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Erstellung einer Funktion: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:39 Fr 14.03.2014
Autor: wolfgangmax

Aufgabe
<br>
Geben Sie jeweils den Term einer in R definierten Funktion an, die die angegebenen Eigenschaften hat:
- der Graph der Funktion hat den Hochpunkt in H(0/5)
- der Graph ist an der Stelle x=5 nicht differenzierbar


<br>Leider fehlt die Angabe, welche Art von Funktion hier vorliegt. Ich denke aber, dass wegen der 2. Eigenschaft eine gebrochen-rationale Funktion vorliegt.
Nun überlege ich die ganze Zeit, wie eine gerochen-rationale Funktion beschaffen sein muss, damit überhaupt ein Extremum (hier: Hochpunkt) entsteht.
Auch mit dem Modelling (Steckbriefaufgabe)komme ich nicht weiter, denn ich weiß ja nicht, von welcher allgemeinen Funktion ich ausgehen muss.

Diese (Teil-) Aufgabe stammt aus einer Abiturklausur des Jahres 2012.

Über einen Tipp wäre ich sehr dankbar!
Mit freundlichen Grüßen

 

        
Bezug
Erstellung einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:21 Fr 14.03.2014
Autor: leduart

Hallo
erstens erfüllt  f(x)= [mm] -ax^2+5 [/mm] a)>0 2. erfüllt etwas mit Knick bei x=5, also etwa Betrag f und f(5)=0
Gruss leduart

Bezug
        
Bezug
Erstellung einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:52 Fr 14.03.2014
Autor: Sax

Hi,

wenn du aber (was komplizierter ist als Leduarts Vorschlag) gerne eine gebrochen rationale Funktion hättest, dann kannst du folgendermaßen vorgehen :
Der Nenner sollte n(x) = x-5 sein, das garantiert die Nicht-Differenzierbarkeit, weil der Bruch dann für x=5 ja noch nicht einmal definiert ist.
Als Zähler musst du eine Funktion von mindesens Grad 2 nehmen, damit sich ein Extremum ergibt : [mm] z(x)=ax^2+bx+c. [/mm] a kann willkürlich a=1 gesetzt werden. c muss -25 sein, damit f(0)=5 wird. b ergibt sich aus der Bedingung, dass f'(0)=0 sein muss (zu b=5). Dass dann an der Stelle x=0 tatsächlich ein Hochpunkt vorliegt, muss noch nachgerechnet werden. Damit die Funktion auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert ist, ist noch eine beliebige Definition für x=5 hinzuzufügen.

Anmerkung : Vielleicht bedeutet das "jeweils" in der Aufgabenstellung, dass zwei verschiedene Funktionen (je eine für jede Bedingung) angegeben werden dürfen ? Das würde die Sache natürlich erheblich vereinfachen.

Gruß Sax.

Bezug
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