Bild einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 Mo 07.04.2008 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Welcher der folgenden Vektoren gehört nicht zum Bild der Funktion welche vernknüpft ist mit der Matrix A:
[mm] \pmat{ 2 & 3 \\ 2 & 0 \\ -1 & 1 }
[/mm]
a) [mm] \pmat{ 1 \\ -2 \\ 2}
[/mm]
b) [mm] \pmat{ 1 \\ -2 \\ -2}
[/mm]
c) [mm] \pmat{ 5 \\ 2 \\ 0}
[/mm]
d) [mm] \pmat{ 7 \\ 5 \\ -1} [/mm] |
Hallo alle miteinander!
Also mein generelles Problem ist, ich habe nach "Bild einer Matrix" gegoogelt und leider nichts gefunden, somit meine 1. Frage: Könnte mir bitte jemand einen Link oder eine Erklärung geben, wie man das Bild einer Matrix errechnet?
Bis zum Kern und zur Dimension des Kerns bin ich gekommen, aber nachher sieht es schwach aus mit der Theorie!
Die angeführte Frage sollte als Beispiel sofern nötig dienen, da sich auf diesem meine Frage basiert!
Ich danke euch
lg
Zuggel
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> Welcher der folgenden Vektoren gehört nicht zum Bild der
> Funktion welche vernknüpft ist mit der Matrix A:
>
> [mm]\pmat{ 2 & 3 \\ 2 & 0 \\ -1 & 1 }[/mm]
Hallo,
ich nehme mal an, Du hast eine lineare Abbildung f, deren darstellende Matrix die angegebene Matrix A ist.
Nun interessierst Du Dich für das Bild der Matrix.
Das Bild der Matrix ist der Raum, welcher von den Spalten der Matrix aufgespannt wird, also Bild [mm] A=<\pmat{ 2 \\ 2 \\ -1}, \pmat{ 3 \\ 0 \\ 1}>.
[/mm]
> a) [mm]\pmat{ 1 \\ -2 \\ 2}[/mm]
> b) [mm]\pmat{ 1 \\ -2 \\ -2}[/mm]
> c)
> [mm]\pmat{ 5 \\ 2 \\ 0}[/mm]
> d) [mm]\pmat{ 7 \\ 5 \\ -1}[/mm]
Diejenigen Vektoren, welche Du nicht als Linearkombination der Spalten schreiben kannst, gehören nicht zum Bild.
Für a) mußt Du halt mit einer der Methoden, die Du kannst, prüfen, ob es a und b gebt mit
[mm] a\pmat{ 2 \\ 2 \\ -1}+b\pmat{ 3 \\ 0 \\ 1}=\pmat{ 1 \\ -2 \\ 2}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Mo 07.04.2008 | | Autor: | Zuggel |
Ums jetzt etwas zu vertiefen, der Rang einer Matrix ist ja dann die Dimension des Bildraumes von A.
det(A) = dim [mm] (f_{A})
[/mm]
Der Rang von
[mm] \pmat{ 2 & 3 \\ 2 & 0 \\ -1 & 1 }
[/mm]
sollte 3 sein, da wir hier ja 3 voneinander unabhängige Vektoren haben, das heitß die Dimension des Bildraumes ist 3. Sollte das dann nicht ein 3-spaltiger Vektor sein?
Oder ist mit dem Ergebnis die Zeilenanzahl gemeint?
Danke für die Hilfe
lg
Zuggel
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Also det(A) = dim $ [mm] (f_{A}) [/mm] $ stimmt nicht.
Die Dimension des Bildes ist die Anzahl der linear unabhängigen Spaltenvektoren, bzw der Rang der Matrix, der ist hier 2.
Die drei Zeilenvektoren sind übrigens nicht linear unabhängig probier doch einfach mal aus die als linearkombinationen voneinander darzustellen.
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> Ums jetzt etwas zu vertiefen, der Rang einer Matrix ist ja
> dann die Dimension des Bildraumes von A.
> rang(A) = dim [mm](f_{A})[/mm]
>
> Der Rang von
>
> [mm]\pmat{ 2 & 3 \\ 2 & 0 \\ -1 & 1 }[/mm]
>
> sollte 3 sein, da wir hier ja 3 voneinander unabhängige
> Vektoren haben,
Hallo,
mein Vorredner hat dazu ja schon etwas gesagt, ich will es nochmal beleuchten, damit Dir die Absurdität dessen, was Du sagst, so klar wird, daß Du sowas nie wieder machst.
Wie können denn zwei Vektoren (die beiden Spalten) einen Raum der Dimension 3 aufspannen?!?
