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Epimorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:40 Di 21.11.2017
Autor: questionpeter

Aufgabe
Sei [mm] R=\IR[x] [/mm] der RIng der formalen Potenzreihen über dem Körper [mm] \IR [/mm] der reellen Zahlen. Man betrachtte die R-linearen Abb. [mm] \varphi: R^3\rightarrow R^2:m\mapsto A\cdot [/mm] m mit

[mm] A=\pmat{ 1+x^4-x^7+3x^100 & cos(x) & 2-exp(x) \\ x^4-5x^8 & \sum_{i=0}^\infty (5x+x^2)^i & 0 } \in M(2\times 3,\IR). [/mm]

Ist [mm] \varphi [/mm] ein Epimorphismus?

Guten Abend,

ich sitze seit std. vor diese AUfgabe und komme einfach nicht weiter. Daher hoffe ich, dass Ihr mir da etwas weiterhelfen könnt.

Also was zuzeigen wäre:

[mm] -\varphi(a+b)=\varphi(a)\cdot \varphi(b) [/mm]
[mm] -\varphi(a\cdot b)=\varphi(a)\cdot \varphi(b) [/mm]
[mm] -\varphi(x)=x [/mm]

oder?

dann hätte ich ein LGS aufgestellt, also

[mm] A\cdot [/mm] m=b

[mm] \gdw \pmat{ 1+x^4-x^7+3x^100 & cos(x) & 2-exp(x) \\ x^4-5x^8 & \sum_{i=0}^\infty (5x+x^2)^i & 0 } \cdot \vektor{m_1 \\ m_2\\ m_3}=\vektor{b_1 \\ b_2} [/mm]

d.h.

(i) [mm] (1+x^4-x^7+3x^100)m_1+cox(x)m_2+2-exp(x)m_3=b_1 [/mm]
(ii) [mm] (x^4-5x^8)m_1+\sum_{i=0}^\infty (5x+x^2)^i m_2=b_2 [/mm]


aber irgendwie komme ich nicht weiter. Ich bin für jeden Tipp dankbar.

        
Bezug
Epimorphismus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:56 Mi 22.11.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Sei [mm]R=\IR[x][/mm] der RIng der formalen Potenzreihen über dem
> Körper [mm]\IR[/mm] der reellen Zahlen. Man betrachtte die
> R-linearen Abb. [mm]\varphi: R^3\rightarrow R^2:m\mapsto A\cdot[/mm]
> m mit

>

> [mm]A=\pmat{ 1+x^4-x^7+3x^100 & cos(x) & 2-exp(x) \\ x^4-5x^8 & \sum_{i=0}^\infty (5x+x^2)^i & 0 } \in M(2\times 3,\IR).[/mm]

>

> Ist [mm]\varphi[/mm] ein Epimorphismus?
> Guten Abend,

>

> ich sitze seit std. vor diese AUfgabe und komme einfach
> nicht weiter. Daher hoffe ich, dass Ihr mir da etwas
> weiterhelfen könnt.

>

> Also was zuzeigen wäre:

>

> [mm]-\varphi(a+b)=\varphi(a)\cdot \varphi(b)[/mm]
> [mm]-\varphi(a\cdot b)=\varphi(a)\cdot \varphi(b)[/mm]

>

> [mm]-\varphi(x)=x[/mm]

>

> oder?

>

> dann hätte ich ein LGS aufgestellt, also

>

> [mm]A\cdot[/mm] m=b

>

> [mm]\gdw \pmat{ 1+x^4-x^7+3x^100 & cos(x) & 2-exp(x) \\ x^4-5x^8 & \sum_{i=0}^\infty (5x+x^2)^i & 0 } \cdot \vektor{m_1 \\ m_2\\ m_3}=\vektor{b_1 \\ b_2}[/mm]

>

> d.h.

>

> (i) [mm](1+x^4-x^7+3x^100)m_1+cox(x)m_2+2-exp(x)m_3=b_1[/mm]
> (ii) [mm](x%5E4-5x%5E8)m_1%2B%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%5Cinfty%20(5x%2Bx%5E2)%5Ei%20m_2%3Db_2[/mm]

>
>

> aber irgendwie komme ich nicht weiter. Ich bin für jeden
> Tipp dankbar.

