Aufgabe zur Äquivalenzrelation < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Relation [m]R[/m] definiert durch
[m]mRn :\gdw [/m] [m]m[/m] und [m]n[/m] haben in der Dezimaldarstellung gleich viele Ziffern
ist eine Äquivalenzrelation.
Führende Nullen natürlich bei der Ziffernanzahl nicht mitgezählt.
Leiten Sie eine Formel für [m]|[n]|[/m] her, wobei [m]n[/m] in der Dezimaldarstellung [m]k[/m] Ziffern hat.
Das Ergebnis ist durch Ausklammern soweit wie möglich zu vereinfachen (alles natürlich mit Text und Begründungen). |
Hallo zusammen,
ich verstehe diese Aufgabe einfach nicht.
Ich weiß, was eine Relation ist und welche Eigenschaften Relationen haben können, aber diese Aufgabe verstehe ich einfach nicht.
Wie soll ich eine Formel für die Mächtigkeit der Äquivalenzklasse von n herleiten, wobei n in der Dezimaldarstellung k Ziffern hat?
Freue mich über Vorschläge/Ratschläge/Tipps!
Vielen Dank im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 So 06.04.2014 | | Autor: | hippias |
Vielleicht ist ein Beispiel hilfreich: Die Zahlen $123$ und $-5,01$ werden hier als aequivalent betrachtet, denn ihre Dezimaldarstellung hat jeweils $3$ Ziffern.
Du sollst Dir nun ueberlegen wieviele Zahlen es gibt, deren Dezimaldarstellung $k$ Ziffern hat.
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Hallo.
Ok, ich weiß dass es im Dezimalsystem 10 Ziffern gibt.
Sei also [m]n \in \IN[/m] mit [m]n = x_1x_2 ... x_k[/m] mit [m]x_i \in \{0,...9\}[/m] für [m]i=1,...,10[/m] also ist die Mächtigkeit 10.
Komme ich hier evtl. mit dem Binomalkoeffizienten weiter?
Ich möchte hier also drei Ziffern aus einer Menge von 10 Ziffern
in einer Reihenfolge ohne Zurücklegen (wegen Äquivalenzrelation) bestimmen,
also bestimme ich die Anzahl der Möglichkeiten eben diese anzuordnen:
[mm] \binom{n}{k} [/mm] = [mm] \frac{n!}{k! \, (n-k)!} [/mm] mit [m]n=10, k=3[/m], da ich aus einer 10-elementigen Menge 3 Elemente (drei Ziffern) auswähle.
Also habe ich [m]\binom{10}{3} = \frac{10!}{3! \, 7!} = 120[/m]
Freue mich über Feedback.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Mo 08.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo gummibaum,
ich blicke bei Dir gerade nicht durch:
> Hallo.
>
> Ok, ich weiß dass es im Dezimalsystem 10 Ziffern gibt.
>
> Sei also [m]n \in \IN[/m] mit [m]n = x_1x_2 ... x_k[/m] mit [m]x_i \in \{0,...9\}[/m]
> für [m]i=1,...,10[/m] also ist die Mächtigkeit 10.
die Menge [mm] $\{0,...,9\}$ [/mm] hat Mächtigkeit 10. Aber darum geht es doch gar
nicht.
> Komme ich hier evtl. mit dem Binomalkoeffizienten weiter?
>
> Ich möchte hier also drei Ziffern aus einer Menge von 10
> Ziffern
> in einer Reihenfolge ohne Zurücklegen (wegen
> Äquivalenzrelation)
Da verstehe ich Deinen Gedankengang nicht. Was hat ÄR mit "ohne Zurücklegen"
zu tun?
> bestimmen,
> also bestimme ich die Anzahl der Möglichkeiten eben diese
> anzuordnen:
>
> [mm]\binom{n}{k}[/mm] = [mm]\frac{n!}{k! \, (n-k)!}[/mm] mit [m]n=10, k=3[/m], da
> ich aus einer 10-elementigen Menge 3 Elemente (drei
> Ziffern) auswähle.
>
> Also habe ich [m]\binom{10}{3} = \frac{10!}{3! \, 7!} = 120[/m]
>
> Freue mich über Feedback.