Und wenn Du unbedingt über Zeilen nachdenken möchstest: die Zeilen sind Elemente des [mm] \IR^2. [/mm] Kann es da drei unabhängige Vektoren geben? Nein. Kann es nicht.
Wir halten fest: der Rang der Matrix=2. Hier sieht man's eigentlich sofort, ansonsten bekommt man das heraus, indem man die Matrix auf Zeilenstufenform bringt und die Nichtnullzeilen zählt.
> das heitß die Dimension des Bildraumes ist
> 3. Sollte das dann nicht ein 3-spaltiger Vektor sein?
Und nun wittere ich Ungemach...
Ich erkläre das mal, und falls ich nur Gespenster sehe, ist's ja auch nicht so schlimm.
Wenn Du solche Vektoren hast [mm] \vektor{1 \\ 2\\3\\4\\5}\in \IR^5 [/mm] können, egal wie viele Du davon nimmst, diese höchstens einen Raum der Dimension 5 aufspannen, nämlich den [mm] \IR^5 [/mm] selber.
Hast Du drei (von Null verschiedene) von solchen Spaltenvektoren, können sie einen Raum der Dimension 1,2 oder 3 aufspannen. Auch, wenn sie 5 Komponenten haben. Auch, wenn sie 4711 Komponenten hätten.
Mal ein anschauliches Beispiel. Gehen wir in den Anschauungsraum, den [mm] \IR^3. [/mm] Wir betrachten die Gerade in Richtung [mm] \vektor{1 \\ 2\\3}, [/mm] die durch den Ursprung geht, also [mm] <\vektor{1 \\ 2\\3}>=\lambda\vektor{1 \\ 2\\3}. [/mm] Diese Gerade ist ein UVR vom [mm] \IR^3 [/mm] - aber sie ist offensichtlich eindimensional. Nichtdestotrotz haben die Elemente dieser Geraden 3 Komponenten.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Di 08.04.2008 | | Autor: | Zuggel |
> > Ums jetzt etwas zu vertiefen, der Rang einer Matrix ist ja
> > dann die Dimension des Bildraumes von A.
> > rang(A) = dim [mm](f_{A})[/mm]
> >
> > Der Rang von
> >
> > [mm]\pmat{ 2 & 3 \\ 2 & 0 \\ -1 & 1 }[/mm]
> >
> > sollte 3 sein, da wir hier ja 3 voneinander unabhängige
> > Vektoren haben,
>
> Hallo,
>
> mein Vorredner hat dazu ja schon etwas gesagt, ich will es
> nochmal beleuchten, damit Dir die Absurdität dessen, was Du
> sagst, so klar wird, daß Du sowas nie wieder machst.
Ja das war wohl etwas zu unüberlegt
> Wenn Du solche Vektoren hast [mm]\vektor{1 \\ 2\\3\\4\\5}\in \IR^5[/mm]
> können, egal wie viele Du davon nimmst, diese höchstens
> einen Raum der Dimension 5 aufspannen, nämlich den [mm]\IR^5[/mm]
> selber.
>
Ok bis hierher kann ich dir folgen.
> Hast Du drei (von Null verschiedene) von solchen
> Spaltenvektoren, können sie einen Raum der Dimension 1,2
> oder 3 aufspannen. Auch, wenn sie 5 Komponenten haben.
> Auch, wenn sie 4711 Komponenten hätten.
>
Hier hänge ich, also ich habe jetzt 3 dieser Spaltenvektoren mit 5 Komponenten, 1 einzelner kann einen Raum von [mm] \IR^{5} [/mm] aufspannen aber 3 können nurmehr einen Raum der Dimension 1,2,3 schaffen?
Revision V.2: Also die Dimension des Bildraumes hängt, wie Kultfirus gesagt hat, vom Rang der Matrix bzw. von der Anzahl der linear unabhängigen Spaltenvektoren ab.
Ein einziger Spaltenvektor hätte dann die Form:
[mm] 1x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] 3x_{3} [/mm] + [mm] 4x_{4} [/mm] + [mm] 5x_{5} [/mm] = 0 ; deshalb auch [mm] R^5, [/mm] oder?
Sozusagen, würde ich eine Matrix mit 2 Spaltenvektoren aufstellen so ist der Raum der Dimension 2 sofern die beiden lin. unabh. und nicht Nullvekotren sind, oder?
Ich entschuldige mich für meine dumme Fragerei, aber hier mangelts echt etwas an Wissen, und Wikipedia geht nicht so genau auf diesen Bereich ein, leider (auser ich habs mal wieder verpeilt).