Ich habe über die Aufgabe jetzt auch schon den ganzen Vormittag nachgedacht, aber dann gesehen, dass ihre Lösung völlig simpel ist. Damit das Ding surjektiv wird, muss auch das Einselement (ein solcher Ring ist ja ein Ring mit 1) erreicht werden können, und das funktioniert ganz offensichtlich für [mm] b_2 [/mm] nicht. Also handelt es sich auch nicht um einen Epimorphismus.

Sorry, das war falsch. Siehe die Mitteilung von donquijote.

Dass es eine lineare Abbildung ist, musst du m.M. hier so oder so nicht nachrechnen (denn es ist auf der einen Seite klar und auf der anderen Seite per Aufgabenstellung vorgegeben).

@Admins: könnte bitte jemand die Frage wieder auf 'unbeantwortet' stellen? Vielen Dank.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Epimorphismus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:30 Mi 22.11.2017
Autor: donquijote


> Hallo,
>  
> > Sei [mm]R=\IR[x][/mm] der RIng der formalen Potenzreihen über dem
>  > Körper [mm]\IR[/mm] der reellen Zahlen. Man betrachtte die

>  > R-linearen Abb. [mm]\varphi: R^3\rightarrow R^2:m\mapsto A\cdot[/mm]

>  
> > m mit
>  >
>  > [mm]A=\pmat{ 1+x^4-x^7+3x^100 & cos(x) & 2-exp(x) \\ x^4-5x^8 & \sum_{i=0}^\infty (5x+x^2)^i & 0 } \in M(2\times 3,\IR).[/mm]

>  
> >
>  > Ist [mm]\varphi[/mm] ein Epimorphismus?

>  > Guten Abend,

>  >
>  > ich sitze seit std. vor diese AUfgabe und komme einfach

>  > nicht weiter. Daher hoffe ich, dass Ihr mir da etwas

>  > weiterhelfen könnt.

>  >
>  > Also was zuzeigen wäre:

>  >
>  > [mm]-\varphi(a+b)=\varphi(a)\cdot \varphi(b)[/mm]

>  >

> [mm]-\varphi(a\cdot b)=\varphi(a)\cdot \varphi(b)[/mm]
>  >
>  > [mm]-\varphi(x)=x[/mm]

>  >
>  > oder?

>  >
>  > dann hätte ich ein LGS aufgestellt, also

>  >
>  > [mm]A\cdot[/mm] m=b

>  >
>  > [mm]\gdw \pmat{ 1+x^4-x^7+3x^100 & cos(x) & 2-exp(x) \\ x^4-5x^8 & \sum_{i=0}^\infty (5x+x^2)^i & 0 } \cdot \vektor{m_1 \\ m_2\\ m_3}=\vektor{b_1 \\ b_2}[/mm]

>  
> >
>  > d.h.

>  >
>  > (i) [mm](1+x^4-x^7+3x^100)m_1+cox(x)m_2+2-exp(x)m_3=b_1[/mm]

>  > (ii)

> [mm](x%5E4-5x%5E8)m_1%2B%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%5Cinfty%20(5x%2Bx%5E2)%5Ei%20m_2%3Db_2[/mm]
>  >
>  >
>  > aber irgendwie komme ich nicht weiter. Ich bin für

> jeden
>  > Tipp dankbar.

>  
> Ich habe über die Aufgabe jetzt auch schon den ganzen
> Vormittag nachgedacht, aber dann gesehen, dass ihre Lösung
> völlig simpel ist. Damit das Ding surjektiv wird, muss
> auch das Einselement (ein solcher Ring ist ja ein Ring mit
> 1) erreicht werden können, und das funktioniert ganz
> offensichtlich für [mm]b_2[/mm] nicht.

Hallo Diophant,
ich fürchte, du hast übersehen, dass die Reihe unten Mitte bei i=0 beginnt und deshalb als formale Potenzreihe invertierbar ist.

