matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGeraden und EbenenNeues Quadrat
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Geraden und Ebenen" - Neues Quadrat
Neues Quadrat < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Geraden und Ebenen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Neues Quadrat: bitte Prüfen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:26 Mo 03.07.2006
Autor: BeniMuller

Aufgabe
(a) Die Vektoren  [mm] \overrightarrow{p} \ = \ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}[/mm] und [mm] \overrightarrow{q} \ = \ \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm] schliessen einen rechten Winkel ein. Der Vektor  [mm] \overrightarrow{p} [/mm] hat die Länge 15. Ferner gilt: [mm]x \ + \ 5z \ = 0 \ [/mm], mit [mm]x > 0 [/mm].
Bestimmen Sie die Komponenten des Vektors  [mm] \overrightarrow{p} [/mm].

(b) Mit den Vektoren [mm] \overrightarrow{AB} \ = \ \overrightarrow{p} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AD} \ = \ k* \overrightarrow{q}[/mm] mit [mm]k \ > \ 0[/mm] wird vom Punkt [mm]A \ (-2 \ / \ 1 \ / \ 7 \ ) [/mm] ein Quadrat [mm]ABCD [/mm] aufgespannt.
Bestimmen Sie [mm]k[/mm] und die Koordinaten der Eckpunkte [mm]B, C[/mm] und [mm]D [/mm] des Quadrates.

(c) Der Ursprung [mm]O[/mm] ist die Spitze einer Pyramide mit der Grundfläche [mm]ABCD[/mm].
Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.

*** nis rumgepostet ***

(a)
Drei Bedingungen liefern drei Gleichungen:

1. Orthogonalität

[mm]\overrightarrow{p}*\overrightarrow{q}=2x+2y-z=0[/mm]


2. Seitenlänge = 15

[mm]\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=15 [/mm]


3. Zusatzbedingung

[mm]x+5z=0[/mm]


Von den zwei Lösungstripeln (-10,11,2) und (10,-11,-2) entfällt das erste wegen x>0.

[mm]\overrightarrow{p}= \overrightarrow{AB}= \begin{pmatrix} 10 \\ -11 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm]


(b)

(b 1) Faktor k

[mm] |k*\overrightarrow{q}|= \wurzel{(2k)^{2}+(2k)^{2}+(-k)^{2}}=15[/mm]
[mm] k = \pm5 \ und \ wegen \ k>0 \Rightarrow k=5 [/mm]

(b 2) Eckpunkte

[mm]A(-2,1,7)[/mm] ist bereits gegeben

[mm] \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}= \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 10 \\ -11 \\ -2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 8 \\ -10 \\ -5 \end{pmatrix}, \ \ \ B(8,-10,-5)[/mm]

[mm] \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{AD}= \begin{pmatrix} 8 \\ -10 \\ 5 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ -5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 18 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \ \ \ \ C(18,0,0)[/mm]

[mm] \overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}= \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ -5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 8 \\ 11 \\ 2 \end{pmatrix}, \ \ \ \ \ \ \ D(8,11,2)[/mm]

(c)
Fusspunkt der Höhe [mm]h [/mm] ist der Punkt[mm]P[/mm].

[mm]\overrightarrow{h}=\overrightarrow{OP} [/mm].

[mm]\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+ \bruch{1}{2} \overrightarrow{AB}+ \bruch{1}{2} \overrightarrow{BC} [/mm]

[mm]\overrightarrow{OP}= \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix}+\bruch{1}{2} \begin{pmatrix} 10 \\ -11 \\ -2 \end{pmatrix} + \bruch{1}{2} \begin{pmatrix} 18 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 4.5 \\ 6 \end{pmatrix} [/mm]

[mm]h = |\overrightarrow{h}|=\wurzel{12^{2}+ 4.5^{2}+6^{2}+} = 14.151 [/mm]

Volumen [mm]V= \bruch{s^{2}}{3} h= \bruch{225}{3} 14.151=1061.33 [/mm]


Ich denke, dass stimmt so.