Ich danke für deine Geduld
lg
Zuggel
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> Ok bis hierher kann ich dir folgen.
>
> > Hast Du drei (von Null verschiedene) von solchen
> > Spaltenvektoren, können sie einen Raum der Dimension 1,2
> > oder 3 aufspannen. Auch, wenn sie 5 Komponenten haben.
> > Auch, wenn sie 4711 Komponenten hätten.
> >
>
> Hier hänge ich, also ich habe jetzt 3 dieser
> Spaltenvektoren mit 5 Komponenten, 1 einzelner kann einen
> Raum von [mm]\IR^{5}[/mm] aufspannen aber 3 können nurmehr einen
> Raum der Dimension 1,2,3 schaffen?
Hallo,
wir nehmen jetzt mal 3 Vektoren des [mm] \IR^5 [/mm] her und betrachten den von ihnen aufgespannten Raum.
A. < [mm] \vektor{1 \\ 2\\3\\4\\5},\vektor{1 \\ 2\\3\\4\\6}, \vektor{2 \\ 2\\3\\4\\6}>.
[/mm]
Der aufgespannte Raum hat die Dimension drei, denn die Vektoren sind linear unabhängig.
Prüfe es, indem Du sie in eine Matrix steckst und den Rang berechnest.
< [mm] \vektor{1 \\ 2\\3\\4\\5},\vektor{1 \\ 2\\3\\4\\6}, \vektor{2 \\ 2\\3\\4\\6}>, [/mm] die lineare Hülle der drei, ist ein dreidimensionaler Unterraum des [mm] \IR^5.
[/mm]
B. < [mm] \vektor{1 \\ 2\\3\\4\\5},\vektor{1 \\ 2\\3\\4\\6}, \vektor{2 \\ 4\\6\\8\\11}>.
[/mm]
Der aufgespannte Raum hat die Dimension zwei.
Prüfe es, indem Du sie in eine Matrix steckst und den Rang berechnest.
< [mm] \vektor{1 \\ 2\\3\\4\\5},\vektor{1 \\ 2\\3\\4\\6}, \vektor{2 \\ 4\\6\\8\\11}>, [/mm] die lineare Hülle der drei, ist ein zweidimensionaler Unterraum des [mm] \IR^5.
[/mm]
C.< [mm] \vektor{1 \\ 2\\3\\4\\5},\vektor{2 \\ 4\\6\\8\\10}, \vektor{3 \\ 6\\9\\12\\15}>.
[/mm]
Der aufgespannte Raum hat die Dimension eins, man sieht es im Grunde sofort.
Prüfe es aber auch mal, indem Du sie in eine Matrix steckst und den Rang berechnest.
< [mm] \vektor{1 \\ 2\\3\\4\\5},\vektor{1 \\ 2\\3\\4\\6}, \vektor{2 \\ 4\\6\\8\\11}>, [/mm] die lineare Hülle der drei, ist ein eindimensionaler Unterraum des [mm] \IR^5.
[/mm]
>
>
>
> Revision V.2: Also die Dimension des Bildraumes hängt, wie
> Kultfirus gesagt hat, vom Rang der Matrix bzw. von der
> Anzahl der linear unabhängigen Spaltenvektoren ab.
> Ein einziger Spaltenvektor hätte dann die Form:
> [mm]1x_{1}[/mm] + [mm]2x_{2}[/mm] + [mm]3x_{3}[/mm] + [mm]4x_{4}[/mm] + [mm]5x_{5}[/mm] = 0 ; deshalb
> auch [mm]R^5,[/mm] oder?
Hmm. Ich weiß nicht recht, ob Du das richtige meinst...
> Sozusagen, würde ich eine Matrix mit 2 Spaltenvektoren
> aufstellen so ist der Raum der Dimension 2 sofern die
> beiden lin. unabh. und nicht Nullvekotren sind, oder?
Ja. Wenn Du zwei linear unabhängige Vektoren hast, ist der von ihnen aufgespannte Raum von der Dimension zwei. Egal, ob die beiden Vektoren einem 27dimensionalen, 3dimensionalen oder zweidimensionalen Raum entstammen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Mi 09.04.2008 | | Autor: | Zuggel |
Ok, 1000 Dank.
Jedoch lese ich öfters Sachen dieses Typs; Es sei eine lineare Transformation A: R² --> R³ und B: R³ --> R² mit rang(A) = 2 und rang(B) = 2 (als Beispiel).
Da wir jetzt nur von Vektoren aus [mm] R^{n} [/mm] geredet haben und deren Raum, den sie in einer Matrix aufspannen, fehlt mir noch in dem Punkt ein direkter Zusammenhang zwischen der Schreibweise "Eine Lineare Transformation mit A R²".
