matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenSonstigesInduktion
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Sonstiges" - Induktion
Induktion < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Induktion: x^3 - x
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:38 Di 12.12.2017
Autor: sancho1980

Hallo!
Ich versuche mich an noch einem anderen induktiven Beweis. Diesmal soll gezeigt werden, dass

[mm] (x^3 [/mm] - x) mod 6 = 0

Im Prinzip sollte es doch darauf hinauslaufen, dass man zeigt, dass

(x + [mm] 1)^3 [/mm] - (x + 1) = [mm] a(x^3 [/mm] - x) mit a [mm] \in \IN, [/mm] oder?

Krieg ich aber wieder mal nicht gebacken :-(

Gruß und Danke,
Martin

        
Bezug
Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:45 Di 12.12.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Im Prinzip sollte es doch darauf hinauslaufen, dass man
> zeigt, dass
>  
> (x + [mm]1)^3[/mm] - (x + 1) = [mm]a(x^3[/mm] - x) mit a [mm]\in \IN,[/mm] oder?

Nein, wie kommst du darauf?
Diesmal ist es eigentlich noch viel einfacher… es gilt: [mm] $(x+1)^3 [/mm] - (x+1) = x(x+1)(x+2)$

Nun zeige // überlege: x(x+1)(x+2) ist durch 2 und durch 3 teilbar… damit ist es auch durch 6 teilbar und damit ist $x(x+1)(x+2) = [mm] (x+1)^3 [/mm] - (x+1) [mm] \text{ mod } [/mm] 6 = 0$

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Induktion: keine VI
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:59 Di 12.12.2017
Autor: HJKweseleit

Hallo Gonozal,

dein Beweis ist aber kein Beweis per V.I., da er nicht auf die Induktionsveraussetzung zurückgreift.

Ohne VI geht's noch einfacher:

[mm] x^3-x=x(x^2-1)=x(x+1)(x-1), [/mm] und von den 3 aufeinanderfolgenden Zahlen ist mindestens eine gerade und mindestens eine eine Dreierzahl, somit ist das Produkt durch 2 und 3, also auch durch 6 teilbar.

Mit VI sollte das so aussehen:

x=1:    
[mm] 1^3-1 [/mm] = 0 = 0 mod 6 (man kann sogar mit x=0 anfangen)

[mm] x\mapsto [/mm] x+1:
[mm] (x+1)^3-(x+1)= x^3+3x^2+3x+1-x-1=(x^3-x)+3(x^2+x)=(x^3-x)+3x(x+1) [/mm]
Nach IV ist der 1. Summand (=1. Klammer) 0 mod 6.
3x(x+1) ist durch 3 und auch durch 2 teilbar, da x und x+1 zwei aufeinanderfolgende Zahlen sind, von denen eine gerade sein muss. Somit ist 3x(x+1) auch durch 6 teilbar, also ebenfalls 0 mod 6. Damit ist der gesamte Ausdruck 0 mod 6.

Bezug
                        
Bezug
Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:48 Di 12.12.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> dein Beweis ist aber kein Beweis per V.I.,

Das sehe ich anders…

> da er nicht auf die Induktionsveraussetzung zurückgreift.

Das muss er formal auch gar nicht.
Zu zeigen ist laut vollständiger Induktion für eine Aussage A(n), dass die Implikation $A(n) [mm] \Rightarrow [/mm] A(n+1)$ wahr ist.

Ist $A(n+1)$ als wahr gezeigt, so ist $A(n) [mm] \Rightarrow [/mm] A(n+1)$ wahr und damit gezeigt.

Damit gilt nach dem Prinzip der vollst. Induktion $A(n), [mm] n\in\IN$ [/mm] als gezeigt.

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:41 Di 12.12.2017
Autor: HJKweseleit


> Hiho,
>  
> > dein Beweis ist aber kein Beweis per V.I.,
> Das sehe ich anders…
>  
> > da er nicht auf die Induktionsveraussetzung zurückgreift.
>  Das muss er formal auch gar nicht.

