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Guten Morgen
Ich habe eine Frage zu einem konkreten Beispiel einer bedingten Erwartung. Wir haben folgende Definition einer bedingten Erwartung:
Sei [mm] $(\Omega, \mathcal{F},P)$ [/mm] ein Wahrscheinlichkeitsraum und $X$ eine integrierbare Zufallsvariable und [mm] $\mathcal{G}$ [/mm] eine Teil [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] von [mm] $\mathcal{F}$. [/mm] Dann existiert eine Zufallsvariable $Z$ mit
1. $Z$ is [mm] $\mathcal{G}$ [/mm] messbar und integrierbar
2. [mm] $E[Z\mathbf1_G]=E[X\mathbf1_G]$ [/mm] für alle [mm] $G\in\mathcal{G}$.
[/mm]
Nun habe ich ein [mm] $A\in\mathcal{F}$ [/mm] mit $P[A]>0$. Ich bin an $E[X|A]$ interessiert. Dabei ist dies ja zu verstehen, als die von $A$ erzeugte [mm] $\sigma$-Algebra. [/mm] Es wird nun behauptet, dass dies keine Zufallsvariable mehr ist, sonder einfach eine reelle Zahl und die Form hat [mm] $E[X|A]=\frac{E[X\mathbf1_A]}{P[A]}$. [/mm] Wieso?
Herzlichen Dank für die Klärung.
Liebe Grüsse
marianne88
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:23 Do 27.06.2013 | | Autor: | Fry |
Hallo!
Die Formel stimmt nicht so ganz. Es gilt
[1] [mm]E(X|A)=\frac{E[X*1_A]}{P(A)}*1_A+\frac{E[X*1_{A^c}]}{P(A^c)}*1_{A^c}[/mm].
Begründung: Sei Z:=E(X|A))
Dann gilt ja wegen 1. für [mm]b\in\mathbb R[/mm], dass [mm]Z^{-1}(\{b\})\in\{\emptyset,A,A^c,\Omega\}[/mm].
Damit ist Z konstant auf A und [mm] A^c, [/mm] nimmt also nur zwei Werte x (auf A) und y (auf [mm] A^c) [/mm] an,
d.h. [2] [mm]Z=x*1_A+y*1_{A^c}[/mm].
Nach 2. ist [mm]E[X*1_A]=E[Z*1_A]=E[x*1_A]=x*P(A)[/mm]
und [mm]E[X*1_{A^c}]=E[Z*1_{A^c}]=E[y*1_{A^c}]=y*P(A^c)[/mm]
Löst man nun nach x und y auf und ersetzt in [2] x und y entsprechend, erhält man [1].
Viele Grüße,
Christian
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