Ich nehme an, die Spaltenvektoren sehen so aus:
[mm] \pmat{ x_{1} \\ x_{2} } [/mm] und [mm] \pmat{ x_{3} \\ x_{4} }
[/mm]
Wäre das dann für A folgendes:
A [mm] \pmat{ x_{1} & x_{3} \\ x_{2} & x_{4} } [/mm]
oder folgendes, welches für mich mehr Sinn ergeben würde:
A [mm] \pmat{ x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} } [/mm]
Mich hat eben die Benennung "Spaltenvektor" hier bei der Aufstellung der Matrix etwas ins Zweifeln gebracht, denn der Vektor sieht ja so aus: [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] oder eben [mm] \pmat{ x_{1} \\ x_{2} } [/mm] , somit erscheint für mich eben zweitere Matrix logischer.
B würde dann so aussehen:
A [mm] \pmat{ x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} \\ x_{5} & x_{6} } [/mm]
Ich hoffe ich bereite dir mit meiner Fragerei nicht allzugroße Kopfschmerzen  !
Ich bin dir jedenfalls unendlich dankbar für deine Gedult!
lg
Zuggel
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> Jedoch lese ich öfters Sachen dieses Typs; Es sei eine
> lineare Transformation A: R² --> R³
> rang(A) = 2
Hallo,
machen wir mal so etwas.
Wir betrachten die lineare Abbildung
[mm] f:\IR^2 \to \IR^3 [/mm] mit
[mm] f\vektor{x \\ y}:=\vektor{x-y \\2x+ y\\ 5x}.
[/mm]
Die darstellende Matrix dieser Abbildung ist [mm] A:=\pmat{ 1 & -1 \\ 2 & 1 \\ 5 & 0 },
[/mm]
denn es ist [mm] f\vektor{x \\ y}=\pmat{ 1 & -1 \\ 2 & 1 \\ 5 & 0 }\vektor{x \\ y}.
[/mm]
Überzeuge Dich davon.
Die erste Spalte der Matrix bekommt man aus [mm] f\vektor{1 \\0}, [/mm] die zweite Spalte aus [mm] f\vektor{0 \\1}.
[/mm]
Nun interessieren wir uns für das Bild von f.
Das ist der Raum, der von den beiden Spalten der Matrix aufgespannt wird,
seine Dimension solltest Du inzwischen berechnen können.
Ich hoffe, daß hiermit einiges klarer geworden ist; auf das, was Du schreibst, kann ich nur schlecht direkt eingehen, weil es sehr wirr ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Do 10.04.2008 | | Autor: | Zuggel |
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> > Jedoch lese ich öfters Sachen dieses Typs; Es sei eine
> > lineare Transformation A: R² --> R³
> > rang(A) = 2
>
> Hallo,
>
> machen wir mal so etwas.
>
> Wir betrachten die lineare Abbildung
>
> [mm]f:\IR^2 \to \IR^3[/mm] mit
>
> [mm]f\vektor{x \\ y}:=\vektor{x-y \\2x+ y\\ 5x}.[/mm]
>
> Die darstellende Matrix dieser Abbildung ist [mm]A:=\pmat{ 1 & -1 \\ 2 & 1 \\ 5 & 0 },[/mm]
>
> denn es ist [mm]f\vektor{x \\ y}=\pmat{ 1 & -1 \\ 2 & 1 \\ 5 & 0 }\vektor{x \\ y}.[/mm]
>
> Überzeuge Dich davon.
>
> Die erste Spalte der Matrix bekommt man aus [mm]f\vektor{1 \\0},[/mm]
> die zweite Spalte aus [mm]f\vektor{0 \\1}.[/mm]
>
> Nun interessieren wir uns für das Bild von f.
> Das ist der Raum, der von den beiden Spalten der Matrix
> aufgespannt wird,
> seine Dimension solltest Du inzwischen berechnen können.
[mm] \IR² [/mm] und ein 2-dimensionaler UVR der durch 2 voneinander lin. unabh. Vektoren aufgespannt wird.
Aber was bedeutet das [mm] \IR² [/mm] --> [mm] \IR³? [/mm] Was passiert dabei mit der Matrix?