Bitte trotzdem akribisch auf Fehler prüfen. Auch einfachere oder alternative Lösungen sind willkommen.

Aus dem hochsommerlichen Zürich grüsst

        
Bezug
Neues Quadrat: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:28 Mo 03.07.2006
Autor: Disap

Grüezi.

> (a) Die Vektoren  [mm]\overrightarrow{p} \ = \ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}[/mm]
> und [mm]\overrightarrow{q} \ = \ \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
> schliessen einen rechten Winkel ein. Der Vektor  
> [mm]\overrightarrow{p}[/mm] hat die Länge 15. Ferner gilt: [mm]x \ + \ 5z \ = 0 \ [/mm],
> mit [mm]x > 0 [/mm].
> Bestimmen Sie die Komponenten des Vektors  
> [mm]\overrightarrow{p} [/mm].
>  
> (b) Mit den Vektoren [mm]\overrightarrow{AB} \ = \ \overrightarrow{p}[/mm]
> und [mm]\overrightarrow{AD} \ = \ k* \overrightarrow{q}[/mm] mit [mm]k \ > \ 0[/mm]
> wird vom Punkt [mm]A \ (-2 \ / \ 1 \ / \ 7 \ )[/mm] ein Quadrat
> [mm]ABCD[/mm] aufgespannt.
>  Bestimmen Sie [mm]k[/mm] und die Koordinaten der Eckpunkte [mm]B, C[/mm] und
> [mm]D[/mm] des Quadrates.
>  
> (c) Der Ursprung [mm]O[/mm] ist die Spitze einer Pyramide mit der
> Grundfläche [mm]ABCD[/mm].
>  Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.
>  *** nis rumgepostet ***
>  
> (a)
>  Drei Bedingungen liefern drei Gleichungen:
>  
> 1. Orthogonalität
>  
> [mm]\overrightarrow{p}*\overrightarrow{q}=2x+2y-z=0[/mm]

[ok]

>
> 2. Seitenlänge = 15
>  
> [mm]\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=15[/mm]
>

[ok]

> 3. Zusatzbedingung
>  
> [mm]x+5z=0[/mm]
>

[ok]

> Von den zwei Lösungstripeln (-10,11,2) und (10,-11,-2)
> entfällt das erste wegen x>0.

[daumenhoch]

> [mm]\overrightarrow{p}= \overrightarrow{AB}= \begin{pmatrix} 10 \\ -11 \\ -2 \end{pmatrix}[/mm]

[applaus] Bei a stimmt alles! [daumenhoch]

>
> (b)
>  
> (b 1) Faktor k
>  
> [mm]|k*\overrightarrow{q}|= \wurzel{(2k)^{2}+(2k)^{2}+(-k)^{2}}=15[/mm]
>  
> [mm]k = \pm5 \ und \ wegen \ k>0 \Rightarrow k=5[/mm]

[ok]

> (b 2) Eckpunkte
>  
> [mm]A(-2,1,7)[/mm] ist bereits gegeben
>  
> [mm]\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}= \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 10 \\ -11 \\ -2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 8 \\ -10 \\ -5 \end{pmatrix}, \ \ \ B(8,-10,-5)[/mm]

[ok]

Edit: der Vorzeichenfehler ist mir nicht aufgefallen, es heisst natürlich:
[mm] B(8,-10,\red{+}5) [/mm]

> [mm]\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{AD}= \begin{pmatrix} 8 \\ -10 \\ 5 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ -5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 18 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \ \ \ \ C(18,0,0)[/mm]

[ok]

> [mm]\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}= \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ -5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 8 \\ 11 \\ 2 \end{pmatrix}, \ \ \ \ \ \ \ D(8,11,2)[/mm]

[ok]

> (c)
>  Fusspunkt der Höhe [mm]h[/mm] ist der Punkt[mm]P[/mm].
>  
> [mm]\overrightarrow{h}=\overrightarrow{OP} [/mm].
>  
> [mm]\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+ \bruch{1}{2} \overrightarrow{AB}+ \bruch{1}{2} \overrightarrow{BC}[/mm]
>  
> [mm]\overrightarrow{OP}= \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix}+\bruch{1}{2} \begin{pmatrix} 10 \\ -11 \\ -2 \end{pmatrix} + \bruch{1}{2} \begin{pmatrix} 18 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 4.5 \\ 6 \end{pmatrix} [/mm]

[notok]

[mm] $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+ \bruch{1}{2} \overrightarrow{AB}+ \bruch{1}{2} \overrightarrow{\red{BC}} [/mm]

Das halte ich für richtig, aber die Umsetzung nicht.

