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Annuität bei var. Zins: Frage zur Berechnung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:15 Do 03.12.2015
Autor: onkel_keks

Aufgabe
Ein Darlehen über 100.000,- EUR mit einer Laufzeit von 10 Jahren und jährlicher Tilgung wird variabel verzinst vergeben. Die ersten fünf Jahre ergibt sich der variable Zinssatz zu 1% p.a., die weiteren fünf Jahre zu 2% p.a. Was ist die jährliche Rate nach dem Anstieg der Zinsen?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Das ist kein Schul- oder Uni-Beispiel, sondern eine Verständnisfrage. Für ein fix verzinstes Darlehen gilt ja mit dem Annuitätenfaktor und Wikipedia:
R = [mm] S_{0} [/mm] * [mm] \bruch{(1+i)^{n} * i} {(1+i)^n - 1} [/mm]

Wobei [mm] S_0 [/mm] = 100.000, n = 10. Im Beispiel beträgt der Zinssatz anfangs 1%, und a priori ist die weitere Entwicklung nicht bekannt. Daher würde ich die Annuität mit obiger Formel und i = 0,01 berechnen zu R = 10558,2.

Diese Rate wird fünf Jahre gezahlt, dann steigen die Zinsen - was ist die neue jährliche Rate? Ein einfaches Einsetzen der neuen Zinsen in die Formel ist m.E. falsch, da ja beim Annuitätendarlehen anfangs hauptsächlich Zinsen gezahlt werden, während gegen Ende der Laufzeit hauptsächlich die Tilgung erfolgt, siehe auch folgendes Beispielbild von Wikipedia (für fixen Zins):  []Wikipedia: Annuitätendarlehen

Aber wie kann ich dann die neue Rate berechnen?

Vielen Dank!

(Hintergrund: Ich möchte einen Kredit aufnehmen und mit verschiedenen Modellen für die Leitzinsentwicklung durchrechnen. Die Bank will oder kann mir aber keine Formel für die Ratenberechnung bei variabler Laufzeit sagen...die verwenden selbst nur ein Programm, das ihnen das Ergebnis ausspuckt. Damit kann ich keine Modelle rechnen.)

        
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Annuität bei var. Zins: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:45 Do 03.12.2015
Autor: Staffan

Hallo,

wenn die Zinskonditionen für jeweils 5 Jahre fixiert sind, sind das letzlich zwei hintereinander geschaltete Festzinsdarlehen. Bei Kenntnis der Rate für den ersten Teil (hier 10.558,20) kann man die neue Rate mit dem bekannten Zins für den zweiten Teil  auch berechnen. Dazu braucht man zuerst das Restkapital des Darlehens nach fünf Jahren, was man mit der von Dir angeführten Formel in anderer Form ermittelt,  und setzt das als neues [mm] S_0 [/mm] in die  Formel wie angegeben ein [mm] (R_2=10871,76). [/mm] (Die Höhe der ersten Rate muß nicht zwangsläufig 10.558,20 betragen oder überhaupt nach der Formel berechnet werden; bei Darlehensangeboten setzt man hier üblicherweise den Betrag an, den man  als Darlehensnehmer zahlen will oder kann. Entscheidend ist nur, daß das Darlehen nach zehn Jahren zurückgezahlt ist).

Es ist richtig, daß sich beim Annuitätendarlehen das Verhältnis von Zins und Tilgung mit jeder Zahlung ändert. Angesichts der niedrigen Zinssätze und der Höhe der Rate ist das hier allerdings nicht so gravierend, weil schon mit der ersten Rate 9.558,20 getilgt werden und lediglich 1.000 an Zinsen anfallen.

Gruß
Staffan


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Annuität bei var. Zins: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:58 Do 03.12.2015
Autor: onkel_keks

Vielen Dank für Deine Antwort!
Das von mir angeführte Beispiel war natürlich stark vereinfacht. Tatsächlich würden sich die Zinsen ja vierteljährlich ändern.
=> Für meine Berechnung heißt das, ich müsste nach jedem Quartal das Darlehens-Restkapital ausrechnen und für dieses mit dem neuen Zinssatz die Annuität ausrechnen? (Also im Prinzip in meinem Modell für jedes Quartal eine Zeile mit neuem Zinssatz gem. Modell, Restkapital und Annuität)
Oder gibt es eine einfachere Möglichkeit in Form einer geschlossenen Lösung? Falls das quartalsweise Ausrechnen aber so stimmt, kann ich damit schon mal arbeiten :-)

Ich verstehe nicht ganz, was Du damit meinst:
"Die Höhe der ersten Rate muß nicht zwangsläufig 10.558,20 betragen oder überhaupt nach der Formel berechnet werden; bei Darlehensangeboten setzt man hier üblicherweise den Betrag an, den man  als Darlehensnehmer zahlen will oder kann."
Meinst du, dass die Bank mich fragt wie viel ich zahlen kann und den Rest des Angebots darauf ausrichtet? Das ist natürlich schon so, aber ich habe meine Angebote bereits eingeholt und möchte sie jetzt vergleichen, unter Berücksichtung verschiedener Modelle für die Leitzinsentwicklung. (Die Zahlen für meinen konkreten Kredit sind auch gänzlich anders - ich habe nur "einfache" Zahlen für das Beispiel gewählt).

Bezug
                        
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Annuität bei var. Zins: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:20 Do 03.12.2015
Autor: leduart

Hallo
Wenn sich die Zinsen sehr oft ändern sollte man das mit einer Tabellenkalkulation berechnen. allerdings sind Zinsen , die sich so oft ändern für ein Darlehen ungewöhnlich, und meist kann man die Zinsen nach wenigen Jahren nicht mehr wissen.
Gruß leduart

Bezug
                        
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Annuität bei var. Zins: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:31 Do 03.12.2015
Autor: Staffan

Hallo,

wenn es wirklich ein Anuitätendarlehen ist, d.h. die jede Rate gleich hoch ist, sich nur der Zins- und Tilgungsanteil ändern und die Gesamtlaufzeit bis zur vollständigen Tilgung am Anfang festgelegt ist, muß man so rechnen. Allerdings meine ich, daß Darlehen mit einem variablen Zins selten, wenn überhaupt, echte Annuitätendarlehen sind, sondern vermehrt Ratendarlehen, was heißt, daß hier die Tilgungsrate immer gleich hoch ist, also bei 100.000 und der Laufzeit von 10 Jahren  jährlich 10.000 bzw. monatlich 833,33, und sich die Zinshöhe entsprechend dem aktuellen Zinssatz ändert.

Zum Hinweis der Berechnung der ersten Annuität: Beim Annuitätendarlehen wird oft der erste Tilgungsteil in Prozent der Darlehenssumme angegeben, das wären hier 9,5582%. Man kann aber auch z.B. 7% oder 11% vereinbaren, was bedeutet, daß sich bei den folgenden Änderungen der Tilgungsanteil erhöht oder auch ermäßigt.Wenn Dir schon Angebote mit den von Dir gewünschten Ratenhöhen vorliegen, brauchst Du das nicht weiter zu berücksichtigen. Ich wollte nur darauf hinweisen, wie sich die Anfangstilgungshöhe bei der Annuität auf die folgenden Zinsänderungen auswirkt.

Im übrigen stimme ich leduart völlig zu.

Gruß
Staffan

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