(das wollte ich mit meinem wirren Text eig. fragen)
lg
Zuggel
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> > Wir betrachten die lineare Abbildung
> >
> > [mm]f:\IR^2 \to \IR^3[/mm] mit
> >
> > [mm]f\vektor{x \\ y}:=\vektor{x-y \\2x+ y\\ 5x}.[/mm]
> >
> > Die darstellende Matrix dieser Abbildung ist [mm]A:=\pmat{ 1 & -1 \\ 2 & 1 \\ 5 & 0 },[/mm]
>
> >
> > denn es ist [mm]f\vektor{x \\ y}=\pmat{ 1 & -1 \\ 2 & 1 \\ 5 & 0 }\vektor{x \\ y}.[/mm]
>
> >
> > Überzeuge Dich davon.
> >
> > Die erste Spalte der Matrix bekommt man aus [mm]f\vektor{1 \\0},[/mm]
> > die zweite Spalte aus [mm]f\vektor{0 \\1}.[/mm]
> >
> > Nun interessieren wir uns für das Bild von f.
> > Das ist der Raum, der von den beiden Spalten der Matrix
> > aufgespannt wird,
> > seine Dimension solltest Du inzwischen berechnen
> können.
>
> [mm]\IR²[/mm] und ein 2-dimensionaler UVR der durch 2 voneinander
> lin. unabh. Vektoren aufgespannt wird.
Hallo,
falls dieser Satz eine Antwort auf die Frage nach der Dimension des Bildes ist: ja, die Dimension des Bildes ist 2.
Was meinst Du mit dem [mm] \IR^2? [/mm]
Gibt es einen zweidimensionalen Raum, der nicht von zwei linear unabhängigen Vektoren aufgespannt wird?
> Aber was bedeutet das [mm]\IR²[/mm] --> [mm]\IR³?[/mm]
Es werden Elemente des [mm] \IR^2 [/mm] auf Elemente des [mm] \IR^3 [/mm] abgebildet.
> Was passiert dabei mit
> der Matrix?
Beim Abbilden passiert gar nichts mit der Matrix. Mit den Vektoren passiert etwas, und das, was mit ihnen passiert, bewirkt die Matrix.
Aber wahrscheinlich meinst Du was ganz anderes:
Weil der Startraum die Dimension 2 hat, hat die darstellende Matrix von f 2 Spalten, und weil der Zielraum die Dimension 3 hat, hat die darstellende Matrix von f 3 Zeilen.
Gruß v.Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:49 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Zuggel |
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> > > Wir betrachten die lineare Abbildung
> > >
> > > [mm]f:\IR^2 \to \IR^3[/mm] mit
> > >
> > > [mm]f\vektor{x \\ y}:=\vektor{x-y \\2x+ y\\ 5x}.[/mm]
> > >
> > > Die darstellende Matrix dieser Abbildung ist [mm]A:=\pmat{ 1 & -1 \\ 2 & 1 \\ 5 & 0 },[/mm]
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> > >
> > > denn es ist [mm]f\vektor{x \\ y}=\pmat{ 1 & -1 \\ 2 & 1 \\ 5 & 0 }\vektor{x \\ y}.[/mm]
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> >
> > >
> > > Überzeuge Dich davon.
> > >
> > > Die erste Spalte der Matrix bekommt man aus [mm]f\vektor{1 \\0},[/mm]
> > > die zweite Spalte aus [mm]f\vektor{0 \\1}.[/mm]
> > >
> > > Nun interessieren wir uns für das Bild von f.
> > > Das ist der Raum, der von den beiden Spalten der
> Matrix
> > > aufgespannt wird,
> > > seine Dimension solltest Du inzwischen berechnen
> > können.
> >
> > [mm]\IR²[/mm] und ein 2-dimensionaler UVR der durch 2 voneinander
> > lin. unabh. Vektoren aufgespannt wird.
>
> Hallo,
>
> falls dieser Satz eine Antwort auf die Frage nach der
> Dimension des Bildes ist: ja, die Dimension des Bildes ist
> 2.
>
> Was meinst Du mit dem [mm]\IR^2?[/mm]
Ich schreibe wohl immer die Hälfte von dem nieder, was ich denke, also die Vektoren sind aus [mm] \IR², [/mm] das habe ich damit gemeint.
>
> Gibt es einen zweidimensionalen Raum, der nicht von zwei
> linear unabhängigen Vektoren aufgespannt wird?
>
> > Aber was bedeutet das [mm]\IR²[/mm] --> [mm]\IR³?[/mm]
>
> Es werden Elemente des [mm]\IR^2[/mm] auf Elemente des [mm]\IR^3[/mm]
> abgebildet.
>
> > Was passiert dabei mit
> > der Matrix?
>
> Beim Abbilden passiert gar nichts mit der Matrix. Mit den
> Vektoren passiert etwas, und das, was mit ihnen passiert,
> bewirkt die Matrix.
