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verkettete Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:11 Mo 20.10.2014
Autor: Nadeschda

Hallo zusammen!

Es gibt doch die Regel äußeres Integral durch innere Ableitung, sofern die innere Funktion linear ist.

z.B. wenn ich cos (5x) integriere ist das Ergebnis sin (5x)/5

Die äußere Funktion ist cos und die innere Funktion ist 5x.

Was aber wenn ich 1/5x integrieren möchte. Ich weiß ich kann auch einfach schreiben 1/5 * 1/x aber wenn ich jetzt den komplizierten Weg gehe könnte ich sagen, dass es sich um eine verkettete Funktion handelt.

Der Exponent -1 ist die äußere Funktion und 5x ist die innere Funktion. D.h. hier müsste das Ergebnis ln (5x)/5 sein, aber das stimmt nicht.

Aber warum nicht? Theoretisch müsste es nach dieser Regel richtig sein, oder?

Vielen Dank!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
verkettete Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:22 Mo 20.10.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> D.h. hier müsste das Ergebnis ln (5x)/5 sein

[ok]

> aber das stimmt nicht.

Wie kommst du darauf? Natürlich stimmt es.
(Die Frage ist provokant gemeint, damit du mal drüber nachdenkst)

Gruß,
Gono

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Bezug
verkettete Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:34 Mo 20.10.2014
Autor: Nadeschda

Danke für deine rasche Antwort! :-)

Wenn ich die Aufgabenumstellung umschreibe zu 1/5 * 1/x und integriere komme ich auf das Ergebnis 1/5*ln x. 1/5 bleibt als konstanter Faktor erhalten und 1/x gibt integriert eben ln x.

Das soll auch laut Integralrechner im Internet das richtige Ergebnis sein.

Bezug
                        
Bezug
verkettete Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:36 Mo 20.10.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Wenn ich die Aufgabenumstellung umschreibe zu 1/5 * 1/x und
> integriere komme ich auf das Ergebnis 1/5*ln x

Fast!
Schon mal was von Integrationskonstante gehört?

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
verkettete Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:39 Mo 20.10.2014
Autor: Nadeschda

Du meinst sowohl ln (5x)/5 und ln (x)/5 ist richtig, denn ich schreibe ja noch + C als Integrationskontante dazu? Ich dachte es gibt nur ein richtiges Ergebnis, unabhängig von der Integrationskonstante.

Bezug
                                        
Bezug
verkettete Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:50 Mo 20.10.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Du meinst sowohl ln (5x)/5 und ln (x)/5 ist richtig,

Sofern du bei beiden noch die Integrationskonstante hinzu schreibst.

> denn ich schreibe ja noch + C als Integrationskontante dazu? Ich dachte es gibt nur ein richtiges Ergebnis, unabhängig von der Integrationskonstante.

Autsch..... du solltest dringend Grundlagen nacharbeiten: Du suchst nicht die eine Stammfunktion, die gibt es nämlich nicht, sondern es gibt immer unendlich viele.

Machen wir doch mal ein Beispiel:

$f(x) = x$

Davon suchen wir nun die Stammfunktion und erhalten:

[mm] $F_C(x) [/mm] = [mm] \int [/mm] f(x) dx = [mm] \int [/mm] x dx = [mm] x^2 [/mm] + C$

Was heißt das nun?
Das eben alle Funktionen der obigen Form eine Stammfunktion sind, beispielsweise:

[mm] $F_1(x) [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + 1$
[mm] $F_2(x) [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + 2$

Aber auch:

[mm] $F_\pi(x) [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + [mm] \pi$ [/mm]

Insbesondere unterscheiden sich also alle Stammfunktionen nur um eine konstante reelle Zahl, d.h. es gilt immer:

[mm] $F_{c_1}(x) [/mm] - [mm] F_{c_2}(x) [/mm] = c$ für ein [mm] $c\in\IR$ [/mm]

Nun rechne mal nach, dass das auch für deine Lösungen gilt, d.h. berechne mal

[mm] $\bruch{\ln(x)}{5} [/mm] - [mm] \bruch{\ln(5x)}{5}$ [/mm]

Und du wirst sehen, auch diese unterscheiden sich nur durch eine relle Konstante.
Tipp: Logarithmusgesetze!

Gruß,
Gono


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