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Forum "Trigonometrische Funktionen" - Ableitung und Stammfkt.
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Ableitung und Stammfkt.: Ergebnisse + Aufgaben
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:42 Do 18.05.2006
Autor: night

Aufgabe
f(x) = sin(x) * tan(x)   Ableitung
f(x) = 2/tan(x)       Ableitung
f(x) = [mm] tan^2(x) [/mm]      Ableitung
f(x) = 1/2 tan(2x)     !Stammfkt. und Ableitung
f(x) = 1/tan(x)    Stammfkt
f(x) = 2*sin(x) * cos(x)    Stammfkt und Ableitung

hi,
wollte fragen ob die ergebnisse richtig sind und ob mir jemand bei verschiedenen aufgaben tipps geben kann

f´(x) = cos(x) * [mm] 1/cos^2(x) [/mm]
ist das richtig oder müssen produkte immer mit der Produktregel abgeleitet werden? dann wäre es doch  

f´(x)= cos(x) * tan(x) + sin(x) [mm] *1/cos^2(X)? [/mm]


bei der 2 fkt weiß ich leider nicht wie ich vorgehen muss (gehts auch ohne Quotientenregel?)

3.

f´(x)= 1 / [mm] cos^4(x)? [/mm]

4.
f´(x)= tan(2x) * [mm] 1/cos^2(x) [/mm] oder gehts nur mit produktregel?

Stammfkt.  F(x)=  -1/4 *ln(cos(2x) * (-sin(2x) * 2

5.

F(x) =  ?

6. F(x) = ?
f´(x)= ?

ich hoffe ich bekomme hilfe

vielen dank

mfg Daniel



        
Bezug
Ableitung und Stammfkt.: Korrekturen + Tipps
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:06 Do 18.05.2006
Autor: Loddar

Hallo Daniel!


> f´(x) = cos(x) * [mm]1/cos^2(x)[/mm]

[notok] Siehe unten!


> ist das richtig oder müssen produkte immer mit der
> Produktregel abgeleitet werden? dann wäre es doch  
>
> f´(x)= cos(x) * tan(x) + sin(x) [mm]*1/cos^2(X)?[/mm]

Das sieht schon viel besser aus und ist richtig [ok] !

Ja, bei Teilfunktion, die miteinander multipliziert werden, grundsätzlich die MBProduktregel anwenden.




> bei der 2 fkt weiß ich leider nicht wie ich vorgehen muss
> (gehts auch ohne Quotientenregel?)

Du kannst auch die Funktion umschreiben zu:

$f(x) \ = \ [mm] \bruch{2}{\tan(x)} [/mm] \ = \ [mm] 2*\left[\tan(x)\right]^{-1}$ [/mm]

Nun MBPotenzregel in Verbindung mit der MBKettenregel.




> 3.
> f´(x)= 1 / [mm]cos^4(x)?[/mm]

[notok] Wie kommst Du denn darauf? Hier musst Du mit der MBKettenregel arbeiten.




> 4.
>  f´(x)= tan(2x) * [mm]1/cos^2(x)[/mm] oder gehts nur mit
> produktregel?

Da es sich bei [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] lediglich um einen konstanten Faktor handelt, ist hier die MBProduktregel nicht erforderlich.

Allerdings hast Du hier die MBKettenregel falsch angewandt.

  
> Stammfkt.  F(x)=  -1/4 *ln(cos(2x) * (-sin(2x) * 2

Von der Idee her ist das gar nicht sooo schlecht, allerdings falsch.
Was hast Du denn hier gerechnet?

$f(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\tan(2x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{\sin(2x)}{\cos(2x)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{\red{-2}*\sin(2x)}{\cos(2x)}*\red{\left(-\bruch{1}{2}\right)} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{4}*\bruch{-2*\sin(2x)}{\cos(2x)}$ [/mm]

Und nun haben wir einen Bruch, bei dem der Zähler exakt der Ableitung des Nenners entspricht. Also Substitution: $z \ := \ [mm] \cos(2x)$ [/mm] .




> 5.
>  
> F(x) =  ?

$f(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{\tan(x)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\bruch{\sin(x)}{\cos(x)}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\cos(x)}{\sin(x)}$ [/mm]

Und nun haben wir wieder einen Bruch, bei dem der Zähler exakt der Ableitung des Nenners entspricht. Also Substitution: $z \ := \ [mm] \sin(x)$ [/mm] .