Das sehe ich wieder anders.

Wenn ich mal genau so argumentieren wollte, könnte ich sagen: Jeder Beweis für alle natürliche Zahlen ist ein Beweis per V.I., denn wenn die Aussage für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt, gilt auch  [mm]A(n) \Rightarrow A(n+1)[/mm]. Außerdem ist jeder direkte Beweis auch dann ein indirekter, denn aus A [mm] \Rightarrow [/mm] B folgt [mm] \neg [/mm] B [mm] \Rightarrow \neg [/mm] A.

Für mich ist die V.I. ein BeweisVERFAHREN, genau so wie der indirekte Beweis.


>  Zu zeigen ist laut vollständiger Induktion für eine
> Aussage A(n), dass die Implikation [mm]A(n) \Rightarrow A(n+1)[/mm]
> wahr ist.
>
> Ist [mm]A(n+1)[/mm] als wahr gezeigt, so ist [mm]A(n) \Rightarrow A(n+1)[/mm]
> wahr und damit gezeigt.

Wozu dann n+1 statt n?
Wenn ich beweise, dass [mm] (a+1)^2 [/mm] = [mm] a^2+2a+1 [/mm] ist, ist es ein direkter Beweis, wenn ich aber [mm] (a+1+1)^2=(a+2)^2=a^2+4a+4=a^2+2a+1+2a+2+1=(a+1)^2+2(a+1)+1 [/mm] schreibe, ist es V.I.?
Oder wenn ich schreibe: "von n und n+1 ist eine der beiden Zahlen gerade" ist es eine normale Aussage, bei "von n+1 und n+2 ist eine der beiden Zahlen gerade" ist es V. I.?


>  
> Damit gilt nach dem Prinzip der vollst. Induktion [mm]A(n), n\in\IN[/mm]
> als gezeigt.
>  
> Gruß,
>  Gono


Bezug
                                        
Bezug
Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:17 Di 12.12.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,


> Wenn ich mal genau so argumentieren wollte, könnte ich
> sagen: Jeder Beweis für alle natürliche Zahlen ist ein
> Beweis per V.I., denn wenn die Aussage für alle n [mm]\in \IN[/mm]
> gilt, gilt auch  [mm]A(n) \Rightarrow A(n+1)[/mm].

Korrekt.

> Außerdem ist jeder direkte Beweis auch dann ein indirekter, denn aus A
> [mm]\Rightarrow[/mm] B folgt [mm]\neg[/mm] B [mm]\Rightarrow \neg[/mm] A.

Nein, aber eigentlich ist das der Sinn hinter einem indirekten Beweis… man zeigt [mm] $\neg [/mm] B [mm] \Rightarrow \neg [/mm] A$ und folgert daraus eben, dass dann auch $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ gilt.
Das trifft das Problem gerade aber nicht… sondern eher folgendes:

Für einen indirekten Beweis ist zu zeigen: [mm] $\neg [/mm] A [mm] \Rightarrow \neg [/mm] B$.
Ist [mm] $\neg [/mm] B$ nun eine Tautologie, würdest du diesen indirekten Beweis dann als "korrekt" ablehnen, weil du [mm] $\neg [/mm] A$ gar nicht benötigst?

> Für mich ist die V.I. ein BeweisVERFAHREN, genau so wie
> der indirekte Beweis.

Da stimme ich zu.

> Wozu dann n+1 statt n?

Das ist tatsächlich die Frage bei dieser Aufgabe…

Mal ein anderes Beispiel: Die Definition der Stetigkeit in [mm] $x_0$ [/mm] mit [mm] $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium, [/mm] die da bekanntermaßen lautet:

[mm] $\forall\varepsilon>0\;\exists\delta>0\;\;|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(x) - [mm] f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm]

Nun möchte man das für die Funktion $f [mm] \equiv [/mm] 0$ zeigen.

