matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenDifferentialgleichungenEulersches Polygonzugverfahren
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Differentialgleichungen" - Eulersches Polygonzugverfahren
Eulersches Polygonzugverfahren < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Eulersches Polygonzugverfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:38 Di 23.12.2014
Autor: rollroll

Aufgabe
Betrachte das AWP
y''(x)+y(x)=x, y'(0)=y(0)=1
Bestimme unter Verwendung des Eulerschen Polygonzugverfahrens die Lösung des AWPs.
a) Überführe das AWP zunächst in eine DGL 1. Ordnung.
b) Sei nun das Gitter [mm] G_h={kh, k=0,1,...} [/mm] vorgegeben. Zeige dass die Darstellung [mm] y_{k+1}=BY_k+kH [/mm] gilt, wobei [mm] B=\pmat{ 1 & h \\ -h & 1 }, H=(0,h^2)^T [/mm] und [mm] Y_k [/mm] die k-te Iterierte des Polygonzugverfahrens ist.
c) Finde eine rekursive Darstellung für [mm] Y_{k+1}. [/mm]
d) Sezte h=x/k und zeige für h-->0 bzw. k--> [mm] \infty [/mm] konvergiert das Polygonzugverfahren gegen die exakte Lösung.

Hallo,
ich habe leider gar keine Idee, wie ich die Aufgabe lösen soll..

zu a) Es ist ja [mm] y_1=y, y_2=y'=y_1' [/mm] und [mm] y''=x-y_1. [/mm] Ist dies schon eine DGL 1. Ordnung, wie kann ich das als Matrix schreiben?

        
Bezug
Eulersches Polygonzugverfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:04 Di 23.12.2014
Autor: leduart

Halloi
1. Schritt mach dich aus Skript, Buch Netz schlau was das Eulerverfahren ist, das ist nicht unsere Aufgabe-
2. Auch das Umformen zu Y*=A*Y+b kannst du selbst mit [mm] Y=(y_1,y_2)^T [/mm] schreib einfach ein allgemeines A hin, mult. mit Y und dann siehst du die einfachen Koeffizienten.
irgend ein Beispiel kennst du sicher, warum sollen wir noch eines vorrechnen?
Gruß leduart

Bezug
                
Bezug
Eulersches Polygonzugverfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:17 Di 23.12.2014
Autor: rollroll

Ich kenne das Verfahren in der Theorie schon, habe aber noch nie ein Beispiel dazu gesehen.  Deshalb wäre ich ueber Hilfe sehr froh.  Zur a habe ich ja was geschrieben.  Was ist damit?

Bezug
                        
Bezug
Eulersches Polygonzugverfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:46 Di 23.12.2014
Autor: leduart

Hallo
dein a) war soweit richtig, wenn du noch statt y'' =...   [mm] y_2'=-y_1+x [/mm]  
dann irgend ein A hinschreiben und die Einträge bestimmen.
[mm] \vektor{y_1 \\ y_2}'=A*ektor{y_1 \\ y_2} +\vec{b} [/mm]

und dann setz doch mal in die Formeln für das Eulerverfahren ein. Man muss immer mal anfangen um sein Selbstvertrauen nicht ganz zu zertrampeln.
Gruss leduart

Bezug
                                
Bezug
Eulersches Polygonzugverfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:36 Sa 27.12.2014
Autor: rollroll

Nach Weihnachten mal ein neuer Versuch ;.)

Also ich habe dann für a) [mm] y'=\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }y+\vektor{0 \\ x} [/mm]


Und zu b) folgender Ansatz:

[mm] y_{k+1}=y_k+hf(x_k,y_k) [/mm] mit [mm] f(x_k,y_k)=\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }y_k+\vektor{0 \\ x} [/mm]

Aber wie bestimme ich nun [mm] Y_k, [/mm] also die k-te Iterierte?

Bezug
                                        
Bezug
Eulersches Polygonzugverfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:51 Sa 27.12.2014
Autor: leduart

Hallo
Man fängt mal an, mit [mm] y_1= [/mm] dann [mm] y_2= [/mm] dann ....vollst Induktion!
Gruß leduart

Bezug
                                                
Bezug
Eulersches Polygonzugverfahren: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 16:30 Sa 27.12.2014
Autor: rollroll

Stimmt das andere was ich geschrieben habe überhaupt?
[mm] y_1=y_0+h [/mm] (1, [mm] x-1)^T [/mm] ist das ok für [mm] y_1? [/mm]

Bezug
                                                        
Bezug
Eulersches Polygonzugverfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:32 Mo 29.12.2014
Autor: rollroll

Ich wäre froh, wenn ihr mir sagen könntet, ob das, was ich bisher geschrieben habe, stimmt. Denn wenn [mm] y_1 [/mm] schon falsch ist, brauche ich ja gar nicht erst weiter zu machen.

