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Forum "Funktionen" - Exp. Funktion zu Basis a
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Exp. Funktion zu Basis a: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:20 Sa 24.12.2016
Autor: X3nion

Hallo zusammen!

Ich habe Fragen zu Sätzen über die Exponentialfunktion, konkret zu derjenigen zur Basis a.

1) Es gilt [mm] exp_{a}(n) [/mm] = [mm] a^{n} \forall [/mm] n [mm] \in \IZ [/mm]

Beweis aus Literatur: Durch vollständige Induktion zeigt man, dass

(*) [mm] exp_{a}(nx) [/mm] = [mm] (exp_{a}(x))^{n} \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] und x [mm] \in \IR. [/mm]

Gemäß Definition [mm] exp_{a}(x) [/mm] := exp (x * ln(a)) ist dann [mm] exp_{a}(1) [/mm] = exp(ln(a)) = a und daraus folgt [mm] exp_{a}(-1) [/mm] = 1/a wegen der Funktionalgleichung:
Es ist [mm] exp_{a}(x+y) [/mm] = [mm] exp_{a}(x)exp_{a}(y) \forall [/mm] x,y [mm] \in \IR. [/mm]
Mit y = -x folgt daraus: [mm] exp_{a}(-x) [/mm] = [mm] \frac{1}{exp_{a}(x)} [/mm]

also [mm] exp_{a}(-1) [/mm] = [mm] \frac{1}{exp_{a}(1)} [/mm] = 1/a

Mit x = 1 bzw. x = -1 ergibt sich:

[mm] exp_{a}(n) [/mm] = [mm] a^{n} [/mm] und [mm] exp_{a}(-n) [/mm] = [mm] a^{-n} [/mm]

[mm] \Box [/mm]


Nun verstehe ich hier eine Sache nicht:
Wieso folgt aus x = -1, dass [mm] exp_{a}(-n) [/mm] = [mm] a^{-n} [/mm] ist?

Was ich verstehe ist, dass aus x = -1 mit [mm] exp_{a}(-1) [/mm] = 1/a und (*) folgt:

[mm] exp_{a}(n*(-1)) [/mm] = [mm] (exp_{a}(-1))^{n} [/mm] = [mm] (1/a)^{n}. [/mm]

Aber wieso folgert der Autor, dass [mm] (1/a)^{n} [/mm] = [mm] a^{-n} [/mm] ist?

Kurze Bemerkung:
Die Rechenregel [mm] (1/a)^{x} [/mm] = [mm] a^{-x} [/mm] für alle positiven reellen Zahlen a und alle x [mm] \in \IR [/mm] wird erst ein wenig später bewiesen! Somit dürfte das für die Folgerung ja eigentlich nicht herangezogen werden, oder?


2) Nun habe ich zwei Fragen zu der Aussage, [mm] (1/a)^{x} [/mm] = [mm] a^{-x} [/mm] für alle positiven reellen Zahlen a und alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt.

Dies würde ich gern beweisen und wäre da so vorgegangen:

[mm] a^{-x} [/mm] = [mm] exp_{a}(-x) [/mm] = [mm] \frac{1}{exp_{a}(x)} [/mm] = [mm] \frac{1}{a^{x}} [/mm] = [mm] 1^{x} [/mm] * [mm] \frac{1}{a^{x}} [/mm] = [mm] 1^{x} [/mm] * [mm] (\frac{1}{a})^{x} [/mm] = [mm] (\frac{1}{a})^{x} [/mm]

wobei ich bei [mm] 1^{x} [/mm] * [mm] (\frac{1}{a})^{x} [/mm] = [mm] (\frac{1}{a})^{x} [/mm] die Regel [mm] a^{x}b^{x} [/mm] = [mm] (ab)^{x} [/mm] für alle positiven a, b und x [mm] \in \IR [/mm] herangezogen habe.

Nun zu meinen Fragen:

- Sind die Schritte so in Ordnung?

- Ist die Umformulierung [mm] 1^{x} [/mm] * [mm] \frac{1}{a^{x}} [/mm] = [mm] 1^{x} [/mm] * [mm] (\frac{1}{a})^{x} [/mm] in Ordnung, also kann man [mm] \frac{1}{a^{x}} [/mm] direkt umschreiben zu [mm] (\frac{1}{a})^{x} [/mm] ohne Zwischenschritte?