>
> Aber wahrscheinlich meinst Du was ganz anderes:
>
> Weil der Startraum die Dimension 2 hat, hat die
> darstellende Matrix von f 2 Spalten, und weil der Zielraum
> die Dimension 3 hat, hat die darstellende Matrix von f 3
> Zeilen.
Genau das meinte ich. Dann hat die Matrix im Zielraum also eine andere Form, oder immer die Selbe? Ich betrachte also einmal 2D Vektoren im Raum, und bei der Matrix B: 3D Vektoren im 2D Raum?
lg
Zuggel
>
> Gruß v.Angela
>
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> > > > Die erste Spalte der Matrix bekommt man aus [mm]f\vektor{1 \\0},[/mm]
> > > > die zweite Spalte aus [mm]f\vektor{0 \\1}.[/mm]
> > > >
> > > > Nun interessieren wir uns für das Bild von f.
> > > > Das ist der Raum, der von den beiden Spalten der
> > Matrix
> > > > aufgespannt wird,
> > > > seine Dimension solltest Du inzwischen berechnen
> > > können.
> > >
> > > [mm]\IR²[/mm] und ein 2-dimensionaler UVR der durch 2 voneinander
> > > lin. unabh. Vektoren aufgespannt wird.
> >
> > Hallo,
> >
> > falls dieser Satz eine Antwort auf die Frage nach der
> > Dimension des Bildes ist: ja, die Dimension des Bildes ist
> > 2.
> >
> > Was meinst Du mit dem [mm]\IR^2?[/mm]
>
> Ich schreibe wohl immer die Hälfte von dem nieder, was ich
> denke, also die Vektoren sind aus [mm]\IR²,[/mm] das habe ich damit
> gemeint.
Hallo,
das stimmt doch nicht! Die Abbildung bildet doch in den [mm] \IR^3 [/mm] ab, also entstammen die Bildvektoren dem [mm] \IR^3. [/mm] (Ich rede über mein für Dich gebasteltes Beispiel - nur um auszuschließen, daß wir über verschiedene Aufgaben reden.)
> > Aber wahrscheinlich meinst Du was ganz anderes:
> >
> > Weil der Startraum die Dimension 2 hat, hat die
> > darstellende Matrix von f 2 Spalten, und weil der Zielraum
> > die Dimension 3 hat, hat die darstellende Matrix von f 3
> > Zeilen.
>
> Genau das meinte ich. Dann hat die Matrix im Zielraum also
> eine andere Form, oder immer die Selbe? Ich betrachte also
> einmal 2D Vektoren im Raum, und bei der Matrix B: 3D
> Vektoren im 2D Raum?
Hui! Du solltest Dich unbedingt anhand eines Lehrbuches, Skriptes oder was weiß ich mit den darstellenden Matrizen beschäftigen.
Die darstellende Matrix verändert sich doch unter der Abbildung nicht. Sie repräsentiert die Abbildung bzgl vorgegebener Basen, im hier besprochenen Fall stillschweigend bzgl der Standardbasis.
In den Spalten stehen die Bilder der Standardbasisvektoren. So kommt es hier zu dem Matrizenformat 3x2.
(Du hast doch zuschauen können, wie ich von der Abbildungsvorschrift zur Matrix gelangt bin.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Zuggel |
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> > > > > Die erste Spalte der Matrix bekommt man aus [mm]f\vektor{1 \\0},[/mm]
> > > > > die zweite Spalte aus [mm]f\vektor{0 \\1}.[/mm]
> > > > >
> > > > > Nun interessieren wir uns für das Bild von f.
> > > > > Das ist der Raum, der von den beiden Spalten
> der
> > > Matrix
> > > > > aufgespannt wird,
> > > > > seine Dimension solltest Du inzwischen
> berechnen
> > > > können.
> > > >
> > > > [mm]\IR²[/mm] und ein 2-dimensionaler UVR der durch 2 voneinander
> > > > lin. unabh. Vektoren aufgespannt wird.
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > falls dieser Satz eine Antwort auf die Frage nach der
> > > Dimension des Bildes ist: ja, die Dimension des Bildes ist
> > > 2.
> > >
> > > Was meinst Du mit dem [mm]\IR^2?[/mm]
> >
> > Ich schreibe wohl immer die Hälfte von dem nieder, was ich
> > denke, also die Vektoren sind aus [mm]\IR²,[/mm] das habe ich damit
> > gemeint.
>
> Hallo,
>
> das stimmt doch nicht! Die Abbildung bildet doch in den
> [mm]\IR^3[/mm] ab, also entstammen die Bildvektoren dem [mm]\IR^3.[/mm] (Ich
> rede über mein für Dich gebasteltes Beispiel - nur um
> auszuschließen, daß wir über verschiedene Aufgaben reden.)