Bezug
                                                                
Bezug
Eulersches Polygonzugverfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:33 Di 30.12.2014
Autor: meili

Hallo,

> Ich wäre froh, wenn ihr mir sagen könntet, ob das, was
> ich bisher geschrieben habe, stimmt. Denn wenn [mm]y_1[/mm] schon
> falsch ist, brauche ich ja gar nicht erst weiter zu machen.

Bei a) kam heraus:

[mm] $\vektor{y \\ y'}' [/mm] =  [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0}*\vektor{y \\ y'} [/mm] + [mm] \vektor{ 0 \\ x}$ [/mm]

Also ist [mm] $f\left(x, (y, y')^T \right) [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0}* \vektor{y \\ y'} [/mm] + [mm] \vektor{ 0 \\ x}$ [/mm]


Dies fehlt bei dir.  Es ist auch etwas verwirrend mit den y Indizes.
Du kannst durchaus [mm] $y_1 [/mm] = y$ und [mm] $y_2 [/mm] = y'$ setzen und [mm] $\vec [/mm] y = [mm] \vektor{ y_1 \\ y_2}$. [/mm]

Dann sollte das Eulersche Polygonzugverfahren beginnen mit:

[mm] $\vec y_0 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1}$ [/mm]

[mm] $\vec y_1 [/mm] = [mm] \vec y_0 [/mm] + [mm] h*\left(\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0}* \vec y_0 + \vektor{ 0 \\ 0} \right)$ [/mm]

EDIT: in jedem Polygonzug-Schritt muss x durch den zugehörigen Gitterpunkt [mm] $x_k$ [/mm]
ersetzt werden, deshalb 0.

Gruß
meili


Bezug
                                                                        
Bezug
Eulersches Polygonzugverfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:11 Di 30.12.2014
Autor: rollroll

Danke für deine Antwort.

Dann hat mein [mm] y_1 [/mm] ja gepasst.
Ausgerechnet erhalte ich dann [mm] y_1=\vektor{1 \\ 1}+h \vektor{1 \\ x-1} [/mm]
(man denke sich über dem [mm] y_1 [/mm] noch einen  Pfeil)

Wenn ich nun [mm] y_2 [/mm] berechne erhalte ich [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] + h [mm] \vektor{2 \\ 2x-2} [/mm] + [mm] h^2 \vektor{x-1 \\ -1}. [/mm] Stimmt das?

Und weshalb muss x durch h ersetzt werden?

Per Definition ist ja [mm] x_k=x_0+kh, [/mm] also bei uns [mm] x_k=kh=G_h [/mm]

Bezug
                                                                                
Bezug
Eulersches Polygonzugverfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:49 Di 30.12.2014
Autor: meili

Hallo,
> Danke für deine Antwort.
>  
> Dann hat mein [mm]y_1[/mm] ja gepasst.
>  Ausgerechnet erhalte ich dann [mm]y_1=\vektor{1 \\ 1}+h \vektor{1 \\ x-1}[/mm]

[mm] $\vec y_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] + [mm] h\vektor{ 1 \\ -1}$ [/mm]

>  
> (man denke sich über dem [mm]y_1[/mm] noch einen  Pfeil)
>  
> Wenn ich nun [mm]y_2[/mm] berechne erhalte ich [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] + h
> [mm]\vektor{2 \\ 2x-2}[/mm] + [mm]h^2 \vektor{x-1 \\ -1}.[/mm] Stimmt das?

[mm] $\vec y_2 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] + h [mm] \vektor{ 2 \\ -2} [/mm] + [mm] h^2\vektor{ -1 \\ 0 }$ [/mm]

>  
> Und weshalb muss x durch h ersetzt werden?

Die allgemeine Formel ist:
[mm] $\vec y_{k+1} [/mm] = [mm] \vec y_k [/mm] + [mm] h*f(x_k, \vec y_k)$ [/mm]

Sorry, ich habe mich in der letzten Antwort geirrt, an die Stelle von x,
gehörte nicht h, sondern [mm] $x_0$. ($x_0 [/mm] = 0$)
Erst [mm] $x_1 [/mm] = h$.

