Bernoulli-UngleichungSatz Bernoulli-Ungleichung
Voraussetzungen und Behauptung
Seien  ein geordneter Körper und  ,  sowie  .
Dann gilt (mit  ):
 .
Bemerkungen.
Beispiele.
Wir wählen jeweils ein . Da  ein geordneter Körper ist, können wir obige Ungleichung dann für ein paar  -Werte aus  testen.
1.)  und  erfüllen die Voraussetzungen und liefern beim Einsetzen in die obige Ungkleichung:
Da die letzte Ungleichung wahr ist, ist also auch die obere wahr.
2.)  und  erfüllen die Voraussetzungen und liefern beim Einsetzen in die obige Ungkleichung:
Da die letzte Ungleichung wahr ist, ist also auch die obere wahr.
3.)  und  erfüllen die Voraussetzungen und liefern beim Einsetzen in die obige Ungkleichung:
 .
Da die letzte Ungleichung wahr ist, ist also auch die obere wahr.
4.)  und  erfüllen die Voraussetzungen und liefern beim Einsetzen in die obige Ungkleichung:
 .
Auch hier ist die letzte Ungleichung wahr (und damit auch die obere), denn:
Es gilt:  und daher folgt:
Beweis.
Per Induktion:
Induktionsanfang:
  klar
Induktionsschritt:
 
| 