Da gilt bekanntermaßen: $|f(x) - [mm] f(x_0)| [/mm] = 0 < [mm] \varepsilon$ [/mm] und das ganz ohne die "Voraussetzung" [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] benutzt zu haben.
Ist die Implikation deswegen nicht gezeigt und die Funktion deswegen nicht stetig? Natürlich ist sie das trotzdem :-)

Und genau darauf wollte ich hinau: Rein formal ist bei der VI zu zeigen, dass "$A(n) [mm] \Rightarrow [/mm] A(n+1)$" gilt.
Zeigt man nun, dass A(n+1) allgemeingültig ist, so erfüllt das rein formal die Anforderungen der VI, sofern man einen Induktionsanfang findet.

Gruß,
Gono.

Bezug
                                                
Bezug
Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:04 Mi 13.12.2017
Autor: HJKweseleit


>  Zeigt man nun, dass A(n+1) allgemeingültig ist, so
> erfüllt das rein formal die Anforderungen der VI, sofern
> man einen Induktionsanfang findet.

Woazu braucht man dann einen Induktionsanfang, wenn man zeigt, dass A(n+1) gilt, ohne das aus "A(n) gilt" zu folgern?
Man muss dann nur fordern, dass es auch für n=0 gilt, und damit gilt es für alle Zahlen ab 1.

Wie kann etwas, das für alle n+1 gilt, ohne dass man es aus der Gültigkeit von A(n) gefolgert hat, nicht für alle n>1 gelten? Muss es doch dann automatisch. Und wozu benutze ich dann n+1 und nicht n im Beweis? Und wenn ich das dann tue: Was hat das noch mit V.I. zu tun?

Nochmal als Beispiel: Quadriert man eine gerade Zahl a, so ist das Ergebnis ebenfalls gerade.

Beweis ohne VI:
a gerade [mm] \Rightarrow [/mm] a=2n [mm] \Rightarrow a^2=4n^2=2(2n^2) [/mm] gerade.

Beweis mit VI nach Deiner Auffassung:
a gerade [mm] \Rightarrow [/mm] a=2(n+1) [mm] \Rightarrow a^2=4(n+1)^2=2(2(n+1)^2) [/mm] gerade.

Die Voraussetzung wurde nicht gebraucht, trotzdem ist es richtig. Ja. Aber was hat dieser Beweis im Entferntesten mit VI zu tun? Man braucht weder den Induktionsanfang, noch den Induktionsschritt n [mm] \mapsto [/mm] n+1.

Natürlich kann man sagen: Na, dann wurde das alles nicht gebraucht, so wie man bei deinem Stetigkeitsbeweis eben das [mm] \delta [/mm] nicht braucht. Aber dann kann ich auch sagen, dass mein obiges Beispiel ein Stetigkeitsbeweis ist, bei dem ich gerade mal die Stetigkeit, das [mm] \delta [/mm] und das [mm] \varepsilon [/mm] nicht brauchte.

Ein VI-Beweis ist ein solcher, bei dem in irgendeiner Weise benutzt wird, dass die Aussage vom Vorgänger auf den Nachfolger übertragen wird.

Wenn ich zeigen will, dass [mm] 7^n [/mm] - 1 teilbar durch 6 ist, kann ich eine "Polynomdivision" [mm] (7^n [/mm] - 1):(7 - 1) = [mm] 7^{n-1}+7^{n-2}+... [/mm] durchführen, und das ist kein Beweis durch VI.

Sage ich aber: Stimmt für n=1, soll für n stimmen, also [mm] 7^n [/mm] - 1 = 6k, damit gilt dann

[mm] 7^{n+1}-1= 7^{n+1}-7+6 [/mm] = [mm] 7(7^n-1)+6 [/mm] =(IV)k*6+6=(k+1)*6,

dann ist es ein Beweis mit VI!