Laut Rechnung lautet der Vektor
[mm] $\overrightarrow{\red{BC}} [/mm] =  [mm] \begin{pmatrix} 18 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ [/mm]
$ [mm] \overrightarrow{OC}= \begin{pmatrix} 18 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]  $

Da hast du wohl den falschen Vektor genommen.

> [mm]h = |\overrightarrow{h}|=\wurzel{12^{2}+ 4.5^{2}+6^{2}+} = 14.151[/mm]
>
> Volumen [mm]V= \bruch{s^{2}}{3} h= \bruch{225}{3} 14.151=1061.33[/mm]
>

Das habe ich jetzt nicht mehr nachgerechnet, aber die Ansätze waren richtig.


> Ich denke, dass stimmt so.
>  
> Bitte trotzdem akribisch auf Fehler prüfen. Auch einfachere
> oder alternative Lösungen sind willkommen.
>  
> Aus dem hochsommerlichen Zürich grüsst

Hier im Norden von Deutschland scheint auch die Sonne :-)

Es grüsst zurück:
Disap

Bezug
                
Bezug
Neues Quadrat: zweiter Versuch
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 23:08 Mo 03.07.2006
Autor: BeniMuller

Aufgabe
.

Hallo Disap

Hier folgt mein zweiter Versuch der Volumenberechnung.

(c)
Fusspunkt der Höhe [mm]h [/mm] ist der Punkt[mm]P[/mm].

[mm]\overrightarrow{h}=\overrightarrow{OP} [/mm].

[mm]\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+ \bruch{1}{2} \overrightarrow{AB}+ \bruch{1}{2} \overrightarrow{BC} [/mm]

[mm] \overrightarrow{OP}= \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} +\bruch{1}{2} \begin{pmatrix} 10 \\ -11 \\ -2 \end{pmatrix} + \bruch{1}{2} \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0.5 \\ 3.5 \end{pmatrix} [/mm]

[mm]h = |\overrightarrow{h}|=\wurzel{8^{2}+ 0.5^{2}+3.5^{2}+} = 8.75 [/mm]

Volumen [mm]V= \bruch{s^{2}}{3} h= \bruch{225}{3} 8.75=656.25 [/mm]


Gruss aus Zürich

Bezug
                        
Bezug
Neues Quadrat: stimmt alles
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:22 Mo 03.07.2006
Autor: Disap


> .
>  Hallo Disap

Hi.

> Hier folgt mein zweiter Versuch der Volumenberechnung.

Edit II: Huch, so kann man das gar nicht machen, siehe u. a. die Beiträge von mathemak.

> (c)
> Fusspunkt der Höhe [mm]h[/mm] ist der Punkt[mm]P[/mm].
>
> [mm]\overrightarrow{h}=\overrightarrow{OP} [/mm].
>
> [mm]\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+ \bruch{1}{2} \overrightarrow{AB}+ \bruch{1}{2} \overrightarrow{BC}[/mm]
>
> [mm] \overrightarrow{OP}= \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} +\bruch{1}{2} \begin{pmatrix} 10 \\ -11 \\ -2 \end{pmatrix} + \bruch{1}{2} \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0.5 \\ 3.5 \end{pmatrix}[/mm]

Ein großes Problem ist es immer, den richtigen Vektor auszuwählen. Und dann missachtet man teilweise auch noch Minuszeichen, wie auch hier:

B(8,-10,-5)