Für eure Antworten wäre ich wie immer sehr dankbar! :-)
Ich habe mal den Fälligkeitszeitraum ein wenig hochgeschraubt, weil ja die Feiertage bevorstehen.
Aber vielleicht findet sich ja einer, der es vor Heilig Abend oder während den Feiertagen beantwortet [happy]


In diesem Sinne Weihnachtszeit und viele Grüße,
X3nion

        
Bezug
Exp. Funktion zu Basis a: Anmerkung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:31 Sa 24.12.2016
Autor: Diophant

Hallo,

leider fehlt mir für eine Antwort gerade die Zeit. Daher nur auf folgenden Punkt eine kurze Anmerkung:

> Gemäß Definition [mm]exp_{a}(x)[/mm] := exp (x * ln(a)) ist dann
> [mm]exp_{a}(1)[/mm] = exp(ln(a)) = a und daraus folgt [mm]exp_{a}(-1)[/mm] =
> 1/a wegen der Funktionalgleichung:
> Es ist [mm]exp_{a}(x+y)[/mm] = [mm]exp_{a}(x)exp_{a}(y) \forall[/mm] x,y [mm]\in \IR.[/mm]

>

> Mit y = -x folgt daraus: [mm]exp_{a}(-x)[/mm] =
> [mm]\frac{1}{exp_{a}(x)}[/mm]

>

> also [mm]exp_{a}(-1)[/mm] = [mm]\frac{1}{exp_{a}(1)}[/mm] = 1/a

>

> Mit x = 1 bzw. x = -1 ergibt sich:

>

> [mm]exp_{a}(n)[/mm] = [mm]a^{n}[/mm] und [mm]exp_{a}(-n)[/mm] = [mm]a^{-n}[/mm]

>

> [mm]\Box[/mm]

>
>

> Nun verstehe ich hier eine Sache nicht:
> Wieso folgt aus x = -1, dass [mm]exp_{a}(-n)[/mm] = [mm]a^{-n}[/mm] ist?

>

> Was ich verstehe ist, dass aus x = -1 mit [mm]exp_{a}(-1)[/mm] = 1/a
> und (*) folgt:

>

> [mm]exp_{a}(n*(-1))[/mm] = [mm](exp_{a}(-1))^{n}[/mm] = [mm](1/a)^{n}.[/mm]

>

> Aber wieso folgert der Autor, dass [mm](1/a)^{n}[/mm] = [mm]a^{-n}[/mm] ist?

>

> Kurze Bemerkung:
> Die Rechenregel [mm](1/a)^{x}[/mm] = [mm]a^{-x}[/mm] für alle positiven
> reellen Zahlen a und alle x [mm]\in \IR[/mm] wird erst ein wenig
> später bewiesen! Somit dürfte das für die Folgerung ja
> eigentlich nicht herangezogen werden, oder?

Ich denke, der springende Punkt ist hier der, dass die Regel nur für ganze Exponenten angewendet wird, und da ist sie in diesem Zusammenhang sicherlich trivial.

Für mich ist das eine ungewöhnliche Art, die Exponentialfunktion einzuführen. Kann es sein, dass es hier in Wirklichkeit um die Definition von Potenzen mit reellen Exponenten geht?

Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Exp. Funktion zu Basis a: Antwort auf Anmerkung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:55 Sa 24.12.2016
Autor: X3nion

Hallo Diophant,

ohja das hätte ich erwähnen sollen!

[mm] exp_{a}(x) [/mm] = [mm] a^{x}, [/mm] also die Exponentialfunktion zur Basis a bzw. allgemeine Potenz mit x [mm] \in \IR [/mm] und a>0.

Schöne Weihnachtszeit ;-)
X3nion

Bezug
                        
Bezug
Exp. Funktion zu Basis a: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:47 So 25.12.2016
Autor: Diophant

Hallo,

> ohja das hätte ich erwähnen sollen!

>

> [mm]exp_{a}(x)[/mm] = [mm]a^{x},[/mm] also die Exponentialfunktion zur Basis
> a bzw. allgemeine Potenz mit x [mm]\in \IR[/mm] und a>0.

das ist mir schon klar. Ich wollte erklären, weshalb das Potenzgesetz [mm] a^{-n}=\frac{1}{a^n} [/mm] hier meiner Meinung nach ohne weiteres angewendet werden darf.

> Schöne Weihnachtszeit ;-)
> X3nion

Ebenso!

Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Exp. Funktion zu Basis a: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:01 Di 27.12.2016
Autor: X3nion

Hallo Diophant,

ah okay!

Gilt denn [mm] a^{-n} [/mm] = [mm] \frac{1}{a^{n}} [/mm] bzw. [mm] exp_{a}(-n) [/mm] = [mm] \frac{1}{exp_{a}(n)}, [/mm]

weil sich aus der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion ergibt [mm] exp_{a}(-n+n) [/mm] = [mm] exp_{a}(n) [/mm] * [mm] exp_{a}(-n) [/mm] <=> 1 = [mm] exp_{a}(n) [/mm] * [mm] exp_{a}(-n) [/mm] <=> [mm] exp_{a}(-n) [/mm] = [mm] \frac{1}{exp_{a}(n)} [/mm] ?


Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                                        
Bezug
Exp. Funktion zu Basis a: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:19 Di 27.12.2016
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo Diophant,

>

> ah okay!