Bezug
        
Bezug
Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:09 Di 12.12.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo!
> Ich versuche mich an noch einem anderen induktiven Beweis.
> Diesmal soll gezeigt werden, dass

>

> [mm](x^3[/mm] - x) mod 6 = 0

>

> Im Prinzip sollte es doch darauf hinauslaufen, dass man
> zeigt, dass

>

> (x + [mm]1)^3[/mm] - (x + 1) = [mm]a(x^3[/mm] - x) mit a [mm]\in \IN,[/mm] oder?

>

> Krieg ich aber wieder mal nicht gebacken :-(

Gonozal_IX hat dir die einfachste Möglichkeit aufgezeigt, den Sachverhalt zu beweisen. Nur ist das eben kein induktiver Beweis (den man hier nur machen sollte, wenn es ausdrücklich verlangt ist).

Mit vollst. Induktion fängst du wie immer mit dem Induktionsanfang an. Wähle dafür etwa x=1 und gehe damit in den Term ein, die Teilbarkeit durch 6  dürfte ja nicht allzu schwer zu erkennen sein...

Jetzt machst du im Prinzip das, was du vorgehabt hast, nämlich anstelle von x (x+1) zu setzen:

[mm] (x+1)^3-(x+1) [/mm]

(was das mit deiner Gleichung werden soll, habe ich nicht verstanden, ich kann darin keinerlei Sinn erkennen).

Den obigen Term multiplizierst du jetzt aus. Die entstehenden Summanden sortierst du ein wenig um, so dass die Induktionsvoraussetzung vorkommt, also der Term [mm] (x^3-x). [/mm] Von diesem nimmst du die Teilbarkeit durch 6 an. Das was übrig bleibt, ist ebenfalls ein Term, für den man jetzt mit einer ähnlichen Logik wie der im Beweis von Gonozal_IX noch begründen muss, weshalb er für natürliche n durch 6 teilbar ist (das ist aber ziemlich offensichtlich nach einer kleinen Faktorisierung).

Meine Antwort habe ich verfasst ausschließlich für den Fall, dass du in einer Aufgabe tatsächlich aufgefordert bist, das per Induktion zu zeigen. Die Sinnhaftigkeit einer solchen Aufgabe darf allerdings angezweifelt werden.

Bei deinen ganzen Fragestellungen der letzten Zeit gibt es öfter Missverständnisse. Vielleicht wäre es gut, wenn du jeweils die Original-Aufgabe mit abtippen könntest?


Gruß, Diophant 

Bezug
                
Bezug
Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Di 12.12.2017
Autor: sancho1980

Die Aufgabenstellung lautet:

"Zeigen Sie mithilfe vollständiger Induktion, dass

[mm] n^3 [/mm] - n durch 6 teilbar für alle n [mm] \in \IN [/mm]

ist.

Bezug
                
Bezug
Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:49 Di 12.12.2017
Autor: Gonozal_IX

Hallo Diophant,

bitte meine Mitteilung zu HJKweseleit beachten ;-)

Gruß,
Gono

Bezug
                        
Bezug
Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:13 Di 12.12.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> bitte meine Mitteilung zu HJKweseleit beachten ;-)

in der Tat, die vollständige Induktion bekommt man bei dir 'serienmäßig mitgeliefert'.

Das ist aber schon etwas spitzfindig, und wenn man das für eine Übungs- bzw. Hausaufgabe verwenden möchte, sollte man es auch überzeugend begründen können...

Gruß, Diophant
 

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 2h 35m 9. rmix22
Transformationen/Dirac und Rechteck
Status vor 4h 29m 2. luis52
UStoc/Cov(X,Y)
Status vor 7h 21m 2. Al-Chwarizmi
SStoc/Münze
Status vor 7h 39m 4. angela.h.b.
UWTheo/unendlicher Würfelwurf Aufgabe
Status vor 21h 58m 8. matux MR Agent
UAnaSon/Lösung einer Ungleichung
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]