Edit: So ein Schund. Es handelte sich nur um einen Tippfehler, den ich beim Durchlesen übersprungen habe:

$ [mm] \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}= \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 10 \\ -11 \\ -2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 8 \\ -10 \\ \red{-5} \end{pmatrix}, [/mm] \ \ \ [mm] B(8,-10,\red{-5}) [/mm] $

[peinlich]

>
> [mm]h = |\overrightarrow{h}|=\wurzel{8^{2}+ 0.5^{2}+3.5^{2}+} = 8.75[/mm]
>
> Volumen [mm]V= \bruch{s^{2}}{3} h= \bruch{225}{3} 8.75=656.25[/mm]
>
>
> Gruss aus Zürich

[gutenacht]
Disap

Bezug
                                
Bezug
Neues Quadrat: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:38 Di 04.07.2006
Autor: BeniMuller

Aufgabe
.

Hallo Disa

Du schreibst:

B(8,-10,-5)
C(18,0,0)

Da versteckt sich ein von mir in der Teilaufgabe b verursachter Vorzeichenfehler, denn es müsste heissen:

B(8,-10,5)
C(18,0,0)

Den Ortsvektor hatte ich richtig berechnet:

[mm] \overrightarrow{OB} \ = \ \vektor{8 \\ -10 \\ 5}[/mm]

Vielleicht ist es wirklich zu heiss um Mathematik zu betreiben ;-)

Gruss aus den Züricher Tropen

Bezug
                                        
Bezug
Neues Quadrat: dann stimmt alles!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:27 Di 04.07.2006
Autor: Disap


> .
>  Hallo Disa

Hallo.

> Du schreibst:
>  
> B(8,-10,-5)
> C(18,0,0)
>
> Da versteckt sich ein von mir in der Teilaufgabe b
> verursachter Vorzeichenfehler, denn es müsste heissen:

[lupe] Oh je, da hätte ich lieber mal besser nachgeschaut. Den Tippfehler hatte ich übersehen, dann stimmt alles. [sorry]

Ich editiere meine Antwort dann natürlich.

Danach hast du richtig weitergerechnet und ich erhalte auch das Ergebnis von 656.

MfG!
Disap

Bezug
                                                
Bezug
Neues Quadrat: Löst sich alles in Minne auf
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:28 Di 04.07.2006
Autor: BeniMuller

Hallo Disap

Dann ist ja jetzt alles zur allgemeinen Zufriedenheit bereinigt.

Herzlichen Dank für Deine unermüdliche Hilfe.

Der einzige Unterschied zum tropischen Regenwald im Sommer ist, dass dort die Affen noch mehr Lärm machen. Einer von Ihnen grüsst Dich



Bezug
        
Bezug
Neues Quadrat: Neues Quadrat - Höhenfusspunkt
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:21 Fr 07.07.2006
Autor: mathemak

Hallo!

Die gepostete Lösung enthält meiner Meinung nach einen Fehler!

Warum sollte die Höhe der Pyramide ihren Fußpunkt im Schnittpunkt der grundflächendiagonalen haben? Muss das immer so sein?

Die Trägerebene der Grundfläche hat einen Abstand zum Ursprung.

Am leichtesten zu berechnen mit der Hesse'schen Normalform oder über den Schnittpunkt der Ursprungsgeraden mit der Trägerebene!

Kontrollergebnis: 6 LE

Volumen: 450 VE

Gruß

Markus


Bezug
                
Bezug
Neues Quadrat: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:43 Fr 07.07.2006
Autor: Disap


> Hallo!

Hallo und herzlich [willkommenmr]!!!

> Die gepostete Lösung enthält meiner Meinung nach einen
> Fehler!
> Warum sollte die Höhe der Pyramide ihren Fußpunkt im
> Schnittpunkt der grundflächendiagonalen haben? Muss das
> immer so sein?

Edit: Kommentarlos alles durchgestrichen [peinlich]
Weil das eine quadratische Pyramide ist. Die quadratischen Pyramiden gehören zu den regelmässigen Pyramiden. Und dort liegt der Höhenfusspunkt nun einmal im Mittelpunkt des Vielecks.