>  
> Per Definition ist ja [mm]x_k=x_0+kh,[/mm] also bei uns [mm]x_k=kh=G_h[/mm]  

[ok]

Gruß
meili

Bezug
                                                                                        
Bezug
Eulersches Polygonzugverfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:12 Di 30.12.2014
Autor: rollroll

Ok, dann mal ein neuer Versuch für [mm] y_2: [/mm]

[mm] y_2=\vektor{1 \\ 1}+h \vektor{2-h \\ -2} [/mm]
Stimmt das so? Ein wirkliches Muster kann ich aber noch nicht erkennen...

Bezug
                                                                                                
Bezug
Eulersches Polygonzugverfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:28 Mi 31.12.2014
Autor: meili

Hallo,

> Ok, dann mal ein neuer Versuch für [mm]y_2:[/mm]
>  
> [mm]y_2=\vektor{1 \\ 1}+h \vektor{2-h \\ -2}[/mm]
>  Stimmt das so?

[ok]

> Ein wirkliches Muster kann ich aber noch nicht erkennen...

Bei b) solltest Du zeigen [mm] $Y_{k+1} [/mm] = [mm] B*Y_k [/mm] + kH$ mit $B [mm] =\pmat{ 1 & h \\ -h & 1}$ [/mm] und $H = [mm] \vektor{0 \\ h^2}$. [/mm]

Das lässt sich leicht aus der allgemeinen Formel für das
Eulersche Polygonzugverfahren [mm] $y_{k+1} [/mm] = [mm] y_k [/mm] + [mm] h*f(x_k, y_k)$ [/mm] herleiten,
indem man alles für das in der Aufgabe gegebene AWP einsetzt
und passend zusammenfasst.

Wenn man dazu noch die Startwerte angibt, hat man auch c) erledigt.

Gruß
meili


Bezug
                                                                                                        
Bezug
Eulersches Polygonzugverfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:13 Mi 31.12.2014
Autor: rollroll

Also:
[mm] y_{k+1}=y_k+hf(x_k,y_k)=y_k+h(\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }y_k+\vektor{0 \\ x_k})=y_k+h(\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }y_k+\vektor{0 \\ kh})=y_k+\pmat{ 0 & h \\ -h & 0 }y_k+k \vektor{0 \\ h^2}=y_k \pmat{ 1 & 1+h \\ -h+1 & 1 }+k \vektor{0 \\ h^2} [/mm]

Irgendwie passt es noch nicht ganz...

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Eulersches Polygonzugverfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:05 Mi 31.12.2014
Autor: meili

Hallo,

> Also:
>  [mm]y_{k+1}=y_k+hf(x_k,y_k)=y_k+h(\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }y_k+\vektor{0 \\ x_k})=y_k+h(\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }y_k+\vektor{0 \\ kh})=y_k+\pmat{ 0 & h \\ -h & 0 }y_k+k \vektor{0 \\ h^2}=y_k \pmat{ 1 & 1+h \\ -h+1 & 1 }+k \vektor{0 \\ h^2}[/mm]

Nur der letzte Schritt ist nicht ganz gelungen.

[mm] $y_k [/mm] + [mm] \pmat{0 & h \\ -h & 0}y_k [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 &1}y_k [/mm] + [mm] \pmat{ 0 & h \\ -h & 0}y_k [/mm] = [mm] \pmat{1 & h \\ -h & 1}y_k$ [/mm]

(die Einheitsmatrix [mm] $\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1}$ [/mm] ist das neutrale Element bzgl.
der Matrixmultiplikation oder Multiplikation Matrix Vektor)

>  
> Irgendwie passt es noch nicht ganz...

Gruß
meili

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Eulersches Polygonzugverfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:18 Do 01.01.2015
Autor: rollroll

Ja klar,  danke.  Was für ein dummer Fehler.
Hättest du noch einen Tipp bzgl. der nicht rekursiven Darstellung?

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Eulersches Polygonzugverfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:43 Fr 02.01.2015
Autor: meili

Hallo,

> Ja klar,  danke.  Was für ein dummer Fehler.
>  Hättest du noch einen Tipp bzgl. der nicht rekursiven
> Darstellung?  

Ist in der Aufgabenstellung, so wie sie in deinem Post steht, ein Fehler und
wird eine NICHT rekursive Darstellung gesucht?