>
[mm] f\vektor{x \\ y}:=\vektor{x-y \\2x+ y\\ 5x}
[/mm]
Wir reden über diese Matrix. Hm ich glaube ich mache hier immer noch den Fehler, dass ich x,y als Komponenten sehe und diese für mich klar aus [mm] \IR² [/mm] kommen, anstatt dass ich etwas weiter denke.
Also zur Richtigstellung stammen die Vektoren aus [mm] \IR³ [/mm] und bilden einen UVR der Dimension 2?
> > > Aber wahrscheinlich meinst Du was ganz anderes:
> > >
> > > Weil der Startraum die Dimension 2 hat, hat die
> > > darstellende Matrix von f 2 Spalten, und weil der Zielraum
> > > die Dimension 3 hat, hat die darstellende Matrix von f 3
> > > Zeilen.
> >
> > Genau das meinte ich. Dann hat die Matrix im Zielraum also
> > eine andere Form, oder immer die Selbe? Ich betrachte also
> > einmal 2D Vektoren im Raum, und bei der Matrix B: 3D
> > Vektoren im 2D Raum?
>
> Hui! Du solltest Dich unbedingt anhand eines Lehrbuches,
> Skriptes oder was weiß ich mit den darstellenden Matrizen
> beschäftigen.
>
> Die darstellende Matrix verändert sich doch unter der
> Abbildung nicht. Sie repräsentiert die Abbildung bzgl
> vorgegebener Basen, im hier besprochenen Fall
> stillschweigend bzgl der Standardbasis.
> In den Spalten stehen die Bilder der
> Standardbasisvektoren. So kommt es hier zu dem
> Matrizenformat 3x2.
> (Du hast doch zuschauen können, wie ich von der
> Abbildungsvorschrift zur Matrix gelangt bin.)
>
> Gruß v. Angela
>
Also ich muss gestehen, das ganze gehört bei uns nicht mehr so ganz zum Stoff der Prüfung, ich habe das jetzt mehr aus Eigeninteresse hinterfragt :)!
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> > das stimmt doch nicht! Die Abbildung bildet doch in den
> > [mm]\IR^3[/mm] ab, also entstammen die Bildvektoren dem [mm]\IR^3.[/mm]
>
> [mm]f\vektor{x \\ y}:=\vektor{x-y \\2x+ y\\ 5x}[/mm]
>
> Wir reden über diese Matrix.
Halt!
Wir reden über die Abbildung [mm] f:\IR^2\to \IR^3, [/mm] deren Abbildungsvorschrift
> [mm] f\vektor{x \\ y}:=\vektor{x-y \\2x+ y\\ 5x}
[/mm]
ist.
Die darstellende Matrix dieser Abbildung ist die Matrix $ [mm] A:=\pmat{ 1 & -1 \\ 2 & 1 \\ 5 & 0 } [/mm] $,
denn es ist für alle [mm] \vektor{x \\ y}\in \IR^2
[/mm]
[mm] f\vektor{x \\ y}= \pmat{ 1 & -1 \\ 2 & 1 \\ 5 & 0 }*\vektor{x \\ y}.
[/mm]
> Also zur Richtigstellung stammen die Vektoren
die Bildvektoren
> aus [mm]\IR³[/mm] und
> bilden einen UVR der Dimension 2?
Ja.
> Also ich muss gestehen, das ganze gehört bei uns nicht mehr
> so ganz zum Stoff der Prüfung, ich habe das jetzt mehr aus
> Eigeninteresse hinterfragt :)!
>
Das ist hochlobesam - und ich wundere mich über ein Mathematikstudium ohne dieses Thema.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Zuggel |
>
> > > das stimmt doch nicht! Die Abbildung bildet doch in den
> > > [mm]\IR^3[/mm] ab, also entstammen die Bildvektoren dem [mm]\IR^3.[/mm]
> >
> > [mm]f\vektor{x \\ y}:=\vektor{x-y \\2x+ y\\ 5x}[/mm]
> >
> > Wir reden über diese Matrix.
>
> Halt!
> Wir reden über die Abbildung [mm]f:\IR^2\to \IR^3,[/mm] deren
> Abbildungsvorschrift
>
> > [mm]f\vektor{x \\ y}:=\vektor{x-y \\2x+ y\\ 5x}[/mm]
>
> ist.