> Am leichtesten zu berechnen mit der Hesse'schen Normalform
> oder über den Schnittpunkt der Ursprungsgeraden mit der
> Trägerebene!
>  
> Kontrollergebnis: 6 LE
>  
> Volumen: 450 VE

Das Ergebnis macht in der Tat mehr Sinn, vom äußerlichen her, aber wenn wir den Abstand so berechnen, haben wir nicht mehr die klassische quadratische Pyramide (d. h. mit dem Höhenfusspunkt in der Mite).
Ich erkenne keinen Hinweis in der Aufgabe, dass es keine regelmässige Pyramide sein soll.


Gruß
Disap

Bezug
                        
Bezug
Neues Quadrat: Sorry,
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:19 Fr 07.07.2006
Autor: statler

tut mir leid, Disap, daß ich an deinem Beitrag herumnörgeln muß, aber die Umstände sind gegen dich.

> > Hallo!
>  
> Hallo und herzlich [willkommenmr]!!!
>  
> > Die gepostete Lösung enthält meiner Meinung nach einen
> > Fehler!
>  
> Finde ich nicht.
>  
> > Warum sollte die Höhe der Pyramide ihren Fußpunkt im
> > Schnittpunkt der grundflächendiagonalen haben? Muss das
> > immer so sein?
>
> Weil das eine quadratische Pyramide ist. Die quadratischen
> Pyramiden gehören zu den regelmässigen Pyramiden. Und dort
> liegt der Höhenfusspunkt nun einmal im Mittelpunkt des
> Vielecks.
>
> > Am leichtesten zu berechnen mit der Hesse'schen Normalform
> > oder über den Schnittpunkt der Ursprungsgeraden mit der
> > Trägerebene!
>  >  
> > Kontrollergebnis: 6 LE
>  >  
> > Volumen: 450 VE
>  
> Das Ergebnis macht in der Tat mehr Sinn, vom äußerlichen
> her, aber wenn wir den Abstand so berechnen, haben wir
> nicht mehr die klassische quadratische Pyramide (d. h. mit
> dem Höhenfusspunkt in der Mite).
> Ich erkenne keinen Hinweis in der Aufgabe, dass es keine
> regelmässige Pyramide sein soll.

Da braucht man keine Hinweise, in der Aufgabe sind direkt oder indirekt alle 5 Punkte der Pyramide gegeben. 4 davon bilden 1 Quadrat, das die Grundfläche sein soll. Der Ursprung 0 liegt, wo er eben liegt, und fragt nicht lange, ob das genau mittig über der Grundfläche ist oder nicht. Ich hab nix nachgerechnet, aber die Höhe ist auf jeden Fall der Abstand der Spitze von der Grundfläche.

Also: Ob die Zahlen stimmen, weiß ich nicht, aber auch eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche kann ganz schön schief sein. Du kannst z. B. einen Würfel in 3 (kongruente) quadratische Pyramiden zerlegen.

Gruß aus dem schwülen HH-Harburg
Dieter


Bezug
                                
Bezug
Neues Quadrat: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:53 Fr 07.07.2006
Autor: mathemak

Hallo!

So ist es. Die Höhe ist der Abstand der Trägerebene (der Grundfläche) zum Ursprung. Die Lage der Höhe und der Höhenfußpunkt ist nicht relevant.  Prinzip von Cavalieri!

Man kann die Aufgabe aber wie folgt ergänzen, um den vorhandenen Fehler zu vermeiden:

"Die Seitenkanten zur Spitze O bilden mit der Grundfläche Schnittwinkel! Berechnen Sie die Winkel bei A und B! Was können Sie aus Ihren Ergebnissen für die Lage der Höhe folgern?"

