Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:50 Do 21.06.2007 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Beweisen Sie die Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung:
Für quadratisch integrierbare Zufallsvariablen X, Y gilt
[mm] |E(XY)|\le\wurzel{E(X^{2})E(Y^{2})}
[/mm]
Hinweis: Betrachten Sie einen Ausdruck der Art [mm] E(aX+bY)^{2}. [/mm] |
Hallo,
ich habe vor kurzem angefangen, die Ungleichung zu beweisen.
Sind die ZV'en diskret oder stetig verteilt?
Ich denke , dass stetig; bin mir aber nicht sicher.
Weiß das jemand genauer?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:40 Do 21.06.2007 | | Autor: | wauwau |
einzig und alleinige Vs über die Zv ist die quadr. integrierbarkeit d.h.
[mm]E[x_i^2]<\infty[/mm]
für alle a [mm] \in \IR [/mm] gilt
0 [mm] \le E[(aX_1+X_2)^2]=a^2E[X_1^2]+2aE[X_1]E[X_2]+E[X_2^2] [/mm]
beide Seiten mult. mit [mm] E[X_1^2] [/mm] und quadr. ergänzt ergibt
0 [mm] \le (aE[X_1^2]+E[X_1]E[X_2])^2 [/mm] + [mm] E[X_1^2]E[X_2^2]-(E[X_1]E[X_2])^2
[/mm]
mit [mm] a=-\bruch{E[X_1]E[X_2]}{E[X_1^2]} [/mm] folgt die behauptete Ungleichung
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Do 21.06.2007 | | Autor: | Igor1 |
Vielen Dank wauwau für eine umfangreiche Anwort!
Ich habe die Frage über die Art der ZV deshalb gestellt, weil ich etwas in die Formel ( entweder in die Formel für den Erwartungswert einer diskreten oder bzw. ener stetig verteilten ZV) einsetzen wollte und ausrechnen. Wenn man es jedoch aus der Aufgabenstellung nicht erfahren kann, was X, Y (diskret oder stetigverteilt) sind, dann gibt es vielleicht eine andere Möglichkeit?
Also ich wollte überprüfen, was passiert, wenn E(YY)=0. Nach Angaben in einem Buch muss dann auch Y(w)=0 sein. Genau das wollte ich durchs Einsetzten erreichen. Nur wusste ich nicht in welche Formel, denn nach meinem Wissen, gibt es dafür zwei Formel: eine für Y ist diskret und zweite Y ist stetig verteilt.
Eine Frage habe ich zu den Rechenregeln für die Erwartungswerte
Woher weiß man , dass E(X+Y)=E(X)+E(Y)?
Gruss
Igor
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Hallo!
1. Ist [mm] E(Y^2) [/mm] = 0, dann ist auch E(Y)=0 und somit auch Var(Y)=0. Dann sieht man mit der Ungleichung von Tschebyscheff, dass die Verteilung von Y ein Dirac-Maß (Einheitsmasse) sein muss. Das der Erwartungswert 0 ist, hat man dann die Einheitsmasse in 0.
2. E(X+Y) = E(X)+E(Y) gilt immer!!! Der Erwartungswert ist nämlich linear. Woran das liegt? Naja, der Erwartungswert ist nun mal nix anderes als ein Integral und das ist halt linear....
Amen! Tony
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:36 Fr 22.06.2007 | | Autor: | Igor1 |
Hallo tony_clyfton!
danke für deine Antwort!
Ich weiss nicht genau was hier mit Einheitsmass gemeint wird. Den Begriff kenn ich nicht so direkt.
Kannst Du mir bitte mit der Formel von dem [mm] E(Y^{2}) [/mm] erklären?
Nehmen wir an, dass [mm] Y^{2} [/mm] eine diskrete ZV ist. Dann gilt:
[mm] E(Y^{2})=\summe_{i}^{}y_{i}^{2}*P(Y=y_{i}),
[/mm]
und jetzt falls [mm] E(Y^{2})=0 \Rightarrow [/mm] Y(w)=0, w aus Omega.
Warum ist die Implikation wahr?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:52 Fr 22.06.2007 | | Autor: | Igor1 |
Hallo
Sorry, ich habe vergessen , die Voraussetzung anzugeben, dass P(w)>0 ist!!!
Mit P(w)>0 ist dann alles klar. 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Sa 23.06.2007 | | Autor: | Igor1 |
Hallo
wenn ich für a den angegebenen Ausdruck in die Ungleichung einsetze, dann steht dann [mm] 0\le0. [/mm] Ich weiss nicht wie ich damit auf die Behauptung komme.
Kann mir hier jemand helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 So 24.06.2007 | | Autor: | wauwau |
wenn du das a einsetzt, fällt nur die erste Klammer auf der rechten seite weg, der rest bleibt stehen, wenn du dann umformst kommst du auf die gesuchte Gleichung...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:53 So 24.06.2007 | | Autor: | Igor1 |
Hallo
In der Aufgabenstellung sieht man eine Ungleichung.
Ich kann irgenwie nicht einsehen , dass auch die Gleichheit gelten kann, denn ich kann doch die linke Seite genauso wie die rechte Seite schreiben. Nach meiner Interpretation folgt die völlige Gleichheit auf beiden Seiten.
Kann mir bitte bitte jemand helfen?
SOS! Morgen muss ich den Beweis schon vortragen.
Gruss
Igor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 So 24.06.2007 | | Autor: | Igor1 |
Hallo
In der Aufgabenstellung sieht man eine Ungleichung.
Ich kann irgenwie nicht einsehen , dass auch die Gleichheit gelten kann, denn ich kann doch die linke Seite genauso wie die rechte Seite schreiben. Nach meiner Interpretation folgt die völlige Gleichheit auf beiden Seiten.
Kann mir bitte bitte jemand helfen?
SOS! Morgen muss ich den Beweis schon vortragen.
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 So 24.06.2007 | | Autor: | wauwau |
Gleichheit kann gelten z.B. f. sichere Zufallsvariablen (mit nur einem möglichen ausgang) denn dann ist [mm] E(x)=E(x^2)=1
[/mm]
d.h.
[mm] X_1 [/mm] beschreibt Experiment, dass ein Gegenstand den man hochwirft auf die Erde zurückfällt
[mm] X_2 [/mm] beschreibt ein ähnliches...
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