>
> Die darstellende Matrix dieser Abbildung ist die Matrix
> [mm]A:=\pmat{ 1 & -1 \\ 2 & 1 \\ 5 & 0 } [/mm],
>
> denn es ist für alle [mm]\vektor{x \\ y}\in \IR^2[/mm]
>
> [mm]f\vektor{x \\ y}= \pmat{ 1 & -1 \\ 2 & 1 \\ 5 & 0 }*\vektor{x \\ y}.[/mm]
>
>
> > Also zur Richtigstellung stammen die Vektoren
>
> die Bildvektoren
>
> > aus [mm]\IR³[/mm] und
> > bilden einen UVR der Dimension 2?
>
> Ja.
[mm]f\vektor{x \\ y}= \pmat{ 1 & -1 \\ 2 & 1 \\ 5 & 0 }*\vektor{x \\ y}.[/mm]
wobei die darstellende Matrix folgende ist:
[mm] A:=\pmat{ 1 & -1 \\ 2 & 1 \\ 5 & 0 }
[/mm]
Ich weiß jetzt nicht ob meine Frage völlig sinnlos ist, oder nicht, jedoch was würde passieren wenn meine darstellende Matrix jetzt so aussehen würde:
[mm] A:=\pmat{ 1 & -1& 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 5 & 0 & 2 }
[/mm]
und die Abbildungsvorschrift:
[mm]f\vektor{x \\ y}= \pmat{ 1 & -1& 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 5 & 0 & 2 }*\vektor{x \\ y \\ z}.[/mm]
Sind hier in diesem Falle die Bildvektoren nicht auch aus [mm] \IR³? [/mm] Sie sind ja in ihrer Ursprungsform im 3 Dimensionalen betrachtbar genauso wie vorhin. Sie bilden hier einen UVR der Dimension 3.
Wäre das nun eine lineare Transformation des Typs [mm] \IR³ [/mm] --> [mm] \IR³?
[/mm]
>
> > Also ich muss gestehen, das ganze gehört bei uns nicht mehr
> > so ganz zum Stoff der Prüfung, ich habe das jetzt mehr aus
> > Eigeninteresse hinterfragt :)!
> >
>
> Das ist hochlobesam - und ich wundere mich über ein
> Mathematikstudium ohne dieses Thema.
>
> Gruß v. Angela
Nicht ganz, ich studiere eigentlich Bauingenieure (ich müsste mein Profil überarbeiten), meine Fragen beziehe ich aus Analysis II (Matrizen, 3-fache Integrale und LGS). Eigentlich sollte ich die Prüfung schon längst eingesackt haben, jedoch hatte ich beim letzten mal das Pech wegen 1 Punkt nicht die Prüfung zu schaffen, da ich bei einem komplett richtig gelöstem Beispiel nicht den ganzen Rechenweg angeführt hatte.
Bei einer weiteren habe ich schlicht und einfach die kurz vor der Beantwortung der Frage (wir dürfen Unterlagen verwenden) im Kopf die Theorie über die Hesse Matrix vertauscht und das falsche angekreuzt.
Ironie des Schicksaals, leider.
Ich vertiefe zur Zeit eben den Lerninhalt; ich denke es schadet nicht, wenn man das ein oder andere mehr weiß, noch dazu macht mir das Lösen von LGS und Matrizen Spaß.
Ich danke dir für deine Antworten
lg
Zuggel
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> Ich weiß jetzt nicht ob meine Frage völlig sinnlos ist,
Hallo,
sie ist überhaupt nicht sinnlos.
> oder nicht, jedoch was würde passieren wenn meine
> darstellende Matrix jetzt so aussehen würde:
>
> [mm]A:=\pmat{ 1 & -1& 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 5 & 0 & 2 }[/mm]
>
> und die Abbildungsvorschrift:
>
> [mm]f\vektor{x \\ y}= \pmat{ 1 & -1& 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 5 & 0 & 2 }*\vektor{x \\ y \\ z}.[/mm]
>
> Sind hier in diesem Falle die Bildvektoren nicht auch aus
> [mm]\IR³?[/mm]
Richtig.
> Sie sind ja in ihrer Ursprungsform im 3 Dimensionalen
> betrachtbar genauso wie vorhin. Sie bilden hier einen UVR
> der Dimension 3.
Ja.
> Wäre das nun eine lineare Transformation des Typs [mm]\IR³[/mm] -->
> [mm]\IR³?[/mm]
Richtig.
>
> Nicht ganz, ich studiere eigentlich Bauingenieure
Achso. Dann wundere ich mich nicht so.
> (ich
> müsste mein Profil überarbeiten),
Ja, das wäre eine gute Idee. Manchmal ist es schon gut, so etwas zu wisen.
Gruß v. Angela
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