Ich nehme jetzt, weil zu der anderen Variante schon etwas gesagt wurde,
mal an, dass [mm] $R\,$ [/mm] eine Äquivalenzrelation auf [mm] $\IN$ [/mm] sei. Dann ist die Sache
doch relativ einfach:
[mm] $a\,R\,b$ $\gdw$ $a,b\,$ [/mm] haben gleich viele Ziffern.
[mm] ($a\;R\;b$ [/mm] bedeutet nichts anderes als $(a,b) [mm] \in R\,.$)
[/mm]
Es ist also
[mm] $23\;R\;99,$
[/mm]
aber sicherlich nicht
[mm] $11\;R\;100\,.$
[/mm]
So, jetzt überlege Dir mal:
Du willst nun etwa
[mm] $[176]\,$
[/mm]
bestimmen. Das sind alle dreistelligen Zahlen in Dezimaldarstellung. Wir
machen erstmal einen Lapsus und sagen:
Naja, würden wir führende Nullen mitzählen dürfen, so kämen alle Zahlen
von [mm] "$000\,$" [/mm] bis $999$ in Frage. Das sind
$10*10*10=1000$
Zahlen. Jetzt darf aber etwa [mm] $10=010\,$ [/mm] nicht geschrieben werden. Also
müssen wir solche Zahlen entfernen:
[mm] $[176]=\{0,...,999\} \setminus \{0,...,99\}$
[/mm]
Wir haben also [mm] $1000-100=900\,$ [/mm] Zahlen in [mm] $[176]\,.$ [/mm]
Wie kann man das noch berechnen? Eine Zahl, die in der gleichen Äquivalenzklasse
wie [mm] $176\,$ [/mm] liegt, hat 3 Ziffern. Die erste Ziffer muss aus der 9(!)-elementigen
Menge [mm] $\{1,...,9\}$ [/mm] gewählt werden, die restlichen beiden dürfen aus der
[mm] $10\,$(!)-elementigen [/mm] Menge [mm] $\{0,...,9\}$ [/mm] gewählt werden. Es gibt also
[mm] $9*10*10=900\,$
[/mm]
solcher Zahlen.
Jetzt verallgemeinere dies, wenn
$n [mm] \in \IN$
[/mm]
eine Zahl ist, die in Dezimaldarstellung entsprechend der vorgegebenen
Zählung in der Aufgabe aus [mm] $k\,$ [/mm] Ziffern besteht!
(Anders gesagt: Es ist [mm] $|[n]|=|[10^k]|$ [/mm] gesucht - bei mir ist $0 [mm] \notin \IN$! [/mm] Warum darf
ich das behaupten? Naja, [mm] $10^k$ [/mm] hat [mm] $k\,$ [/mm] Ziffern, das sind eben so viele, wie
[mm] $n\,$ [/mm] haben soll... Und [mm] $10^k$ [/mm] beginnt mit $1 [mm] \not=0$ [/mm] in Dezimaldarstellung!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mo 08.09.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:29 Mo 08.09.2014 | | Autor: | gummibaum |
Hallo zusammen.
Leider wurde die Frage wieder auf statuslos gesetzt.
Kann mir hier jemand helfen?
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Die Frage ist, ob n und m nur natürliche Zahlen oder, wie bereits beispielhaft gezeigt, auch Kommazahlen sein dürfen.
Im zweiten Fall gehst du so vor:
Betrachte alle Zahlen, die nur eine Ziffer vorm Komma haben. Bei diesen darf auch die 0 als Ziffer auftreten, nach dem Komma stehen noch n-1 Ziffern. Beispiel: n=5. Dann heißt die kleinste Zahl 0,0001 und die größte von diesen 9,9999.
Als nächstes betrachtest du alle Zahlen mit 2 Stellen vorm Komma. Diese sehen genau so aus wie die anderen, nur mit verschiedener Komma-Position, und ohne die, die mit 0 anfangen, den 03,321 hat nur 4 Ziffern, aber 23,321 fünf.
Die letzte Betrachtung führst du weiter, bis alle n Stellen vorm Komma stehen.
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