>

> Gilt denn [mm]a^{-n}[/mm] = [mm]\frac{1}{a^{n}}[/mm] bzw. [mm]exp_{a}(-n)[/mm] =
> [mm]\frac{1}{exp_{a}(n)},[/mm]

>

> weil sich aus der Funktionalgleichung der
> Exponentialfunktion ergibt [mm]exp_{a}(-n+n)[/mm] = [mm]exp_{a}(n)[/mm] *
> [mm]exp_{a}(-n)[/mm] <=> 1 = [mm]exp_{a}(n)[/mm] * [mm]exp_{a}(-n)[/mm] <=>
> [mm]exp_{a}(-n)[/mm] = [mm]\frac{1}{exp_{a}(n)}[/mm] ?

>

Xenie* Nr. 175: Neueste Farbentheorie von Wünsch
Gelbrot und grün macht das Gelbe, grün und violblau das Blaue!
So wird aus Gurkensalat wirklich der Essig erzeugt!

Friedrich Schiller


Den Schiller kann ich mir an solchen Stellen mit schöner Regelmäßigkeit nicht verkneifen. Zwar hast du ja nicht unrecht, jedoch wiederhole ich es gerne: die Potenzgesetze, also inkl. das von dir hier in Sachen Anwendbarkeit angezweifelte sind für den Fall ganzer, ja auch noch für rationale Exponenten unmittelbar einsichtig. Das kann man nach dem Prinzip - Definition (bspw. Definition von Potenzen mit ganzen Exponenten so wie hier) => Gültigkeit der aus der Potenzrechnung mit natürlichen Exponenten hergeleiteten und allseits bekannten Potenzgesetze - leicht verifizieren.

Mit anderen Worten: du brauchst hier meiner Meinung nach keine derartigen Geschütze wie Funktionalgleichungen auffahren. Das schreibe ich aber nach wie vor unter dem Vorbehalt, als aus deiner Frage für mich nicht hervorgeht, auf was diese Betrachtungen genau hinauslaufen sollen.

Insbesondere beachte bitte auch, dass sich alle meine Anmerkungen bzw. Einwände ausschließlich auf deine im Ausgangsbeitrag formulierte (als Frage gedachte) Kurze Bemerkung beziehen.

Schwierig wird das alles ja erst in dem Moment, wenn die Exponenten irrational werden.


Gruß, Diophant

* Die Xenien sind eine heutzutage in Vergessenheit geratene Sammlung von Zweizeilern im Hexameter-Versmaß, gemeinschaftlich verfasst von Goethe und Schiller.

Bezug
                                                
Bezug
Exp. Funktion zu Basis a: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:31 Di 27.12.2016
Autor: X3nion


> Xenie* Nr. 175: Neueste Farbentheorie von Wünsch
>  Gelbrot und grün macht das Gelbe, grün und violblau das
> Blaue!
>  So wird aus Gurkensalat wirklich der Essig erzeugt!
>  
> Friedrich Schiller

>  
> Den Schiller kann ich mir an solchen Stellen mit schöner
> Regelmäßigkeit nicht verkneifen. Zwar hast du ja nicht
> unrecht, jedoch wiederhole ich es gerne: die Potenzgesetze,
> also inkl. das von dir hier in Sachen Anwendbarkeit
> angezweifelte sind für den Fall ganzer, ja auch noch für
> rationale Exponenten unmittelbar einsichtig. Das kann man
> nach dem Prinzip - Definition (bspw. Definition von
> Potenzen mit ganzen Exponenten so wie hier) => Gültigkeit
> der aus der Potenzrechnung mit natürlichen Exponenten
> hergeleiteten und allseits bekannten Potenzgesetze - leicht
> verifizieren.
>  
> Mit anderen Worten: du brauchst hier meiner Meinung nach
> keine derartigen Geschütze wie Funktionalgleichungen
> auffahren. Das schreibe ich aber nach wie vor unter dem
> Vorbehalt, als aus deiner Frage für mich nicht hervorgeht,
> auf was diese Betrachtungen genau hinauslaufen sollen.
>  
> Insbesondere beachte bitte auch, dass sich alle meine
> Anmerkungen bzw. Einwände ausschließlich auf deine im
> Ausgangsbeitrag formulierte (als Frage gedachte) Kurze
> Bemerkung
beziehen.
>  
> Schwierig wird das alles ja erst in dem Moment, wenn die
> Exponenten irrational werden.
>  
>
> Gruß, Diophant
>  
> * Die Xenien sind eine heutzutage in Vergessenheit geratene
> Sammlung von Zweizeilern im Hexameter-Versmaß,
> gemeinschaftlich verfasst von Goethe und Schiller.


Ach welch schöne Worte! Und sehr schön, dass man solche Worte zu lesen bekommt :-)  die Xenien sind mir durchaus aus der Schule noch ein Begriff ( mein Name X3nion hat ja einen Ursprung [happy] )


Aber was meinst du genau mit "als aus deiner Frage für mich nicht hervorgeht,

> auf was diese Betrachtungen genau hinauslaufen sollen" ?


Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                                                        
Bezug
Exp. Funktion zu Basis a: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:58 Di 27.12.2016
Autor: Diophant

Hallo,

die Verwandtschaft zwischen deinem Benutzernamen und den Xenien ist mir auch erst nach dem Absenden meines Beitrags aufgefallen. Schön, dass das heutzutage noch jemand kennt!

Ich bitte vorneweg um Verzeihung, dass ich nicht zitiere. Erstens hat diese Funktion bei mir heute schon mehrfach Seltsames produziert, zweitens schreibe ich gerade vom Smartphone.

Nun, vielleicht hast du in meinem Profil meine Altersangabe gelesen. Meine Studentenzeit liegt also schon ein paar Tage zurück. In dieser Zeit hat sich im Fach Mathematik in der Lehre einiges verändert. Ich kenne das also eher so, dass man bei der Einführung der Exponentialfunktion die Frage der Gültigkeit der Potenzgesetze für reelle Exponenten (deren Beantwortung zu diese Zeitpunkt durchaus wünschenswert ist!) erst einmal verschiebt, um sie später mit Hilfe von Funktionenfolgen zu beantworten. Wenn ich das richtig erinnere, kam das bei uns am Ende der Analysis-1 Vorlesung.

Es kann also gut sein, dass da heute der Aufbau der Vorlesungen ein anderer ist als 'zu meiner Zeit'. Und da ich eher der klassische 'Hobby-Mathematiker' bin, wollte ich mir hier über die für meinen Geschmack umständliche Vorgehensweise kein Urteil erlauben.

Ich bleibe allerdings dabei: für natürliche Zahlen n ist

[mm] a^{-n}=\frac{1}{a^n} [/mm]

zunächst eine Definition. Der Beweis, dass sie sämtlichen Potenzgesetzen genügt lässt sich mit Schulmathematik aus ca. Klasse 9 erbringen. Insofern musst du dir keine Gedanken darüber machen, dass der Autor, den du zitierst das bedenken- und kommentarlos anwendet. Dass und warum er dies darf aufzuzeigen war mein einziges Anliegen in diesem Thread.

Gruß, Diophant

Bezug
                                                                
Bezug
Exp. Funktion zu Basis a: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:39 Do 05.01.2017
Autor: X3nion


> Hallo,

> die Verwandtschaft zwischen deinem Benutzernamen und den Xenien ist
> mir auch erst nach dem Absenden meines Beitrags aufgefallen. Schön, dass > das heutzutage noch jemand kennt!

> Ich bitte vorneweg um Verzeihung, dass ich nicht zitiere. Erstens hat diese > Funktion bei mir heute schon mehrfach Seltsames produziert, zweitens
> schreibe ich gerade vom Smartphone.

Hallo Diophant,

ja das 'e' wird im Netzjargon durch die '3' ersetzt, deshalb sieht man das nicht direkt bei meinem Namen.
Und kein Thema wegen dem Zitieren, aber es ist schon sehr mühsam mit dem Smartphone zu schreiben [happy] habe hier mal einen Beitrag inklusive Formeln auf dem Smartphone verfasst und eine halbe Ewigkeit gebraucht.

> Nun, vielleicht hast du in meinem Profil meine Altersangabe gelesen. Meine > Studentenzeit liegt also schon ein paar Tage zurück. In dieser Zeit hat sich > im Fach Mathematik in der Lehre einiges verändert. Ich kenne das also eher > so, dass man bei der Einführung der Exponentialfunktion die Frage der
> Gültigkeit der Potenzgesetze für reelle Exponenten (deren Beantwortung zu > diese Zeitpunkt durchaus wünschenswert ist!) erst einmal verschiebt, um
> sie später mit Hilfe von Funktionenfolgen zu beantworten. Wenn ich das
> richtig erinnere, kam das bei uns am Ende der Analysis-1 Vorlesung.

> Es kann also gut sein, dass da heute der Aufbau der Vorlesungen ein
> anderer ist als 'zu meiner Zeit'. Und da ich eher der klassische 'Hobby-
> Mathematiker' bin, wollte ich mir hier über die für meinen Geschmack
> umständliche Vorgehensweise kein Urteil erlauben.

> Ich bleibe allerdings dabei: für natürliche Zahlen n ist

> $ [mm] a^{-n}=\frac{1}{a^{n}} [/mm] $

> zunächst eine Definition. Der Beweis, dass sie sämtlichen Potenzgesetzen
> genügt lässt sich mit Schulmathematik aus ca. Klasse 9 erbringen. Insofern
> musst du dir keine Gedanken darüber machen, dass der Autor, den du
> zitierst das bedenken- und kommentarlos anwendet. Dass und warum er
> dies darf aufzuzeigen war mein einziges Anliegen in diesem Thread.

Deine Altersangabe habe ich vorher nicht gelesen, aber nun habe ich durch kurzes Spicken gesehen, dass du dich schon eine Weile damit beschäftigst ;-)

Mir sind die Potenzgesetze aus der Schule durchaus bekannt, aber das ist ja die Frage, inwieweit Schulstoff als bekannt angesehen werden darf.
Es wird ja von Grund auf der Stoff aufgebaut, und somit dürfte man strikt genommen das nicht als bekannt vorausgesetzt werden, oder?

