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Allgemeine Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:50 Fr 10.06.2016
Autor: Ice-Man

Aufgabe
Ermitteln Sie die allgemeine Lösung der DGL.

[mm] x^{2}y''+5xy'+4y=2lnx+6 [/mm]

Hallo,

ich habe mal bitte eine Frage, denn ich komme nicht auf die partikuläre Lösung.

Mein Ansatz für die homogene Lösung,

[mm] x^{2}y''=\bruch{d^{2}y}{d^{2}t}-\bruch{dy}{dt} [/mm]

[mm] xy'=\bruch{dy}{dt} [/mm]

[mm] \bruch{d^{2}y}{d^{2}t}-\bruch{dy}{dt}+5\bruch{dy}{dt}+4y=0 [/mm]

[mm] \lambda^{2}+4\lambda+4=0 [/mm]

[mm] \lambda_{1,2}=-2 [/mm]

[mm] y_{H}=\bruch{1}{x^{2}}(C_{1}+C_{2}lnx) [/mm]

Und dann hat mir mein Professor gesagt das ein guter Ansatz für die partikuläre Lösung [mm] x=e^{t} [/mm] ist.

Also wäre es...

[mm] y_{P}=2lnx+6 [/mm]

[mm] y_{P}=2ln(e^{t})+6=2t+6 [/mm]

Nur das ist ja Unsinn...

Denn ich muss ja als [mm] y_{P}=\bruch{1}{2}lnx+1 [/mm] erhalten.

Zumindest nach meinen Lösungsvorgaben betrachtet.

Kann mir evtl. bitte jemand sagen wo mein Fehler ist?

Vielen Dank schon einmal.

        
Bezug
Allgemeine Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:48 Fr 10.06.2016
Autor: HJKweseleit


> Ermitteln Sie die allgemeine Lösung der DGL.
>  
> [mm]x^{2}y''+5xy'+4y=2lnx+6[/mm]
>  Hallo,
>  
> ich habe mal bitte eine Frage, denn ich komme nicht auf die
> partikuläre Lösung.
>  
> Mein Ansatz für die homogene Lösung,
>  
> [mm]x^{2}y''=\bruch{d^{2}y}{d^{2}t}-\bruch{dy}{dt}[/mm]


>  
> [mm]xy'=\bruch{dy}{dt}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{d^{2}y}{d^{2}t}-\bruch{dy}{dt}+5\bruch{dy}{dt}+4y=0[/mm]
>  
> [mm]\lambda^{2}+4\lambda+4=0[/mm]
>  
> [mm]\lambda_{1,2}=-2[/mm]
>  
> [mm]y_{H}=\bruch{1}{x^{2}}(C_{1}+C_{2}lnx)[/mm]
>  
> Und dann hat mir mein Professor gesagt das ein guter Ansatz
> für die partikuläre Lösung [mm]x=e^{t}[/mm] ist.


Nein.


Wähle [mm] y=\bruch{1}{2}*ln(x)+a. [/mm]

Setze das ein. Du erhältst a=1.


>  
> Also wäre es...
>  
> [mm]y_{P}=2lnx+6[/mm]
>  
> [mm]y_{P}=2ln(e^{t})+6=2t+6[/mm]
>  
> Nur das ist ja Unsinn...
>  
> Denn ich muss ja als [mm]y_{P}=\bruch{1}{2}lnx+1[/mm] erhalten.
>  
> Zumindest nach meinen Lösungsvorgaben betrachtet.
>  
> Kann mir evtl. bitte jemand sagen wo mein Fehler ist?
>  
> Vielen Dank schon einmal.


Bezug
                
Bezug
Allgemeine Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:55 Fr 10.06.2016
Autor: Ice-Man

Ok,

und woher weis ich das ich [mm] y=\bruch{1}{2}ln(x)+a [/mm] einsetzen muss?

Bezug
                        
Bezug
Allgemeine Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:33 Sa 11.06.2016
Autor: M.Rex

Hallo

Das es etwas mit dem [mm] \ln(x) [/mm] zu tun haben muss, siehst du ja daran, dass die Ableitung des [mm] \ln(x) [/mm] ja [mm] \frac{1}{x} [/mm] ist, und die zweite Ableitung dann [mm] -\frac{1}{x^{2}} [/mm]

Damit Kürzen sich dann auf der linken Seite die Terme [mm] x^{2}\cdot y^{''} [/mm] und [mm] x\cdot y^{'} [/mm] zu Summanden heraus, die von x unabhängig sind, und damit dann zusammen die 6 ergeben.

Den noch fehlenden Vorfaktor bekommst du dann sicher auch schnell heraus.

Marius

Bezug
                                
Bezug
Allgemeine Lösung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:41 Sa 11.06.2016
Autor: Ice-Man

Ich habe meinen Fehler gefunden..
War einfach nur ein grober Verständnisfehler von mir.

Aber auf jeden Fall vielen Dank für eure Hilfe.

Bezug
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