte Winkel.


zu 4. :

Wenn [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] ist, so muss doch offenbar [mm] \bruch{b}{3} [/mm] = [mm] \bruch{a}{\wurzel{3}} [/mm]  sein.
Versuche mal nachzuweisen, dass das genau die Bedingung für ein gleichseitiges Dreieck ist.

Gruß Sax.

Bezug
                
Bezug
Extremwertaufgabe Dreieck: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:41 Di 23.04.2013
Autor: MrItalian


> Wenn [mm]x_1[/mm] = [mm]x_2[/mm] ist, so muss doch offenbar [mm]\bruch{b}{3}[/mm] =
> [mm]\bruch{a}{\wurzel{3}}[/mm]  sein.
>  Versuche mal nachzuweisen, dass das genau die Bedingung
> für ein gleichseitiges Dreieck ist.
>  
> Gruß Sax.

Ich glaube hier fehlt mir sehr viel Wissen darüber. Das einzige was ich eben herausfinden konnte über die Formelsammlung war:
Umkreisradius: r = [mm] a/3*\wurzel{3} [/mm]
Also in diesen Fall:
[mm]\bruch{b}{3}[/mm] = [mm]\bruch{a}{\wurzel{3}}[/mm] | [mm] *\wurzel{3} [/mm]
Dann kommt raus:
[mm]\bruch{b\wurzel{3}}{3}[/mm] = [mm]a[/mm]
Könnt ihr mir ansonsten einen entsprechenden Link geben?

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Extremwertprobleme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]