Ich meine analytisch betrachtet gilt ja gemäß der Funktionalgleichung [mm] a^{-n} [/mm] * [mm] a^{n} [/mm] = [mm] a^{-n+n} [/mm] = [mm] a^{0} [/mm] = 1 und daraus ergibt sich [mm] a^{-n} [/mm] = [mm] \frac{1}{a_{n}}. [/mm]
Kann man das, wie du schreibst, wirklich als Definition ansehen?


Und noch ein Punkt kam mir soeben auf:
Die Tatsache, dass [mm] \frac{1^{x}}{a^{x}} [/mm] = [mm] (\frac{1}{a})^{x} [/mm] folgt doch genau genommen aus der Benutzung des Logarithmengesetzes [mm] log(\frac{1}{a}) [/mm] = log 1 - log a, oder?

Denn es ist [mm] \frac{1^{x}}{a^{x}} [/mm] = [mm] 1^{x} [/mm] * [mm] a^{-x} [/mm] = [mm] e^{x log 1} [/mm] * [mm] e^{-x log a} [/mm] = [mm] e^{x log 1 - x log a} [/mm] = [mm] e^{x(log 1 - log a)} [/mm] = [mm] e^{x log \frac{1}{a}} [/mm] = [mm] (\frac{1}{a})^{x} [/mm]

Wäre das soweit korrekt?

Das Logarithmengesetz [mm] log(\frac{1}{a}) [/mm] = log 1 - log a bzw. allgemein [mm] log(\frac{a}{b}) [/mm] = log(a) - log(b) mit a,b [mm] \in \IR [/mm] und b [mm] \not= [/mm] 0 müsste natürlich erst einmal bewiesen werden, aber das erfolgt ähnlich wie beim Beweis, dass log(a*b) = log (a) + log (b) ist.



> Gruß, Diophant

LG X3nion

Bezug
                                                                        
Bezug
Exp. Funktion zu Basis a: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:57 Fr 06.01.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> > Ich bleibe allerdings dabei: für natürliche Zahlen n ist

>

> > [mm]a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}[/mm]

>

> > zunächst eine Definition. Der Beweis, dass sie sämtlichen
> Potenzgesetzen
> > genügt lässt sich mit Schulmathematik aus ca. Klasse 9
> erbringen. Insofern
> > musst du dir keine Gedanken darüber machen, dass der
> Autor, den du
> > zitierst das bedenken- und kommentarlos anwendet. Dass und
> warum er
> > dies darf aufzuzeigen war mein einziges Anliegen in diesem
> Thread.

>

> Deine Altersangabe habe ich vorher nicht gelesen, aber nun
> habe ich durch kurzes Spicken gesehen, dass du dich schon
> eine Weile damit beschäftigst ;-)

>

> Mir sind die Potenzgesetze aus der Schule durchaus bekannt,
> aber das ist ja die Frage, inwieweit Schulstoff als bekannt
> angesehen werden darf.
> Es wird ja von Grund auf der Stoff aufgebaut, und somit
> dürfte man strikt genommen das nicht als bekannt
> vorausgesetzt werden, oder?

>

> Ich meine analytisch betrachtet gilt ja gemäß der
> Funktionalgleichung [mm]a^{-n}[/mm] * [mm]a^{n}[/mm] = [mm]a^{-n+n}[/mm] = [mm]a^{0}[/mm] = 1
> und daraus ergibt sich [mm]a^{-n}[/mm] = [mm]\frac{1}{a_{n}}.[/mm]
> Kann man das, wie du schreibst, wirklich als Definition
> ansehen?

Wenn man das aus der historischen Perspektive oder derjenigen der Schulmathemtik anschaut: unbedingt!

Dann führen wir Potenzen zunächst für natürliche Exponenten ein und definieren die Potenz wie bekannt durch

[mm]a^n= \underbrace{a*a*...*a}_{n-mal}[/mm]

Die Potenzgesetze erhält man nun leicht durch Abzählen. Wenn wir jetzt per Definition die Potenzrechung auf die ganzen Zahlen ausweiten, dann gelingt der Beweis, dass die Potenzgesetze hierdurch nicht verletzt werden, nach wie vor durch Abzählen. Das habe ich mit 'elementar' gemeint.

Worüber wir hier nicht sprechen, aber es sei am Rande erwähnt: auch für die Ausdehnung der Potenzrechnung auf rationale Exponenten kann man die Gültigkeit der Potenzgesetze noch elementar nachweisen, erst für reelle Exponenten geht dies eben nicht mehr elementar.

> Und noch ein Punkt kam mir soeben auf:
> Die Tatsache, dass [mm]\frac{1^{x}}{a^{x}}[/mm] = [mm](\frac{1}{a})^{x}[/mm]
> folgt doch genau genommen aus der Benutzung des
> Logarithmengesetzes [mm]log(\frac{1}{a})[/mm] = log 1 - log a,
> oder?

