matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteNewton-Verfahren
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Newton-Verfahren
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Newton-Verfahren

Nullstellenbestimmung nach dem Newton-Verfahren


Schule

Man berechnet die Nullstellen einer Funktion mit der Newton-Methode nach folgender Vorschrift:
zunächst wählt man einen Schätzwert $ x_0 $ als Startwert, zum nächsten Näherungswert gelangt man durch folgende Rechnung:


$ x_{n+1}=x_{n}-\bruch{f(x_{n})}{f'(x_{n})} $

Dabei ist die Wahl des Startwertes $ x_0 $ das Diffizile.


Beispiel

$ f(x) = x^{5}-2x^{2}-1 $

Zur Berechnung wird die Ableitung benötigt:

$ f^{'}(x) = 5x^{4}-4x $

Jetzt kann man die konkrete Funktion in die allgemeinen Formel einsetzen:

$ x_{n+1}=x_{n}-\bruch{x_{n}^{5}-2x_{n}^{2}-1}{5x_{n}^{4}-4x_{n}} $

Da die Funktion mit wachsendem x hoch hinaussteigt und bei x=0 horizontal verläuft, bei x=2 > 0 ist, würde ich mal mit $ x_{0}=2 $ beginnen.

Das liefert nacheinander:

$ x_{0}=2 $
$ x_{1}=x_{0}-\bruch{x_{0}^{5}-2x_{0}^{2}-1}{5x_{0}^{4}-4x_{0}}=2-\bruch{2^{5}-2\cdot{}2^{2}-1}{5\cdot{}2^{4}-4\cdot{}2}=2-\bruch{23}{72}=1.68055555555556 $
$ x_{2}=x_{1}-\bruch{x_{1}^{5}-2x_{1}^{2}-1}{5x_{1}^{4}-4x_{1}}=1.47680554899266 $
$ x_{3}=1.38379551632346 $
$ x_{4}=1.36470576335402 $
$ x_{5}=1.36396568383568 $
$ x_{6}=1.36396460210276 $
$ x_{7}=1.36396460210045 $


geometrische Deutung

Anschaulich kann man sich das Newtonverfahren folgendermaßen vorstellen. Man legt im Startpunkt eine Tangente an die Funktion an. Der nächste Punkt ist dann der Schnittpunkt dieser Tangenten mit der x-Achse. In diesem Punkt legt man wieder eine Tangente an die Funktion usw.
Anhand der Funktion $ x+e^x $ sei dies graphisch dargestellt. Die blauen Linien sind die entsprechenden Tangenten. Die Grünen markieren den entsprechenden Iterationspunkt.
{picture file=img/wiki_up//Newton2.jpeg}


Universität


Algorithmus (Newton-Interation)

  • $ f:\IR\to\IR $ stetig differenzierbar
  • f streng monoton (also $ f'(x)\not=0 $ für $ x\in\IR $

iteration:

  • $ x_0\in\IR $ geeignet;
  • $ x_{n+1}:=x_n-\bruch{f(x_n)}{f'(x_n)} $, $ n=0,1,2,\ldots $


Algorithmus (Vereinfachtes Newton-Verfahren)

  • $ f:[a,b]\to\IR $ stetig differenzierbar
  • f streng monoton
  • f(a)f(b)<0

Iteration:

  • $ x_0\in[a,b] $ geeignet;
  • $ x_{n+1}:=x_n-\bruch{f(x_n)}{f'(x_0)} $, $ n=0,1,2,\ldots $


Algorithmus (für zweifache Nullstellen)

  • ?

Iteration:

  • $ x_0\in $ ?
  • $ x_{n+1} := x_{n} - 2 \bruch{f(x_n)}{f'(x_n)} $
Erstellt: Do 25.11.2004 von informix
Letzte Änderung: Mi 30.05.2007 um 11:05 von Marc
Weitere Autoren: mathemaduenn
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext

^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]