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Forum "Zahlentheorie" - Endziffern bestimmen
Endziffern bestimmen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Endziffern bestimmen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:58 Di 04.07.2017
Autor: fussball99

Aufgabe
Bestimmen Sie die letzten 3 Dezimalstellen von 3^2017


Hallo Zusammen,
ich möchte die letzten 3 Dezimalstellen von 3^2017 bestimmen. Dazu habe ich mir folgendes überlegt.

3^2017 [mm] \equiv [/mm] x (mod 1000)
Der ggT(2017,1000)=1
n=1000 und phi(1000)=400
Nach dem Satz von Euler-Fermat gilt dann:
3^400 [mm] \equiv [/mm] 1 (mod 1000)


Hier komme ich leider nicht weiter. Kann mir jemand helfen?
Danke!


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Endziffern bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:07 Di 04.07.2017
Autor: UniversellesObjekt

Wenn $3^400=1$ gilt, dann gilt doch auch [mm] $3^k=1$ [/mm] für alle Vielfachen $k$ von $400$. Welches solche $k$ liegt denn möglichst nah an $2017$?

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                
Bezug
Endziffern bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:33 Di 04.07.2017
Autor: fussball99

Dann könnte ich doch die Kongruenzgleichung mit 5 potenzieren und erhalte:

[mm] (3^{400})^5 \equiv 1^{5} [/mm] (mod 1000)

[mm] 3^{2000} \equiv [/mm] 1 (mod 1000)

[mm] 3^{2000} [/mm] * [mm] 3^{17} \equiv [/mm] 1 * [mm] 3^{17} [/mm] (mod 1000)

[mm] 3^{2017} \equiv 3^{17} [/mm] (mod 1000)

Jetzt stehe ich vor dem Problem [mm] 3^{17} [/mm] (mod 1000)

Bezug
                        
Bezug
Endziffern bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:36 Mi 05.07.2017
Autor: angela.h.b.


> Dann könnte ich doch die Kongruenzgleichung mit 5
> potenzieren und erhalte:
>  
> [mm](3^{400})^5 \equiv 1^{5}[/mm] (mod 1000)
>  
> [mm]3^{2000} \equiv[/mm] 1 (mod 1000)
>  
> [mm]3^{2000}[/mm] * [mm]3^{17} \equiv[/mm] 1 * [mm]3^{17}[/mm] (mod 1000)
>  
> [mm]3^{2017} \equiv 3^{17}[/mm] (mod 1000)
>  
> Jetzt stehe ich vor dem Problem [mm]3^{17}[/mm] (mod 1000)

Moin,

so ganz läßt sich das Rechnen nicht vermeiden.
[mm] 3^{17} [/mm] könntest Du z.B. zerlegen in [mm] 3^{17}=3^7*3^7*3^3 [/mm] und dann die Reste mod 1000 betrachten.

LG Angela

Bezug
                                
Bezug
Endziffern bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:23 Mi 05.07.2017
Autor: fussball99

Hallo Angela,
dann also 3^17 [mm] \equiv 3^7 [/mm] * [mm] 3^7 [/mm] * [mm] 3^3 \equiv [/mm] 2187 * 2187 * 27  [mm] \equiv 2187^2 [/mm] * 27 (mod 1000)

Irgendwie kann ich es nicht weiter vereinfachen.

Bezug
                                        
Bezug
Endziffern bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:34 Mi 05.07.2017
Autor: abakus

Hast du in der Grundschule die schriftliche Multiplikation nicht gelernt?
Rechne 187*187.
Multipliziere die aus den letzten drei Ziffern des Ergebnisses entstehende dreistellige Zahl mit 27.

Bezug
                                                
Bezug
Endziffern bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:51 Mi 05.07.2017
Autor: fussball99

Danke an Alle für die Hilfe. Aufgabe hat sich erledigt.

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