>


Friedrich Schiller... ;-)

> Denn es ist [mm]\frac{1^{x}}{a^{x}}[/mm] = [mm]1^{x}[/mm] * [mm]a^{-x}[/mm] = [mm]e^{x log 1}[/mm]
> * [mm]e^{-x log a}[/mm] = [mm]e^{x log 1 - x log a}[/mm] = [mm]e^{x(log 1 - log a)}[/mm]
> = [mm]e^{x log \frac{1}{a}}[/mm] = [mm](\frac{1}{a})^{x}[/mm]

>

> Wäre das soweit korrekt?

Korrekt, aber ich kann den Sinn nicht erkennen.

> Das Logarithmengesetz [mm]log(\frac{1}{a})[/mm] = log 1 - log a bzw.
> allgemein [mm]log(\frac{a}{b})[/mm] = log(a) - log(b) mit a,b [mm]\in \IR[/mm]
> und b [mm]\not=[/mm] 0 müsste natürlich erst einmal bewiesen
> werden, aber das erfolgt ähnlich wie beim Beweis, dass
> log(a*b) = log (a) + log (b) ist.

>

Nein, das ist der springende Punkt. Soweit mir bekannt, führt man die Logarithmengesetze auf die Potenzgesetze zurück (der Logarithmus ist per Definition die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion!), und dafür benötigst du wieder die Gültigkeit dieser Gesetze für reelle Exponenten...


Gruß, Diophant

Bezug
                                                                                
Bezug
Exp. Funktion zu Basis a: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:51 Fr 06.01.2017
Autor: X3nion

Hallo Diophant,
danke für deine wieder ausführlichen Erläuterungen! :-)

> Wenn man das aus der historischen Perspektive oder derjenigen der
> Schulmathemtik anschaut: unbedingt!

> Dann führen wir Potenzen zunächst für natürliche Exponenten ein und
> definieren die Potenz wie bekannt durch

> $ [mm] a^n= \underbrace{a\cdot{}a\cdot{}...\cdot{}a}_{n-mal} [/mm] $

> Die Potenzgesetze erhält man nun leicht durch Abzählen. Wenn wir jetzt per > Definition die Potenzrechung auf die ganzen Zahlen ausweiten, dann gelingt > der Beweis, dass die Potenzgesetze hierdurch nicht verletzt werden, nach
> wie vor durch Abzählen. Das habe ich mit 'elementar' gemeint.

> Worüber wir hier nicht sprechen, aber es sei am Rande erwähnt: auch für
> die Ausdehnung der Potenzrechnung auf rationale Exponenten kann man
> die Gültigkeit der Potenzgesetze noch elementar nachweisen, erst für reelle
> Exponenten geht dies eben nicht mehr elementar.

Ja klar das stimmt, für natürliche bzw. ganzzahlige Exponenten kann man einfach abzählen.
Wie sähe das bei rationalen Exponenten aus?

> Das Logarithmengesetz $ [mm] log(\frac{1}{a}) [/mm] $ = log 1 - log a bzw.
> allgemein $ [mm] log(\frac{a}{b}) [/mm] $ = log(a) - log(b) mit a,b $ [mm] \in \IR [/mm] $
> und b $ [mm] \not= [/mm] $ 0 müsste natürlich erst einmal bewiesen
> werden, aber das erfolgt ähnlich wie beim Beweis, dass
> log(a*b) = log (a) + log (b) ist.


> Nein, das ist der springende Punkt. Soweit mir bekannt, führt man die
> Logarithmengesetze auf die Potenzgesetze zurück (der Logarithmus ist per > Definition die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion!), und dafür
> benötigst du wieder die Gültigkeit dieser Gesetze für reelle Exponenten...

Ja genau so ist es, und das Logarithmengesetz für reelle Exponenten wird im Forster mithilfe der Funktionalgleichung bewiesen.
Interessant wäre es, wie du schreibst, eine aufbauartige Einführung der Potenzgesetze zu finden (also beginnend mit natürlichen Exponenten, über ganzzahlige sowie rationale Exponenten bis hin zu reellen Exponenten).
Wurde das bei euch so gelehrt?

Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                                                                                        
Bezug
Exp. Funktion zu Basis a: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:26 Sa 07.01.2017
Autor: Diophant

Hallo!

> > Wenn man das aus der historischen Perspektive oder
> derjenigen der
> > Schulmathemtik anschaut: unbedingt!

>

> > Dann führen wir Potenzen zunächst für natürliche
> Exponenten ein und
> > definieren die Potenz wie bekannt durch

>

> > [mm]a^n= \underbrace{a\cdot{}a\cdot{}...\cdot{}a}_{n-mal}[/mm]

>

> > Die Potenzgesetze erhält man nun leicht durch Abzählen.
> Wenn wir jetzt per > Definition die Potenzrechung auf die
> ganzen Zahlen ausweiten, dann gelingt > der Beweis, dass
> die Potenzgesetze hierdurch nicht verletzt werden, nach
> > wie vor durch Abzählen. Das habe ich mit 'elementar'
> gemeint.