> Also handelt es sich auch
> nicht um einen Epimorphismus. Dass es eine lineare
> Abbildung ist, musst du m.M. hier so oder so nicht
> nachrechnen (denn es ist auf der einen Seite klar und auf
> der anderen Seite per Aufgabenstellung vorgegeben).
>  
>
> Gruß, Diophant


Bezug
                        
Bezug
Epimorphismus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:51 Mi 22.11.2017
Autor: Diophant

Hallo donquijote,

> Hallo Diophant,
> ich fürchte, du hast übersehen, dass die Reihe unten
> Mitte bei i=0 beginnt und deshalb als formale Potenzreihe
> invertierbar ist.

So ähnlich. Das mit der Invertierbarkeit war mir nicht mehr so ganz klar. Ich habe es oben richtiggestellt. Danke für den Hinweis!


Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Epimorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:40 Mi 22.11.2017
Autor: donquijote


> Sei [mm]R=\IR[x][/mm] der RIng der formalen Potenzreihen über dem
> Körper [mm]\IR[/mm] der reellen Zahlen. Man betrachtte die
> R-linearen Abb. [mm]\varphi: R^3\rightarrow R^2:m\mapsto A\cdot[/mm]
> m mit
>  
> [mm]A=\pmat{ 1+x^4-x^7+3x^100 & cos(x) & 2-exp(x) \\ x^4-5x^8 & \sum_{i=0}^\infty (5x+x^2)^i & 0 } \in M(2\times 3,\IR).[/mm]
>  
> Ist [mm]\varphi[/mm] ein Epimorphismus?
>  Guten Abend,
>  
> ich sitze seit std. vor diese AUfgabe und komme einfach
> nicht weiter. Daher hoffe ich, dass Ihr mir da etwas
> weiterhelfen könnt.
>  
> Also was zuzeigen wäre:
>  
> [mm]-\varphi(a+b)=\varphi(a)\cdot \varphi(b)[/mm]
>  [mm]-\varphi(a\cdot b)=\varphi(a)\cdot \varphi(b)[/mm]
>  
> [mm]-\varphi(x)=x[/mm]
>  
> oder?
>  
> dann hätte ich ein LGS aufgestellt, also
>  
> [mm]A\cdot[/mm] m=b
>
> [mm]\gdw \pmat{ 1+x^4-x^7+3x^100 & cos(x) & 2-exp(x) \\ x^4-5x^8 & \sum_{i=0}^\infty (5x+x^2)^i & 0 } \cdot \vektor{m_1 \\ m_2\\ m_3}=\vektor{b_1 \\ b_2}[/mm]
>  

Hallo,
du hast also in [mm]\mathbb{R}[x][/mm] ein Gleichungssystem der Form
[mm]\pmat{a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & 0 } \cdot \vektor{m_1 \\ m_2\\ m_3}=\vektor{b_1 \\ b_2}[/mm], wobei die Koeffizienten [mm]a_{13}[/mm] und [mm]a_{22}[/mm] ein multiplikatives Inverses in  [mm]\mathbb{R}[x][/mm] haben. Damit lässt sich "formal" zeigen, dass das Gleichungssystem für alle [mm]b_1,b_2[/mm] lösbar ist.

> d.h.
>  
> (i) [mm](1+x^4-x^7+3x^100)m_1+cox(x)m_2+2-exp(x)m_3=b_1[/mm]
>  (ii) [mm](x^4-5x^8)m_1+\sum_{i=0}^\infty (5x+x^2)^i m_2=b_2[/mm]
>  
>
> aber irgendwie komme ich nicht weiter. Ich bin für jeden
> Tipp dankbar.


Bezug
        
Bezug
Epimorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:19 Mi 22.11.2017
Autor: UniversellesObjekt

Was ansonsten garantiert funktioniert (aber vermutlich overkill ist), ist, eine Smith-Normalform auszurechnen (da [mm] $\IR[\![X]\!]$ [/mm] ein diskreter Bewertungsring ist, geht das besonders leicht).

Liebe Grüße
UniversellesObjekt

Bezug
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