> 6. F(x) = ?
> f´(x)= ?

Ableitung mit der MBProduktregel .

Stammfunktion mit Substitution.

Alternativ kann man auch umschreiben wegen Additionstheorem:

$f(x) \ = \ [mm] 2*\sin(x)*\cos(x) [/mm] \ = \ [mm] \sin(2x)$ [/mm]



Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Ableitung und Stammfkt.: Ergenisse!
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:34 Do 18.05.2006
Autor: night

Aufgabe
...

bei der 2 fkt.

f`(x) = -2*tan(x)^-2 * 1/cos2

3.
[mm] tan^2(x) [/mm] = tan(x) *tan(x) oder? kann ich das nicht mit der pr ableiten ...wie funktioniert die kettenregel hier?

4.
f´(x) = -1/4 ln (cos(2x))
hatte mich eben verschrieben

5.
und wie funktioniert das mit der Substitution?
cos(x) / z  gehts nicht einfacher?
vielleicht auch Additionstheorem


6.
f´(x) = 2* sin(2x) * cos(2x)
Additionstheorem

F(x) = -cos(2x)*1/2

eine Anmerkung!

du solltest Lehrer werden, bei den vielen subjektiven und auch teilweise üblen Lehrer werden so leute wie du gebraucht....tolles Engagement

mfg Daniel

danke


Bezug
                        
Bezug
Ableitung und Stammfkt.: weitere Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:57 Do 18.05.2006
Autor: Loddar

Hallo Daniel!


>  bei der 2 fkt.
>  
> f'(x) = -2*tan(x)^-2 * 1/cos2

[ok]




> 3.
> [mm]tan^2(x)[/mm] = tan(x) *tan(x) oder? kann ich das nicht mit der
> pr ableiten ...wie funktioniert die kettenregel hier?

Du kannst das gerne mit der MBProduktregel machen.


Aber es geht etwas einfacher mit der MBKettenregel:

$f'(x) \ = \ [mm] 2*\tan^1(x)*\left[\tan(x)\right]' [/mm] \ = \ [mm] 2*\tan(x)*\bruch{1}{\cos^2(x)}$ [/mm]




> 4.
> f´(x) = -1/4 ln (cos(2x))
> hatte mich eben verschrieben

[ok] Sieht besser aus ...



  
> 5.
> und wie funktioniert das mit der Substitution?
> cos(x) / z  gehts nicht einfacher?
> vielleicht auch Additionstheorem

Hm, wenn Ihr Substitution noch nicht hattet, mach' es wie bei der Aufgabe davor ... denn auch hier haben wir ja wieder im Zähler die Ableitung des Nenners.




> 6.
> f´(x) = 2* sin(2x) * cos(2x)

Das stimmt nicht [notok] .

Wenn Du $f(x) \ = \ [mm] \sin(2x)$ [/mm] ableitest, entsteht daraus: $f'(x) \ = \ [mm] \cos(2x)*2 [/mm] \ = \ [mm] 2*\cos(2x)$ [/mm] .


> F(x) = -cos(2x)*1/2

[ok] Genau ...

  
> eine Anmerkung!
>  
> du solltest Lehrer werden, bei den vielen subjektiven und
> auch teilweise üblen Lehrer werden so leute wie du
> gebraucht....tolles Engagement

[lol] Danke für die Blumen! Aber nee, der Zug ist in meinem Alter so langsam abgefahren ...


Gruß
Loddar

Bezug
        
Bezug
Ableitung und Stammfkt.: Substitution
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 21:38 Do 18.05.2006
Autor: night

Aufgabe
...
f(x)= 1/x+3

f(x) = [mm] 2x+4/2x^2+3 [/mm]

habe keine ahnung ob die beiden fkts. geeignet sind

wir hatten Substitution schon aber ich komme nicht damit klar!

bezogen auf diesen vor Faktor damit die Funktion nicht verändert wird...
also muss bei der Substitution immer der Zähler die Ableitung vom Nenner sein?!

nun wenn es nicht so einfach möglich ist wie bei cos(x)/sin(x) was mache ich dann.....?
irgendetwas davor setzen und genau damit komme ich nicht klar auch nicht bei gebrochenrationalen fkts.

wäre richtig gut wenn du mir dort helfen könntest

mfg Daniel
Bezug
                
Bezug
Ableitung und Stammfkt.: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:22 Mo 22.05.2006
Autor: matux

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