Auch noch interessant: "Beschreiben Sie die Lage der Höhe!" (Fußpunkt liegt innerhalb des Dreiecks ABD)

Gruß

mathemak

Bezug
                
Bezug
Neues Quadrat: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:34 Fr 07.07.2006
Autor: BeniMuller

Danke Markus, Disap und Dieter dass Ihr an meiner Aufgabe nicht locker gelassen habt. Ich bin auch in mich gegangen und berechne das Volumen nun wie folgt:

Ansatz: Ebene des Quadrats [mm](ABCD) \ = \ Q[/mm].
[mm]Q \ = \ ex+fy+gz+d=0 [/mm]

Normale auf Ebene mittels Vektorprodukt

[mm]n_{Q} = \overrightarrow{p} \ \times \ \overrightarrow{q} \ = \ \vektor{10\\-11 \\-2} \ \times \ \vektor{2\\2\\-1} \ = \ \vektor{15\\6\\42} [/mm]

Einen Punkt der Ebene in Ebenengleichung von [mm]Q [/mm] Einsetzen, z.B. [mm]A(-2/1/7) [/mm]

[mm]Q(A): \ 15(-2) \ + \ 6(1) \ + \ 42 (7) \ + \ d \ = \ 0 [/mm]

[mm] d \ = \ -270[/mm]

[mm]Q: \ 15x \ + \ 6y \ + \ 42z \ - \ 270 \ = \ 0 [/mm]

Länge der Normalen:

[mm] |n_{Q}| \ = \ \wurzel{15^{2}+6^{2}+42^{2}} \ = \ 45[/mm]

Abstand Ebene zum Ursprung mittels HNF:

HNF [mm] \ = \ \bruch{linke Seite von Q}{ | n_{Q} | } = \ 0 \[/mm]

[mm] = \ | \ \bruch{15x \ + \ 6y \ + \ 42z \ - \ 270 \ }{45} \ | \ = \ 0 [/mm]

Ursprung [mm](0/0/0) [/mm] in HNF einsetzen:

[mm] | \ - \bruch{270}{45} | \ = \ 6 \ LE [/mm]


Volumen:

[mm]V= \bruch{s^{2}}{3}* h= \bruch{225}{3} *6=450 \ VE [/mm]


Nochmals ganz herzlichen Dank.

Aus Zürich grüsse

Bezug
                        
Bezug
Neues Quadrat: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:38 Sa 08.07.2006
Autor: mathemak

Hallo BeniMüller!

Super!

Schau' Dir mal die Zahlen im Normalenvektor an! Die haben alle was gemeinsam! Jedes Vielfache (ungleich 0) des Normalenvektors ist ebenfalls Normalenvektor nur wird halt manchmal die Rechnung einfacher!

$ [mm] \vektor{5 \\ 2 \\ 14}$ [/mm] tut's auch.

Gruß

Markus





Bezug
                        
Bezug
Neues Quadrat: Frage beantwortet
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:45 Sa 08.07.2006
Autor: BeniMuller

Für mich ist diese Frage 100 pro beantwortet :-)

Wie kann ich es bewerkstelligen, das der Status meiner Frage zu "beantwortet" mutiert.

Gruss aus den Tropen

Bezug
                                
Bezug
Neues Quadrat: erledigt
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:58 So 09.07.2006
Autor: statler

Hallo,

> Für mich ist diese Frage 100 pro beantwortet :-)
>  
> Wie kann ich es bewerkstelligen, das der Status meiner
> Frage zu "beantwortet" mutiert.

ich hab das mal (alsd Mod) gemacht. Ob du das selbst auch umstellen kannst, weiß ich gar nicht.

Hier oben heute nur noch Subtropen (weit unter 40° C), aber Luftfeuchte hundert Pro
Dieter


Bezug
                                        
Bezug
Neues Quadrat: Nope
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:44 So 09.07.2006
Autor: Disap

Servus,

> ich hab das mal (alsd Mod) gemacht. Ob du das selbst auch
> umstellen kannst, weiß ich gar nicht.

kann er nicht...Vielleicht sollte man das aber mal ermöglichen, dass der Fragesteller den Status auch auf beantwortet setzen kann.

Gruß
Disap

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Geraden und Ebenen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]