>

> > Worüber wir hier nicht sprechen, aber es sei am Rande
> erwähnt: auch für
> > die Ausdehnung der Potenzrechnung auf rationale Exponenten
> kann man
> > die Gültigkeit der Potenzgesetze noch elementar
> nachweisen, erst für reelle
> > Exponenten geht dies eben nicht mehr elementar.

>

> Ja klar das stimmt, für natürliche bzw. ganzzahlige
> Exponenten kann man einfach abzählen.
> Wie sähe das bei rationalen Exponenten aus?

>

Exemplarisch ein Beweis für

[mm]a^{\frac{m}{n}}*a^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{m}{n}+\frac{p}{q}}[/mm]

wobei m,n,p und q ganz sein sollen.

Beweis:

[mm]a^{\frac{m}{n}}*a^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{m*q}{n*q}}*a^{\frac{n*p}{n*q}}= \left(\sqrt[nq]{a}\right)^{mq}*\left( \sqrt[nq]{a}\right)^{np}=\left( \sqrt[nq]{a}\right)^{mq+np}=a^{\frac{mq+np}{nq}}=a^{\frac{m}{n}+\frac{p}{q}}[/mm]

Beachte: dort, wo ich Potenzgesetze anwende sind die Exponenten ganz!

> > Das Logarithmengesetz [mm]log(\frac{1}{a})[/mm] = log 1 - log a
> bzw.
> > allgemein [mm]log(\frac{a}{b})[/mm] = log(a) - log(b) mit a,b [mm]\in \IR[/mm]

>

> > und b [mm]\not=[/mm] 0 müsste natürlich erst einmal bewiesen
> > werden, aber das erfolgt ähnlich wie beim Beweis, dass
> > log(a*b) = log (a) + log (b) ist.

>
>

> > Nein, das ist der springende Punkt. Soweit mir bekannt,
> führt man die
> > Logarithmengesetze auf die Potenzgesetze zurück (der
> Logarithmus ist per > Definition die Umkehrfunktion der
> Exponentialfunktion!), und dafür
> > benötigst du wieder die Gültigkeit dieser Gesetze für
> reelle Exponenten...

>

> Ja genau so ist es, und das Logarithmengesetz für reelle
> Exponenten wird im Forster mithilfe der Funktionalgleichung
> bewiesen.

Zum Forster kann ich leider nichts sagen, den besitze ich nicht.

> Interessant wäre es, wie du schreibst, eine aufbauartige
> Einführung der Potenzgesetze zu finden (also beginnend mit
> natürlichen Exponenten, über ganzzahlige sowie rationale
> Exponenten bis hin zu reellen Exponenten).
> Wurde das bei euch so gelehrt?

Also um ehrlich zu sein: wie das an der Uni gemacht wurde, weiß ich nicht mehr (ich habe nur 2 Semester Mathematik auf dem Buckel, danach bin ich auf Ingenieur umgestiegen).

Auf die Schnelle habe ich []das hier gefunden, das spiegelt so in etwa meine Vorstellung wieder, wie man das aufbauen kann. Nur nochmals als Hinweis: das alles, was ich hier schreibe sind eigene Gedanken und Ideen. Gerade in der Analysis führen bekanntlich viele Wege nach Rom und somit besteht die Möglichkeit, dass das alles sich von deiner Ausgangsfrage längst völlig entfernt hat. Interessant ist es jedenfalls. :-)

Gruß, Diophant

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Exp. Funktion zu Basis a: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:07 Di 10.01.2017
Autor: X3nion

Hallo Diophant,

danke für deine ausführlichen Beiträge und Erklärungen!
Ja ich finde es wie du auch interessant, werde deinen Link durchlesen :-)

Viele Grüße,
X3nion

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Exp. Funktion zu Basis a: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:38 Sa 24.12.2016
Autor: M.Rex

Hallo

> Hallo zusammen!

>

> Ich habe Fragen zu Sätzen über die Exponentialfunktion,
> konkret zu derjenigen zur Basis a.

>

> 1) Es gilt [mm]exp_{a}(n)[/mm] = [mm]a^{n} \forall[/mm] n [mm]\in \IZ[/mm]

>

> Beweis aus Literatur: Durch vollständige Induktion zeigt
> man, dass

>

> (*) [mm]exp_{a}(nx)[/mm] = [mm](exp_{a}(x))^{n} \forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] und x
> [mm]\in \IR.[/mm]

>

> Gemäß Definition [mm]exp_{a}(x)[/mm] := exp (x * ln(a)) ist dann
> [mm]exp_{a}(1)[/mm] = exp(ln(a)) = a und daraus folgt [mm]exp_{a}(-1)[/mm] =
> 1/a wegen der Funktionalgleichung:
> Es ist [mm]exp_{a}(x+y)[/mm] = [mm]exp_{a}(x)exp_{a}(y) \forall[/mm] x,y [mm]\in \IR.[/mm]