Wenn ja, müsstest du eine Form finden [mm] $Y_k [/mm] = [mm] \ldots$, [/mm] ohne dass darin
[mm] $Y_n$ [/mm] mit n<k darin vorkommen, höchstens der Startwert [mm] $Y_0$. [/mm]

Gruß
meili


Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
Eulersches Polygonzugverfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:29 Fr 02.01.2015
Autor: rollroll

Ja genau,  es wird eine NiCHT rekursive Darstellung gesucht...

Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
Eulersches Polygonzugverfahren: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:06 Fr 02.01.2015
Autor: meili

Hallo,

> Ja genau,  es wird eine NiCHT rekursive Darstellung
> gesucht...

Dazu [mm] $Y_1, Y_2, \ldots [/mm] , [mm] Y_{10}$ [/mm] berechnen in Form eines Vektors
mit Summen aus Potenzen von h als Komponenten.

Nach Systematik suchen; vielleicht abhängig ob Index gerade, oder
0, 1, 2, 3 modulo 4.

Mit vollständiger Induktion Vermutung beweisen.

Gruß
meili



Bezug
                                                                                                                                                        
Bezug
Eulersches Polygonzugverfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:14 Sa 03.01.2015
Autor: rollroll

Ich hatte ja schon [mm] Y_0, y_1, Y_2 [/mm] berechnet - ohne eine explizite Darstellung erkennen zu können. Muss man evtl. Potenzen der vorkommenden 2x2 Matrix betrachten?

Bezug
                                                                                                                                                                
Bezug
Eulersches Polygonzugverfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:45 Sa 03.01.2015
Autor: meili

Hallo,

> Ich hatte ja schon [mm]Y_0, y_1, Y_2[/mm] berechnet - ohne eine
> explizite Darstellung erkennen zu können. Muss man evtl.
> Potenzen der vorkommenden 2x2 Matrix betrachten?

Ja, das geht auch.

Aber [mm] $k*\vektor{0 \\ h^2}$ [/mm] kommt immer noch hinzu, und wird erst ab
dem nächsten Schritt mit der Matrix multipliziert.


Gruß
meili


Bezug
                                                                                                                                                                        
Bezug
Eulersches Polygonzugverfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:03 Sa 03.01.2015
Autor: rollroll

Ich komme irgendwie immer noch nicht ganz klar.

Ich hatte es mal so versucht:

[mm] y_k=y_0 \pmat{ 1 & h \\ -h & 1 }^{k-1}+\summe_{i=1}^{k-1}i\vektor{0 \\ h^2}\pmat{ 1 & h \\ -h & 1 }^{k-i} [/mm] und [mm] y_0=(1,1)^T [/mm]

Bezug
                                                                                                                                                                                
Bezug
Eulersches Polygonzugverfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:44 So 04.01.2015
Autor: meili

Hallo,

> Ich komme irgendwie immer noch nicht ganz klar.
>  
> Ich hatte es mal so versucht:
>  
> [mm]y_k=y_0 \pmat{ 1 & h \\ -h & 1 }^{k-1}+\summe_{i=1}^{k-1}i\vektor{0 \\ h^2}\pmat{ 1 & h \\ -h & 1 }^{k-i}[/mm]
> und [mm]y_0=(1,1)^T[/mm]  

So ähnlich ja.

Aber:
Vektoren müssen immer rechts von Matrizen stehen, damit sie sich
überhaupt multiplizieren lassen.
Die Potenzen stimmen noch nicht so ganz.


[mm] $y_k [/mm] = [mm] \pmat{1 & h \\ -h & 1}^k*y_0 [/mm] + [mm] \summe_{i=0}^{k-1} i*\pmat{1 & h \\ -h & 1}^{k-1-i}*\vektor{0 \\ h^2}$ [/mm]

mit [mm] $k=1,2,3,\ldots$ [/mm] und [mm] $\pmat{1 & h \\ -h & 1}^0 [/mm] = [mm] \pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}$ [/mm]

Gruß
meili


Bezug
                                                                                                                                                                                        
Bezug
Eulersches Polygonzugverfahren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:50 So 04.01.2015
Autor: rollroll

Super,  danke!
Hättest du jetzt noch eine Hilfestellung zum letzten Aufgabenteil?