>

> Mit y = -x folgt daraus: [mm]exp_{a}(-x)[/mm] =
> [mm]\frac{1}{exp_{a}(x)}[/mm]

>

> also [mm]exp_{a}(-1)[/mm] = [mm]\frac{1}{exp_{a}(1)}[/mm] = 1/a

>

> Mit x = 1 bzw. x = -1 ergibt sich:

>

> [mm]exp_{a}(n)[/mm] = [mm]a^{n}[/mm] und [mm]exp_{a}(-n)[/mm] = [mm]a^{-n}[/mm]

>

> [mm]\Box[/mm]

>
>

> Nun verstehe ich hier eine Sache nicht:
> Wieso folgt aus x = -1, dass [mm]exp_{a}(-n)[/mm] = [mm]a^{-n}[/mm] ist?

>

> Was ich verstehe ist, dass aus x = -1 mit [mm]exp_{a}(-1)[/mm] = 1/a
> und (*) folgt:

>

> [mm]exp_{a}(n*(-1))[/mm] = [mm](exp_{a}(-1))^{n}[/mm] = [mm](1/a)^{n}.[/mm]

>

> Aber wieso folgert der Autor, dass [mm](1/a)^{n}[/mm] = [mm]a^{-n}[/mm] ist?


Ich würde von hinten anfangen:
[mm] a^{-n}=\exp_{a}(0+(-n))=\exp_{a}(0)\cdot\exp_{a}(-n)=1\cdot\frac{1}{\exp_{a}(n)}=\frac{1}{a^{n}}=\frac{1^{n}}{a^{n}}=\left(\frac{1}{a}\right)^{n} [/mm]

>

> Kurze Bemerkung:
> Die Rechenregel [mm](1/a)^{x}[/mm] = [mm]a^{-x}[/mm] für alle positiven
> reellen Zahlen a und alle x [mm]\in \IR[/mm] wird erst ein wenig
> später bewiesen! Somit dürfte das für die Folgerung ja
> eigentlich nicht herangezogen werden, oder?

>
>

> 2) Nun habe ich zwei Fragen zu der Aussage, [mm](1/a)^{x}[/mm] =
> [mm]a^{-x}[/mm] für alle positiven reellen Zahlen a und alle x [mm]\in \IR[/mm]
> gilt.

>

> Dies würde ich gern beweisen und wäre da so vorgegangen:

>

> [mm]a^{-x}[/mm] = [mm]exp_{a}(-x)[/mm] = [mm]\frac{1}{exp_{a}(x)}[/mm] =
> [mm]\frac{1}{a^{x}}[/mm] = [mm]1^{x}[/mm] * [mm]\frac{1}{a^{x}}[/mm] = [mm]1^{x}[/mm] *
> [mm](\frac{1}{a})^{x}[/mm] = [mm](\frac{1}{a})^{x}[/mm]

>

> wobei ich bei [mm]1^{x}[/mm] * [mm](\frac{1}{a})^{x}[/mm] = [mm](\frac{1}{a})^{x}[/mm]
> die Regel [mm]a^{x}b^{x}[/mm] = [mm](ab)^{x}[/mm] für alle positiven a, b
> und x [mm]\in \IR[/mm] herangezogen habe.

Das ist ok

>

> Nun zu meinen Fragen:

>

> - Sind die Schritte so in Ordnung?

Ja

>

> - Ist die Umformulierung [mm]1^{x}[/mm] * [mm]\frac{1}{a^{x}}[/mm] = [mm]1^{x}[/mm] *
> [mm](\frac{1}{a})^{x}[/mm] in Ordnung, also kann man [mm]\frac{1}{a^{x}}[/mm]
> direkt umschreiben zu [mm](\frac{1}{a})^{x}[/mm] ohne
> Zwischenschritte?

Man kann, aber der Weg über den Zwischenschritt [mm] 1=1^{x} [/mm] für alle x ist durchaus ok.
Evtl könntest du aber direkt den Nenner so ergänzen, also [mm] \ldots=\frac{1}{a^{x}}=\frac{1^{x}}{a^{x}}=\left(\frac{1}{a}\right)^{x}=\ldots [/mm]

>
>
>

> Für eure Antworten wäre ich wie immer sehr dankbar! :-)
> Ich habe mal den Fälligkeitszeitraum ein wenig
> hochgeschraubt, weil ja die Feiertage bevorstehen.
> Aber vielleicht findet sich ja einer, der es vor Heilig
> Abend oder während den Feiertagen beantwortet [happy]

>
>

> In diesem Sinne Weihnachtszeit und viele Grüße,
> X3nion

Dir auch schöne Weihnachten.

Marius

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Exp. Funktion zu Basis a: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:58 Sa 24.12.2016
Autor: X3nion

Hallo Marius,

okay dankeschön, mir ist es nun klar geworden!

Viele Grüße,
X3nion

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