Bezug
                                                                                                                                                                                        
Bezug
Eulersches Polygonzugverfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:58 So 04.01.2015
Autor: rollroll

Gemäß deiner Lösung wäre aber doch dann [mm] y_1=y_0\pmat{ 1 & h \\ -h & 1 }+\vektor{0 \\ h^2}. [/mm] Aber das stimmt ja nicht, weil der ´zweite Summand zu viel ist. Man soll ja auch eine nicht rekursive Darstellung für [mm] y_{k+1} [/mm] angeben, also nicht für [mm] y_k... [/mm]

Deshalb würde ich folgende Lösung vorschlagen:
[mm] y_{k+1}=\pmat{ 1 & h \\ -h & 1 }^{k+1}y_0+\summe_{i=0}^{k}i \pmat{ 1 & h \\ -h & 1 }^{k-i}\vektor{0 \\ h^2} [/mm]
k=0,1,... und [mm] y_0=(1,1)^T[/mm]

Bezug
                                                                                                                                                                                                
Bezug
Eulersches Polygonzugverfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:53 So 04.01.2015
Autor: meili

Hallo,

> Gemäß deiner Lösung wäre aber doch dann [mm]y_1=y_0\pmat{ 1 & h \\ -h & 1 }+\vektor{0 \\ h^2}.[/mm]
> Aber das stimmt ja nicht, weil der ´zweite Summand zu viel
> ist. Man soll ja auch eine nicht rekursive Darstellung für
> [mm]y_{k+1}[/mm] angeben, also nicht für [mm]y_k...[/mm]
>  Deshalb würde ich folgende Lösung vorschlagen:
>  [mm]y_{k+1}=\pmat{ 1 & h \\ -h & 1 }^{k+1}y_0+\summe_{i=0}^{k}i \pmat{ 1 & h \\ -h & 1 }^{k-i}\vektor{0 \\ h^2}[/mm]
>  
> k=0,1,... und [mm]y_0=(1,1)^T[/mm]  

[ok]

Sorry, bei der Summe stimmte es bei mir nicht.
Warum merke ich das erst 2-3 Stunden zu spät?

Gruß
meili


Bezug
                                                                                                                                                                                                        
Bezug
Eulersches Polygonzugverfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:52 So 04.01.2015
Autor: rollroll

Ok ;-) Hast du zum letzten Teil noch ein paar Tipps?

Bezug
                                                                                                                                                                                                                
Bezug
Eulersches Polygonzugverfahren: Tipps
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:30 Mo 05.01.2015
Autor: meili

Hallo,

° Das lineare Diffferentialsystem aus a) lösen, damit man weis wo gegen
das Eulersche Polygonzugverfahren konvergieren soll.
Siehe []Fundamentalsystem

° Wie in der Aufgabe angegeben [mm] $\bruch{x}{k}$ [/mm] für h setzen. Dann [mm] $\limes_{k \rightarrow \infty}$ [/mm] betrachten.
Vielleicht entsteht so etwas wie Potenzreihen für die Komponenten
von [mm] $Y_k$ [/mm] (oder [mm] $Y_{k+1}$). [/mm]

° Eventuell Beweis der Konvergenz des Eulerschen Polygonzugverfahren
ansehen, und für die Aufgabe abwandeln.

Gruß
meili

Bezug
                                                                                                                                                                                                                        
Bezug
Eulersches Polygonzugverfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:01 Mo 05.01.2015
Autor: rollroll

Die loesung des AWP ist ja y= cos (x)+x. Aber wenn ich nun für h x/k einsetze, kann ich ja nucht so einfach k gegen unendlich gehen lassen, weil ja ja noch eine Matrix als Basis da stehen habe.

Bezug
                                                                                                                                                                                                                                
Bezug
Eulersches Polygonzugverfahren: Vorschlag
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:12 Mi 07.01.2015
Autor: meili

Hallo,

> Die loesung des AWP ist ja y= cos (x)+x. Aber wenn ich nun

[ok]

> für h x/k einsetze, kann ich ja nucht so einfach k gegen
> unendlich gehen lassen, weil ja ja noch eine Matrix als
> Basis da stehen habe.

Vielleicht doch mit vollständiger Induktion [mm] $Y_k$ [/mm] in solch eine Form bringen:

[mm] $Y_k [/mm] = [mm] \vektor{ \summe_{i=1}^{k} a_i*\bruch{x^i}{k^i} \\ \summe_{i=1}^{k} b_i*\bruch{x^i}{k^i} }$ [/mm]

Gruß
meili

Bezug
                                                                                                                                                                                                                                        
Bezug
Eulersches Polygonzugverfahren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:29 Sa 10.01.2015
Autor: rollroll

Danke, hab's jetzt raus bekommen...

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]